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4.4 拉普拉斯逆变换,由象函数求原函数(即求拉普拉斯反变换)的方法：,部分分式展开法,F(s)通常为s的有理分式，一般形式为,零点：,极点：,总的思路：,有理假分式有理真分式最简分式之和f(t),按B(s) = 0的根(称为F(s)的极点)有无重根等分别讨论如下：,1当mn且为n个单根p1 , p2 , , pn (可为实根、虚根或复根),有理真分式F(s)可展开为如下的部分分式：,式中Kj(j=1, 2, , n)为待定系数.,则有原函数,例:求函数F(s)的逆变换,解:,2当mn且B(s) = 0的根有重根时,不妨设根p1为r重根，其余(n-r)个根为单根pj(j=r+1, r+2, , n)，则有理真分式F(s)可展开为,式中待定系数,例:求函数的逆变换,解:,(1) 求 K11,(2) 求 K12,令s=-1,3当mn时,长除法将有理假分式多项式+有理真分式,(m-n)次多项式中的sl对应的原函数为冲激函数及其导数项(l)(t).,例:求函数的逆变换,解:,4包含共轭复数极点,原则上可按第1种情况求逆变换.但一般化为正弦、余弦函数的象函数形式,再利用s域平移特性去求逆变换.,解：,例:求函数的逆变换,求下列函数的拉普拉斯逆变换, 4.5拉普拉斯变换法分析电路,拉普拉斯变换的线性性质、时域微分性质与时域卷积性质，可使线性微分方程变为复频域的线性代数方程，同时将系统的初始状态自然反映在象函数中，所以用s域分析法可直接求解全响应。,一、微分方程的复频域解,例:已知某LTI连续系统的微分方程，其激励f(t)=u(t)，0-初始条件为y(0-)=2，y(0-)=1，试求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。,方程：,解：对微分方程两边取拉普拉斯变换得：,以具体的微分方程为例：,其中,则,二、电路的s域模型,1、电阻元件,2、电容元件,3、电感元件,s域模型中：sL称为复频域感抗，(1/sL)称为复频域感纳；(1/sC)称为复频域容抗，sC称为复频域容纳。,在零状态下：,三、电路的复频域分析法,复频域分析法步骤,画0-等效电路，求起始状态； 画s域等效模型； 列s域方程（代数方程）； 解s域方程，求出响应的拉氏变换V(s)或I(s)； 拉氏反变换求v(t)或i(t)。,图示电路，试求零状态响应uC1 、uC2 、u,解：画出零状态s域电路模型,+ UC1(s) -,+ U(s) -,例:,s域电路模型,由节点法：,拉氏反变换得,+ UC1(s) -,+ U(s) -,0.2,+ UC2(s) -,50,例：,列s域方程:,例：,(1),(2),(3) 列方程,解：,故,逆变换,设,则,第一种情况
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