概率论-2公理、条件独立.ppt

学习几何和代数时,我们已经知道公理是数学体系的基础.数学上的“公理”,是一些不加证明而公认的前提,在此基础上推演对象的进一步的内容.,一、概率的公理化定义,定义：设随机试验T的样本空间为,对于试验T的每一个事件A, 总有唯一确定的实数P(A)与之对应,若P(A)满足三条性质:,1.3 概率的公理化定义,(1)0P(A)1;,(2)P()=1;,(3)设A1, A2,为两两互不相容事件,即Ai Aj =(ij), 则,称P(A)为事件A的概率。,(可列可加性),(2)事件的有限可加性：设A1, A2, ,An是n个两两互不相容事件, 即AiAj= (ij), i,j=1, 2, , n , 则 P( A1 A2 An)=P(A1)+P(A2)+P(An).,(3)事件差: A、B是两个事件，则 P(AB)=P(A)P(AB),推论：若事件AB, 则 P(AB)=P(A)P(B),一、概率的性质,(1)P()=0,(4) 加法公式：对任意两事件A、B，有,推论：对任意事件A、B 、C, 有,注：加法公式可推广到n个事件A1,A2,An的情形,P(AB)P(A)P(B)P(AB),P(AB C)=P(A)P(B)P(C) P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC),例1 设事件A, B的概率分别为1/4, 1/2, 求下列情况下P(BA)的值。,(1)A、B互不相容; (2) AB; (3) P(AB)=1/8,解: P(BA)=P(B)P(AB),(1)A、B互不相容,P(BA)=P(B)= 1/2,(2)AB,(3) P(BA)=P(B)P(AB)=1/21/8 = 3/8,例2 P13 例14,P(AB)=0, P(BA)=P(B)P(A)= 1/2,例3.在110这10个自然数中任取一数,求取到的数(1)能被2或3整除的概率;(2)既不能被2也不能被3整除的概率;(3)能被2整除而不能被3整除的概率.,解: 设A=“取到的数能被2整除”; B=“取到的数能被3整除”. 则:,(1)P(AB)=P(A)P(B)P(AB),(3)P(AB)=P(A)P(AB),P(A)= 1/2,P(B)= 3/10,P(AB)= 1/10,某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲丙或乙丙报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率.,EX,解: 设A, B, C分别表示“选到的人订甲, 乙, 丙报”,P(AB C)=P(A)P(B)P(C) P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC),=30%310%000,=80%,即从该市任选一人,他至少订一种报纸的概率80%,作业：13,10，11，12，13,袋中有十只球,其中九只白球,一只红球,十人依次从袋中各取一球(不放回),问 第一个人取得红球的概率是多少? 第二 个人取得红球的概率是多少?,?,1.4 条件概率与事件的独立性,一、条件概率,若已知第一个人取到的是白球,则第二个人取到红球的概率是多少？,已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率称为A条件下B的条件概率,记作P(B|A),若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？,由于我们已经知道A已发生,故A变成了新的样本空间,为使B也发生,试验结果必须是既在A中又在B中的样本点,即此点必属于AB.,设A、B是两个事件, 且P(A)0, 则称,为在事件A发生的条件下,事件B的条件概率.,定义:,于是有:,P(A|B)=,P(A)=1/6,B=掷出偶数点,P(A|B)=?,例如,掷一颗均匀骰子A掷出2点,=,例1. 盒中混有100只新、旧乒乓球,各有红、白两色,如表.从盒中随机取一球,若取得的是红球,试求该红球是新球的概率.,解: 设A=“从盒中随机取到红球”; B=“从盒中随机取到新球”. 则,A,B,=,P(B|A)=,例2 设某种动物由出生算起活到20岁以上的概率为0.8,活到25岁以上的概率为0.4. 如果现在有一个20岁的这种动物,问它能活到25岁以上的概率是多少?,解 设A=“能活到20岁以上”, B=“能活到25岁以上”.,故所求概率为,注: (2)条件概率往往根据试验提供的数据直接得到 (如例1)，,而AB,则P(A)=0.8, P(B)=0.4,故 AB=B,注: (1)“条件概率”也是“概率”！