[研究生入学考试]二维随机变量及其分布.ppt

1,多媒体教学课件,Department of Mathematics,概率论与数理统计,主讲人：宣平,2009年.秋学期,2,第五章 二维随机变量及其分布,3,第一节 二维随机变量及其分布函数,4,一、二维随机变量,如在研究儿童的发育时，涉及到身高和体重两方面的 问题，在研究家庭的收支时则涉及更多个方面的因素。,与一维随机变量的研究类似，我们也把随机向量 分成离散型、连续型及混合型，主要研究离散型和连 续型的随机向量。,5,二、二维随机变量的分布函数,注：联合分布函数表示 2 个事件同时发生的概率。,6,三、二维联合分布函数的性质,单调性:,有界性:,右连续性:,非负性:,注意：上述四条性质是联合分布函数的充要条件.,7,关于非负性的补充说明：,8,例1反例：函数,不满足非负性，故不能作为二维随机变量的分布函数.,9,例2 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为,解：由分布函数的性质可以得到,10,第二节 二维离散型随机变量,11,一、二维离散随机变量,对于二维随机变量(X,Y),如果 X 和 Y 都是离散型随机变量,则称(X,Y)是二维离散型随机变量。,12,二、二维随机变量(X,Y)的联合分布列,联合分布列的基本性质,非负性：,正则性：,13,例1 一口袋装有3个球,分别标有数字1,2,2。从 袋中任取一球,不放回袋中,再从袋中任取一球。 记X、Y分别表示第一、二次取出的球上的数字.,分析：与求一维分布列一样,确定取值,计算概率.,14,15,例1* 一口袋装有3个球,分别标有数字1,2,2。 从袋中任取一球; 放回袋中,再从袋中任取一球。 记X、Y分别表示第一、二次取出的球上的数字.,16,例2 从 1,2,3,4 中取一数记为X,再从 1,X 中 取一数记为Y,求(X,Y)的联合分布列及 P(X=Y)。,19,第三节 二维连续型随机变量,20,1、定义:如果存在二元非负函数 p(x,y),使得二维随机变量(X,Y)的分布函数 F(x,y)满足:,则称(X,Y)为二维连续随机变量,p(x,y)称为(X,Y)的联合密度函数。,注：在F(x,y)偏导存在的点处有：,2、基本性质,非负性：,正则性：,21,即密度函数在指定平面区域G上的二重积分。,3、概率计算：,补充说明：,类似地,可以定义更高维的连续随机变量及其联合 密度函数。并且,密度函数与分布函数有着相似的 关系；其概率计算也与二维随机变量类似。,22,23,常用二维分布：,24,2、二维正态分布：,25,例2 设二维随机变量(X,Y)服从区域G上的均匀分布，,求(X,Y)的联合密度函数。,解：区域G如图所示，,故(X,Y)的联合密度函数为,26,第四节 边缘分布,27,一、边缘分布函数,28,29,补充说明,1、由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布。,2、类似可定义三维随机变量（X,Y,Z）的边际分布函数。,3、由联合分布还可以还可以反映X和Y的关系，这也是研究多维分布的原因所在。,4、对联合分布与边际分布关系的研究，同样从离散和连续型两种随机变量分别说明。,30,二、边缘分布列,对二维离散型随机变量(X,Y)，联合分布列为,则(X,Y)关于X的边缘分布列为,(X,Y)关于Y的边缘分布列为,注:(X,Y)的联合分布列与边际分布列的关系， 通常可以用下面的表格来反映。,31,各行概率相加,各列概率相加,32,例2 设(X,Y)的联合分布列如下,求其边际分布列。,33,三、边缘密度函数,34,一般地，,36,37,38,39,例5 设随机变量(X, Y)的概率密度是,求 (1) c 的值； （2）两个边缘密度。,解：(1),40,例5 设随机变量(X, Y)的概率密度是,求 (1) c 的值； （2）两个边缘密度。,解（2）,41,例5 设随机变量(X, Y)的概率密度是,求 (1) c 的值； （2）两个边缘密度。,解（2）,42,第五节 随机变量的独立性,随机变量的相互独立性，是事件相互独立性的推广，在概率论与数理统计的实际应用中是一个重要的概念。,43,一、独立性的定义：,44,补充说明,同样可以定义多个随机变量的独立性。 即满足联合分布函数等于各个分布函数的乘积。 定义中的条件是独立性的充要条件，对各种 类型的随机变量都能成立。 而对于离散和连续型的随机变量来说，又可以 分别利用概率分布列和密度函数来反映随机变量的 独立性。,45,二、离散型随机变量的独立性,46,例1 设(X,Y)的联合分布律为,47,例2 设(X,Y)的边际分布如下：,48,显然不独立.,注：联合分布列中有0一定不独立！,49,三、连续型随机变量的独立性,n个连续型随机变量相互独立的充要条件是：,简单判别方法：,50,例3 设（X,Y）的联合密度函数为,问X、Y是否独立？,51,例4 从(0,1)中任取两个数,求下列事件的概率： 两数之和小于1.2； 两数之积小于1/4.,解：记这两个数分别为X、Y,则X、Y独立,且都 服从(0,1)上的均匀分布。从而(X,Y)的联合密度函数为,所求的概率,即是在指定的区域内计算联合密度函数 的二重积分。,52,例4 从(0,1)中任取两个数,求下列事件的概率： 两数之和小于1.2； 两数之积