数列的通项公式求解方法经典整理.doc

数列的通项公式求解方法经典整理旭日东升QQ：284625005一、定义法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。1概念与公式：等差数列：1.定义：若数列称等差数列；2.通项公式：3.前n项和公式：公式：等比数列：1.定义若数列（常数），则称等比数列；2.通项公式：3.前n项和公式：当q=1时2简单性质：首尾项性质：设数列1.若是等差数列，则2.若是等比数列，则中项及性质：1.设a，A，b成等差数列，则A称a、b的等差中项，且2.设a,G,b成等比数列，则G称a、b的等比中项，且设p、q、r、s为正整数，且1. 若是等差数列，则2. 若是等比数列，则顺次n项和性质：1.若是公差为d的等差数列，组成公差为n2d的等差数列；2. 若是公差为q的等比数列，组成公差为qn的等比数列.（注意：当q=1，n为偶数时这个结论不成立）若是等比数列，则顺次n项的乘积：组成公比这的等比数列.若是公差为d的等差数列,1.若n为奇数，则而S奇、S偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；2.若n为偶数，则1.等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，求数列的通项公式.解析：设数列公差为成等比数列，即，由得：， 点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。2. 在等差数列 ；在各项为正的等比数列 。解析：0,3.已知数列试写出其一个通项公式：_；二、观察法给出前几项（或用图形给出），求通项公式一般从以下几个方面考虑：符号相隔变化用(-1)的n次方来调节。 分式形式的数列，注意分子、分母分别找通项，并注意分子与分母的联系。 分别观察奇数项与偶数项的变化规律，用分段函数的形式写出通项。观察是否与等差数列和等比数列相联系。 分析相邻项的关系。如果需要证明，使用数学归纳法。例： 求以下数列的通项公式1/2,4/9,3/8,8/25,5/18,12/49-3,7,-13,21,-311,4,9,16解析：将1/2改成2/4,3/8改成6/16，5/18改成10/36，原数列就为2/4,4/9,6/16,8/25,10/36,12/49，所以通项公式为an=2n/(n+1)：符号相隔变化用(-1)的n次方来调节，数列3，7，13，21，31，的通项公式：后项与前项差为4、6、8、10，把第一项3分为1+2，数列2、4、6、8、10，为等差数列，公差d=2，通项：2+2(n-1)=2n，则bn=1+2+4+6+2n=1+=n+n+1 所以an=(-1)n(n+n+1) 第二种办法：数列3，7，13，21，31，看作：4-1，9-2，16-3，25-4，36-5，所以an= =：an=n例： 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由及，得由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当时，所以等式成立。（2）假设当时等式成立，即，则当时，由此可知，当时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。1. （广东卷）设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用表示这条直线交点的个数，则_；当时，_2.（2008福州检测）图（1），（2），（3），（4）分别包含1,5,13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第50个图包含 个互不重叠的单位正方形.3（2006年广东卷）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就1个乒乓球；第2、3、4、堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以表示第n堆的乒乓球总数，则 ； （答案用含有n的式子表示）4.如图,作边长为的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,然后,再作新三角形的内切圆.如此下去,则前个内切圆的面积和为_解析：设第个正三角形的内切圆的半径为,因为从第2个正三角形开始,每一个正三角形的边长是前一个正三角形边长的,每一个正三角形内切圆的半径也是前一个正三角形内切圆半径的.由题意知,.故前个内切圆的面积和为.5.学校餐厅每天供应500名学生用餐,每星期一有A,B两种菜可供选择.调查资料表明,凡是在星期一选A种菜的,下星期一会有20% 改选B种菜;而选B种菜的,下星期一会有30% 改选A种菜.用分别表示在第个星期选A的人数和选B的人数,如果,求.解析：依题意得，消去得：.由得,从而得.一般地，可推出，若，则数列是首项为，公比为的等比数列则6.观察下列数表:12,34,5,6,78,9,10,11,12,13,14,15则2 008是此表中的第 行的第 个数. 7.将数列3n-1按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），（3，9），（27，81，243），则第100组中的第一个数是 . 8.将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： 记表中的第一列数构成的数列为，为数列的前项和，且满足 （）证明数列成等差数列，并求数列的通项公式；（）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数当时，求上表中第行所有项的和9.（福建卷）五位同学围成一圈依序循环报数，规定：第一位同学首次报出的数为1.第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；若报出的是为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为 。解析：这样得到的数列这是历史上著名的数列，叫斐波那契数列.寻找规律是解决问题的根本，否则，费时费力.首先求出这个数列的每一项除以3所得余数的变化规律，再求所求就比较简单了.这个数列的变化规律是：从第三个数开始递增，且是前两项之和，那么有1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987分别除以3得余数分别是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0由此可见余数的变化规律是按1、1、2、0、2、2、1、0循环，周期是8.在这一个周期内第四个数和第八个数都是3的倍数，所以在三个周期内共有6个报出的数是三的倍数，后面6个报出的数中余数是1、1、2、0、2、2，只有一个是3的倍数，故3的倍数总共有7个，也就是说拍手的总次数为7次.s.5.u.c三、公式法：1已知（即）求，用作差法：。例2已知数列的前项和满足求数列的通项公式。解：由当时，有，经验证也满足上式，所以点评：利用公式求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并练一练：已知的前项和满足，求；数列满足，求；2作商法已知求，用作商法：。例如：数列中，对所有的都有，则_ ；四.累加法（迭加法）：若求：。例. 已知数列满足，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，例. 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以数列的通项公式为。