渡河问题的数学模型解决方法.doc

渡河问题的数学模型解决方法内容摘要： 本文通过对1934年和2002年两次武汉抢渡长江挑战赛的资料分析，对在抢渡过程中涉及到的水流速度，人的游泳速度、方向和起终点路程的关系等因素建立了数学模型，并以此进行了几个问题的研究。分析两次比赛路线的不同对选手到达终点成功率的影响，阐述了两次的成功人数百分比有很大差异的原因。然后考虑诸多因素的复杂变化，包括水流速度的分段或线性变化等，对模型进一步优化，找出人的游速的大小和方向与水流的关系，并提出几种可行性方案。最后将模型应用到实际问题中，通过对诸如空投、宇宙飞船对接等涉及到多个速度和位移关系的设想，将模型进一步验证和推广。 通过数学模型及相关数据，可算得：2002年第一名的游泳路线为从起点到终点的直线路程，游泳速度的大小为v=1.54m/s，方向为与平行河岸上游方向夹角；一个游泳速度为1.5m/s的人应选择的方向为与平行河岸上游方向夹角，他的成绩大约为；如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游，则他们无法到达终点。由于1934年和2002年两次比赛在水平方向（即水流方向）上路程的差异，计算出1934年选手的理论成功概率为81.1%，实际概率为90.9%；2002年的理论成功概率为19.3%，实际概率为18.3%，从而说明了为何两次比赛能到达终点人数的百分比有如此大的差异。最后得出能够成功到达终点的选手的条件为当水流速度沿离岸边距离分段变化时，游泳速度为1.5m/s 的选手应选择的方向是与平行河岸上游方向夹角 ，路线为从起点到终点的直线距离，预计时间为784.5s 当水流速度沿离岸边距离呈线性变化时，人的游泳方向从垂直河岸开始逐渐向减小方向偏离，中间一段水流速度恒定是也恒定，最后一段逐渐增大，当到达对岸时。由此可最终求总共经历时间约为810s一基本模型建立设水速为v0，垂直于岸边的距离为d,平行于岸边的位移为s，人的速度为v,出发方向与河岸平行方向夹角为，整个运动时间为t ，起点至终点的直线距离为，如图所示： v0sdv终点: 汉阳南岸咀起点: 武昌汉阳门若人要恰好从起点到达终点，则有：二模型假设1不考虑温度（气温、水温）及水中除水速外其他因素对选手速度的影响；2由于在实际情况中，风力对人的影响比对水的影响要小得多，而风对水的影响在水速中已经体现，因此不考虑风力对人的直接影响； 3假设1934年和2002年两次比赛具有相同的外界条件，即具有相同的水流速度；4开始人以某一初速度沿固定方向向对岸游，则只要满足人刚到达对岸的地点在终点的上游，就可以认为此人能够到达终点；5的范围是，在开始时所有选手向各个方向起跳的机率相同。三模型分析1分析2002年冠军的游泳速度的大小和方向 由于在游泳过程中水流速度，游泳速度的大小和方向始终不变，因此第一名的路线为从起点到终点的最短距离即直线距离。在这个条件下可以得出： 分析=1.5m/s的人所应选择的游泳方向及用时计算2若游泳者始终以和岸边垂直的方向游，则模型可简化为：但根据我们在网上查到的资料1，男子800M自由泳世界纪录为7分46秒，平均速度为1.72；男子1500M自由泳世界纪录为14分41秒，平均速度为1.70.由此可以看出若游泳者始终以和岸边垂直的方向游所需的速度大于目前为止世界上人们所能达到的最大速度。显然这是不成立的，因此可以得出结论：若游泳者始终以和岸边垂直的方向游，则无法到达终点。由于1934年当时比赛时的水温与水流速度现已无从考评，况且根据武汉的地理及气候特点，5月1日和9月9日的气候差异不足以对选手的速度产生较大影响。所以，只考虑水速和人的游泳速度。 vv0s起点: 武昌汉阳门d考虑成功到达终点的概率时，我们只需研究某一合理速度。则在这一速度上两次比赛能够选择速度方向的差异决定了两次比赛选手们成功率的差异。根据题设的条件，我们假设=1.5m/s为所有选手的普遍速度。则在这个速度的条件下，来研究1934年和2002年两次比赛中方向选择的差异。又因为模型假设三，若选手可以到达终点，则模型应满足的条件是：1934年时：2002年时：由此可以得出结论，由于两年的比赛中在s值上存在的很大差异，使得两次竞渡能够成功的理论概率存在很大差异，1934年时成功率远大于2002年时的成功率，因此两次比赛能够到达终点的人数的百分比有如此大的差别。