,P14 性质1)3); 性质4)6),而利用上述公式求积事件的概率.,由条件概率的定义：,若P(B)0, 则P(AB)=P(B)P(A|B),得：,A、B位置对调:,若P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A),一般地: P(A1A2An)=,推广到三个事件:,二、乘法公式,P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB),P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An-1),例3 100件产品中有10件次品,无放回地抽取3次,每次1件,求下列事件的概率: (1)全是次品; (2)第三次才取得正品; (3)第二次取得正品.,解：设Ai =“第i次取得次品”(i =1, 2, 3),(1)P(A1A2A3),=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2),(2),(3)思考!,例4 盒中有3个红球、2个白球,每次从袋中任取一只,观察其颜色后放回,并再放入一只与所取球颜色相同的球,若从盒中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率.,解：设Ai=“第i次取球时取到白球”(i =1, 2, 3, 4), 则,1.直观定义 事件A、B, 若其中任一事件发生的概率不受另一事件发生与否的影响, 称事件A、B相互独立.,三、事件的独立性,2.数学定义 事件A、B, 若P(AB)=P(A)P(B), 则称事件A 、B相互独立，简称事件A 、B独立.,数学式子表示:,例 从一付52张的扑克牌中任意抽一张, A=“抽出一张A”, B=“抽出一张黑桃”, 问A与B是否独立?,P(AB)=,P(A)P(B) =,=,1/52,(1/13)(1/4),A与B独立.,4.定义 若三个事件A、B、C满足: P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)则称事件A、B、C两两相互独立；,若在此基础上还满足: P(ABC)P(A)P(B)P(C), 则称事件A、B、C相互独立。,一般地, 设A1, A2, , An是n个事件, 如果对任意k (1kn), 任意的1i1i2 ik n, 具有等式 P(Ai1 Ai2 Aik)P(Ai1)P(Ai2) P(Aik) 则称n个事件A1, A2, , An相互独立。,5. 独立事件的乘法公式与加法公式,P( AB)=,(1)若事件A、B相互独立,则,P( A1 A2 An)=,(2)若事件A1, A2, , An相互独立,则,P(AB)=P(A)P(B),注: 事件的独立性往往根据问题的实际意义判定,P(A)P(B)P(AB),=P(A)P(B)P(A)P(B),P(AB)=,P(A1A2An)=P(A1)P(A2).P(An),而用此公式求积事件的概率.,例5 每个人的呼吸道中有感冒病毒的概率为0.002,求在有1500人看电影的剧场中有感冒病毒的概率.,解 以Ai=“第i个人带有感冒病毒”(i=1,2,1500),假定每个人是否带有感冒病毒是相互独立的, 则,虽然每个人带有感冒病毒的可能性很小,但许多人聚集在一起时空气中含有感冒病毒的概率可能很大,该现象称为小概率事件的效应.卫生常识中,不让婴儿到人多的公共场所去就是这个道理.,1(10.002)1500 1e1500ln(10.002),1e1500(0.002) = 1e3 0.95,在概率论中,有些试验在同样条件下可以重复进行,且任何一次试验发生的结果都不受其它各次试验结果的影响.这种概率模型称做独立试验概型.,四、独立试验概型,定理 在贝努里概型中, P(A)=p (0p1), 则事件A在n次试验中恰好发生k次的概率为：,该公式与p(1p)n二项展开式中第k+1项相同, 故称之为参数为n和p的二项概率公式.,例6 一批产品中有20%的次品,现进行重复抽样,共抽取5件样品,分别计算这5件样品中恰好有3件次品及至多有3件次品的概率?,解 设Ai=“5件样品中恰有i件次品”(i=0,1,2,5),利用二项概率公式可得,B=“5件样品中至多有3件次品”,P(B)1P(A4)P(A5),教材例略，自看.,例7 自某工厂产品中进行重复抽样检查,共取200件样品,检查结果发现其中有4件是废品,问能否相信该厂产品废品率不