本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。如已知数列满足，则=_ ；五.累乘法（迭乘法）：已知求，用累乘法：。例. 已知数列满足，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，例. 已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以，则，故所以数列的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。练习：已知数列中，前项和，若，求六.构造法.已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。（1）形如、，（为常数） 等一系列 一阶线性递推数列都可以直接或者用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。解法：待定系数法，直接令，展开后，与原式比较，求得，转化为等比数列求解。例. 已知数列中，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.解法一：该类型较类型要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再应用的方法解决。 解法二：也可以待定系数法，直接令来构造等比数列例. 已知数列中，,，求。解：在两边乘以得：令，则,应用解法得：所以例. 已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。例 已知数列满足，求数列的通项公式。待定系数法解：设将代入式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入式得由及式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。例. 已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故因此，则评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。例.已知数列满足，求数列的通项公式。待定系数法解：设将代入式，得整理得。令，则，代入式得由及式，得，则，故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。为常数）若数列满足为常数），则令来构造等比数列，并利用对应项相等求的值，求通项公式。例 已知数列中，点在直线上，求数列的通项若数列满足为常数），则令来构造等比数列，并利用对应项相等求的值，求通项公式。例.已知数列满足，求数列的通项公式。解：设 将代入式，得，则等式两边消去，得，解方程组，则，代入式，得 由及式，得则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。练一练已知，求；已知，求；数列中，求（2）形如、（为常数）的二阶线性递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。例：在数列中，已知，求解析：由，得式+式，得，从而有数列是以为其周期故例：在数列已知，求数列的通项公式解析：可用换元法将其转化为一阶线性递推数列令使数列是以 为公比的等比数列(待定)即对照已知递推式， 有即的两个实根从而或由式得；由式得消去练一练(2007天津高考题)已知数列满足，（）其中，求数列的通项公式来源:Zxxk.Co（3）形如的非线性递推数列且为一次分式型或构造出倒数成等差数列或构造出倒数加常数成等比数列。例：解：取倒数：是等差数列，例：已知数列满足=1，求；（4）、对数变换法高于一次的递推数列，这类数列适当变换后，通常可取对数来解决。这类数列可取对数得（c为常数），从而转化为等差数列型递推数列.例：已知，点在函数的图象上，其中求数列的通项解：由已知，两边取对数得，即是公比为2的等比数列.例： 已知数列满足，求数列的通项公式。解：（迭代法）因为，所以又，所以数列的通项公式为。注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式两边取常用对数得，即，再由累乘法可推知，从而。例：已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以。在式两边取常用对数得设将式代入式，得，两边消去并整理，得，则，故代入式，得 由及式，得，则，所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此则。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。已知函数，又数列中，其前项和为，对所有大于1的自然数都有，求数列的通项公式。七、形如（mi为常数）的多阶线性递推数列例（2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列满足，求的通项公式。解：因为所以用式式得则故所以由，则，又知，则，代入得。所以，的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。特殊的n阶递推数列例、已知数列满足，求的通项公式解析： ，得故有将这几个式子累乘，得又例、数列满足，求数列的通项公式解析：由 ，得 式式，得，或，故有.,.将上面几个式子累乘，得，即也满足上式，八、不动点法（特征方程法、特征根法）定理1设已知数列的项满足其中设上述递推关系式的特征方程的根为，则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即.证明：因为由特征方程得作换元则当时，数列是以为公比的等比数列，故当时，为0数列，故（证毕）下面列举两例，说明定理1的应用.例、已知数列满足：求解：作方程当时，数列是以为公比的等比数列.于是例、已知数列满足递推关系：其中为虚数单位.当取何值时，数列是常数数列？解：作方程则要使为常数，即则必须定理如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程.（1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，若则若，则其中特别地，当存在使时，无穷数列不存在.（2）当特征方程有两个相异的根、（称作特征根）时，则，其中证明：先证明定理的第（1）部分.作交换则 是特征方程的根，将该式代入式得 将代入特征方程可整理得这与已知条件矛盾.故特征方程的根于是 当，即=时，由式得故当即时，由、两式可得此时可对式作如下变化： 由是方程的两个相同的根可以求得将此式代入式得令则故数列是以为公差的等差数列.其中当时，当存在使时，无意义.故此时，无穷数列是不存在的.再证明定理的第（2）部分如下：特征方程有两个相异的根、，其中必有一个特征根不等于，不妨令于是可作变换故，将代入再整理得 由第（1）部分的证明过程知不是特征方程的根，故故所以由式可得： 特征方程有两个相异根、方程有两个相异根、，而方程与方程又是同解方程.将上两式代入式得当即时，数列是等比数列，公比为.此时对于都有当即时，上式也成立.由且可知所以(证毕)注：当时,会退化为常数;当时,可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.例、已知数列满足性质：对于且求的通项公式.解：依定理作特征方程变形得其根为故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有即例、已知数列满足：对于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？解：作特征方程变形得特征方程有两个相同