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第一章 常用逻辑用语复习广东省深圳市 王远征本章学习的主要内容包括：命题的概念、四种命题之间的关系；充分条件与必要条件，简单的逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；全称量词和存在量词及含有一个量词的否定的一些基本知识等一些基本知识涉及四种命题的关系基本的题型有：写出原命题的否命题、逆命题、逆否命题，并判断其真假首先要弄清楚每种命题的构造形式，其次要弄清楚互为逆否命题之间的等价性和等价性在证明中的应用典例精讲例1判断下列语句是不是命题，若是命题，判断其真假正方形难道不是平行四边形吗？（2）求证时，方程无实数根（3）一个整数不是质数就是合数；（4）平行于同一条直线的两条直线必平行吗？解析：反问句，对正方形是平行四边形做出了判断，是真命题；是祈使句，不是命题；（3）假命题；（4）疑问句，没有对平行于同一条直线的两条直线作出判断，不是命题。【小结】：能判断真假的陈述句叫做命题，可见，判断一语句是不是命题要满足两点：能判断真假，是陈述句，两者缺一不可例2现有下列命题:命题“”的否定是“”； 若,，则=；函数是偶函数的充要条件是；若非零向量满足，则的夹角为 60其中正确命题的序号有_(写出所有你认为真命题的序号)解析：命题“”的否定是“，”，故假；对于=，真；真；对依题意作图知的夹角为120，则假故选点评：判断一个命题是假命题，可以取特例进行说明不成立即可【小结】：判断一个命题是真命题，要有充足的理由，如有有关定义、定理或公理等作保证，一般要给出证明；判断一个命题是假命题时，只要举出反例即可。例3集合、，则“”是“”的（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件解析：因为，记：，：。则，但故是的必要不充分条件因此，选评注：上例就是直接利用“定义法”和“集合包含法”判断【小结】：关于充要条件的判断主要有以下几种方法：（1） 定义法：直接利用定义来判断；（2） 等价法：利用原命题与逆否命题有相同的真假性来进行转化，即与等价、与等价、与等价，对于条件或结论是不等关系（否定式）的命题，一般运用此法；（3） 利用集合之间的包含关系进行判断。例4命题“”的否命题是（）A. B.若，则C. D.解析：分别对原命题的条件、结论进行否定得：“”，所以选C.评注：命题“若则”的否命题是“若则”，逆命题是“若则”，逆否命题是“若则” 其中原命题与其逆否命题是等价命题例5(1) 命题“”的否定是（ ）A、 B、 C、 D、(2) 命题“R，”的否定是 解析：该题将不等式与四种命题的关系联系在一起，特别要注意不等号的方向和等号的取舍分别对原命题的条件和结论进行否定，就得到命题的否定，选C(2) R，评注：关于全称命题和存在性命题的非命题结论如下：=，=【小结】：解题时，首先弄清楚是全称命题还是存在性命题再针对不同的形式加以否定必须注意，“若，则”的四种形式都是全称命题，只不过在表述时，都省略了全称量词，因此，在写出命题“若，则”的否定时，就必须把全称量词添上，然后再加上否定，即：=，(注：命题的否定是)。例5设，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_ 解析：解得； 记，依题意有，但，即如图所示，则即，所以实数的取值范围是【小结】：用集合的观点以及数形结合的思想方法求解，是解决这些求参数问题的一般方法例6如果命题“且”是假命题，“非”是真命题，那么（） A命题一定是真命题 B命题一定是真命题 C命题一定是假命题 D命题可以是真命题也可以是假命题 解析：“非”是真命题，则“”是假命题；命题“且”是假命题，则命题“”与“”中至少有一个是假命题，所以，命题可以是真命题也可以是假命题，选D【小结】：解答这类问题的规律如下:(1)“且”形式的复合命题只有当命题“”与“”同时为时真，才为真，否则为假；(2)“或”形式的复合命题只有当命题“”与“”同时为假时，才为假，否则为真；（3）“非”形式的复合命题的真假与命题“”的真假相反。（4）写出一个命题的否定往往需要对正面词语进行否定，要熟悉常用的正面叙述语句及它的否定形式。实战演练一、填空题1已知条件:，条件： ，则是的 条件(填“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”或是“既不充分也不必要条件”)答案：充分不必要2若或是假命题，则的取值范围是 2答案：；3命题“”的否定是 3答案：；4若命题“，”是真命题，则实数a的取值范围是 4答案：即函数的图像与轴必有2个交点，则，所以或，即5直线xay30与直线ax4y60平行的充要条件是_5答案：依题意：，解得a26对于非零实数，以下四个命题都成立： ； ； 若，则； 若，则那么，对于非零复数，仍然成立的命题的所有序号是 6答案 、 ；解：在给出的已知条件下，通过取特殊值代入代数式检验，来判断命题的真假对于非零复数而言，当取时，代入与不为矛盾；当，时，但是；进一步验证可知只有 、 是仍然成立的命题7下列四个命题：； ；其中真命题的序号是 7答案；说明：请注意有关常用逻辑用语中的一些特殊符号如果题中的集合R改成Z，真命题的序号是，如果R改成复数集C呢？二、选择题8给出命题：“若，则”，在它的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中，真命题个数是（ ） A.3 B.2 C.1 D.0答案C，其中只有逆否命题是真命题9命题对任意恒成立，则（ ）A“”为假命题B“”为真命题C“”为真命题D“”为真命题9答案D解:由于所以命题, 均正确，选D10已知，若，则是的（）条件A 充要 B 充分不必要 C 必要不充分 D 既不充分又不必要10答案B三、解答题11分别写出下列命题的否命题，并判断其真假（1）：，；（2）：，；11解答：该题将不等式与四种命题的关系联系在一起，特别要注意不等号的方向和等号的取舍分别对原命题的条件和结论进行否定，就得到否命题（1）否命题：， 假；因为，有，所以不存在，使成立；（2）否命题：，真；因为：，恒成立12分别用量词和表示下列命题，并写出它们的否命题，判断其真假(1) 任一实数的平方是非负数；（2）无论为何值，总有。12解答：（1）：，；真；否命题：，假；（2）：， 真；否命题： 假.13写出命题“若，则”的逆命题、否命题、逆否命题及其否定，并说明其真假。13解答：原命题：（若，则）；真；逆命题：（若，则）；假.否命题：（若，则）；假逆否命题：（若，则）；真.命题的否定：（若，且）；假.即“存在不小于3的数，其平方却小于9”显然是假命题。14.设有两个命题：的解集是；：函数是减函数。若这两个命题中只有一个是真命题，求实数的取值范围。14解答：若为真命题，则；若为真