概率论与数理统计第13讲.ppt

,第五节 两个随机变量的函数的分布,一、问题的引入 二、离散型随机变量函数的分布 三、连续型随机变量函数的分布 四、极值的分布 五、小结,为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域,解: 由卷积公式,也即,为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域,如图示:,也即,于是,设随机变量 X 与 Y 相互独立,且其分布密 度分别为,其它.,其它.,求随机变量 Z=2X+Y 的分布密度.,例7,随机变量 Z 的分布函数为,所以随机变量 Z 的分布密度为,注:,先求出Z=g(X,Y)的值域c,d,则,四、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y),我们来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.,又由于X和Y 相互独立,于是得到M=max(X,Y)的 分布函数为:,即有 FM(z)= FX(z)FY(z),FM(z)=P(Mz),=P(Xz)P(Yz),=P(Xz,Yz),由于M=max(X,Y)不大于z等价 于X和Y都不大于z，故有,分析：,P(Mz)=P(Xz,Yz),类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是,即有 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z),=1-P(Xz,Yz),FN(z)=P(Nz),=1-P(Nz),=1- P(Xz)P(Yz),故有,推广,Example 8 Suppose X and Y be two independent with pdfs,Find , where,Since the cdf for is,Then we have,If then,therefore,五、小结,1. 离散型随机变量函数的分布律,2. 连续型随机变量函数的分布,难点：确定积分区域。,若随机变量（X,Y)的概率密度为f(x,y)，则 (3) Z=XY的概率密度为,（4）Z=kx+Y,(k0)的概率密度为,（5）Z=XY的概率密度为,所用的方法: 分布函数法.,一、主要内容,二、重点与难点,三、典型例题,第三章 随机变量及其分布 习题课,一、主要内容,多维随机变量,多维离散型 随机变量,多维连续 型随机变量,联合分布函数,联合分布律,联合密度函数,均 匀 分 布,二维正态 分布,条 件 分 布,随机变量的函数的 分 布,定 义,边 缘 分 布,变量 的独 立性,二、重点与难点,1.重点,二维离散与连续型随机变量的联合分布、 边缘分布及条件分布,离散型与连续型随机变量的独立性条件,2.难点,二维连续型随机变量的函数的概率密度的求法,二维随机变量函数的分布,例1：,设二维随机变量(X,Y)的密度函数为,则X与Y中至少有一个大于0.5的概率为_.,解：,三、典型例题,在,处的值为_.,例2.设二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均,则其边缘密度函数,匀分布,及直线,其中D是由曲线,所围成,从而,X的边缘密度函数为,因此联合密度函数为,面积,2解：,例3,设X、Y相互独立, 且均服从正态分布,分析:,由题设,即a-b=1,故应选(2).,( ),例4,设二维随机变量(X,Y)N(0,0,1,1,0), 则,解:,由二维正态分布的性质可知:,XN(0,1), YN(0,1), 且X与Y相互独立.,故:,例5,设X、Y相互独立,其中,而Y服从参数为1的指数分布,则PX-Y0=,分析:,解:,例6、 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,求： (1) (X,Y)的边缘概率密度 (2) Z=2X-Y的概率密度 (3),求： (1) (X,Y)的边缘概率密度,(1)由题设条件可知，,解：,求： (2) Z=2X-Y的概率密度,(2)设随机变量 Z 的分布函数为,因此密度函数为,于是分布函数为,求： (3),例7: 设随机变量(X ,Y )的联合分布函数为,其中A , B , C 为常数.,确定A , B , C ； 求X 和Y 的边缘分布函数； 求P (X 2),确定A , B , C ；,解： (1),(2)求X 和Y 的边缘分布函数；,(2),(3)求P (X 2),(3),例8: 填空题。 已知 X, Y 独立，联合分布律与边缘分布律如下,例9: 已知 X,Y 的分布律如下,求：（1）X ,Y 的联合分布律； （2） X 与 Y 是否独立。,上服从均,匀分布，,的概率密度,解：,故联合密度函数为,均匀分布，,并设其分布函数为,又已知,则当,由此可得分布函数为,因此得密度函数为,例. 设A，B为二个随机事件，,令,则随机变量,的联合分布列为_.,且,由题设条件知，,由已知条件可得：,可能取值,于是,为,四组值。,解：,于是,的联合分