同时，2002年时能够成功到达终点的选手的条件即为模型的条件，即：3当水流速度分段分布时，研究游泳方向的问题由于水流速度永远只沿平行河岸方向，因此竖直方向速度永远等于，所以人在竖直方向保持匀速直线运动 根据以上图示和模型可列出方程组：代入数据可得：从而可以得出： 因为要用最少的时间到达终点，所以取T=5.8=784.5s，所以方向为与平行河岸方向夹角为，经历总时间为784.5s4当水流速度呈线性变化时，研究游泳者的速度和方向当游泳者的游泳方向始终保持不变时:在水平方向，当，水流速度呈线性变化： 在竖直方向，游泳者始终保持匀速：根据模型，则有：代入各数据可得：根据题设，取一合理范围内的速度值，即当=1.5m/s时，代入模型可求得： 即以上两种情况可恰好到达终点。游泳者的游泳方向随着水流速度的线性变化而变化时:假设人的游泳速度（如1.5m/s）始终沿垂直河岸方向时，可以求得到达对岸的时间约为733.3s，但在水平方向的位移为1459.2m1000m，因此无法到达终点。将多出的459.2m平均分配到应水平游过的1000m中，即将原水平方向每一点的速度都变为原来的，可导出，当时：时的情况同理可以求出从而可以画出y关于x的图象即游泳的实际路线图如右所示。对于游泳者来说，他的游泳速度方向相当于根据自己所在的y值而时刻改变，当y=0时方向垂直河岸，当时，不断减小，y=200时 ；时的情况正好与时的情况相反。于是可画出以上路线图。由于最终可求得总共所用的时间约为T=810s，由于这个时间小于方向不变时所得时间907.7s，因此可以肯定这个模型较之前者为更优化方案。在实际情况中，由于每个人游泳的速度有不同，因此只需将个人的速度代入模型，并合理估计水流的速度分布情况，便可求得在各个时刻所应选择的速度方向，并可由于预测出整个过程所经历的时间。四模型验证与不足 以上的四种情况中，最后一种为最为符合实际的。对于这种情况我们分析了较为优化的方案。通过与其它几种方案的比较我们基本可以得知这是一个最优化的措施。但以我们现在的知识无法从理论上证明这种方案的确是最省时的，因此这也是我们这个模型的不足之处。五模型应用及推广：本论文的模型虽然形式较简单，但用途广泛如果模型中的s、d为常数，可得以v0和分别为自变量和函数的关系，由此便可解决大量有关两个矢量合成的问题。如：飞机投弹、宇宙飞船对接、。下面以飞机投弹问题为例。飞机在一定高度要把炸弹投到地面固定一点，投出的炸弹在空中有水平和竖直两个速度。将两个速度代入模型，便可计算出投弹位置及落地时间。 若以v0和为常数，s、d分别为自变量和函数，则可画出运动物体在两个矢量作用下的路线图。如本题第四问中的问题，我们就是用这个方法解决的。在动力帆船比赛中，有时竞技者会遇到逆风的问题。这时就可以用这个模型计算。利用风对帆作用力方向与帆方向的夹角，以风垂直帆方向的分力与动力的合成为动力，用模型优化，可以以同样道理减少运行时间。六致参赛选手们的策略建议书竞渡长江勇敢与智慧并存的运动可爱的勇士们,你们好! 一年一度的武汉国际抢渡长江挑战赛又将拉开帷幕了。这次报名参赛的一共有国内外包括职业选手在内的两百余人，你们当中既包括在世界性比赛中获过奖的优秀运动员，也不乏熟识长江地形特点的各地群众。但要想取得胜利，只靠勇敢和技术是远远不够的。这些固然是你们成功的必要也是首要条件，然而在这项特殊的竞技活动中，能够最终脱颖而出的，一定是勇敢与智慧并存的选手。这也使这项激动人心的比赛更加具有挑战性和观赏性。 众所周知，长江的水性以水流快、水势多变而闻名。因此，在比赛之前，就应对比赛中有可能发生的情况作好充分的预测和准备。在静水中，一个人的平均游速大约为1.5m/s，而长江横向水流的速度却经常能够达到2m/s甚至更高；相反，竞渡的垂直距离（即江宽）却比起点到终点的水平距离长。因此，如果一个人始终沿着垂直河岸或斜向终点的方向游，一定会被冲到终点的下游，因而是无论如何也无法到达终点的。所以在水流速度较小时，应让自己垂直河岸方向的游速尽可能的大；而水流速度越大，则游速与河岸上游的夹角越小，即游泳的速度应斜向长江上游。不要为了追求速度快就顺着水流方向游，这样的选择只能适得其反。曾经游过12个海峡的王瀚2说过，“横渡不是体力活，而要动脑筋，并不是只有勇气就可以。每次游海峡之前，我们都要对海峡有充分的了解，如潮汐、海流的时间、走向和海洋生物攻击的种类、几率等等。”渡江跟渡海峡在原理上是一样的，2002年的情况表明，正是由于许多选手事先没有充分的估计到这些因素，才导致最终的失败。因此，在开始下水时，一定不能抱着“随大流”的心理，要对自己的选择有足够的信心，坚信自己是正确的。同时，应该把首要目标定为到达终点而不是游的多快，因为总会有人比你游的更快。这也就是2002年的比赛在所有186人中只有34人能最后到达终点的原因。勇士们，你们每个人都有足够的实力取得成功，相信自己，并