最优化方法——用Lingo对线性规划进行灵敏度分析.doc

lingo软件求解线性规划及灵敏度分析注：以目标函数最大化为例进行讨论，对求最小的问题，有类似的分析方法！所有程序运行环境为lingo10。一、用lingo软件求解线性规划例1：在模型窗口输入：model:max=2*x+3*y;4*x+3*y=10;3*x+5*y12;! the optimal value is :7.454545 ;End如图所示：运行结果如下（点击 工具栏上的solve或点击菜单lingo下的solve即可）：Global optimal solution found. Objective value: 7.454545（最优解函数值） Total solver iterations: 2（迭代次数） Variable （最优解） Value Reduced Cost X 1.272727 0.000000 Y 1.636364 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 7.454545 1.000000 2 0.000000 0.9090909E-01 3 0.000000 0.5454545例2：在模型窗口输入：model:max=5*x1+4*x2;x1+3*x2+x3=90;2*x1+x2+x4=80;x1+x2+x5=45;end运行（solve）结果如下：Global optimal solution found. Objective value: 215.0000 Total solver iterations: 3 Variable Value Reduced Cost X1 35.00000 0.000000 X2 10.00000 0.000000 X3 25.00000 0.000000 X4 0.000000 1.000000 X5 0.000000 3.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 215.0000 1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 1.000000 4 0.000000 3.000000例3在模型窗口输入：model:min=-x2+2*x3;x1-2*x2+x3=2;x2-3*x3+x4=1;x2-x3+x5=2;end运行结果如下： Global optimal solution found. Objective value: -1.500000 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X2 2.500000 0.000000 X3 0.5000000 0.000000 X1 6.500000 0.000000 X4 0.000000 0.5000000 X5 0.000000 0.5000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 -1.500000 -1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 0.5000000 4 0.000000 0.5000000例4：在模型窗口输入：model:min=abs(x)+abs(y)+abs(z);x+y1;2*x+z=4;free(x);free(y);free(z);End求解器状态如下：（可看出是非线性模型！）运行结果为： Linearization components added: Constraints: 12 Variables: 12 Integers: 3 Global optimal solution found. Objective value: 3.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 4 Variable Value Reduced Cost X 2.000000 0.000000 Y -1.000000 0.000000 Z 0.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3.000000 -1.000000 2 0.000000 1.000000 3 0.000000 -1.000000二、用lingo软件进行灵敏度分析实例例5： 在模型窗口输入：Lingo模型：model:max=60*x+30*y+20*z;8*x+6*y+z48;4*x+2*y+1.5*z20;2*x+1.5*y+0.5*z8;y5;end（一）求解报告（solution report）通过菜单LingoSolve可以得到求解报告（solution report）如下：Global optimal solution found at iteration: 0 Objective value: 280.0000 Variable Value Reduced Cost X 2.000000 0.000000 Y 0.000000 5.000000 Z 8.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 280.0000 1.000000 2 24.00000 0.000000 3 0.000000 10.00000 4 0.000000 10.00000 5 5.000000 0.000000分析Value,Reduced Cost，Slack or Surplus，Dual Price的意义如下：1、最优解和基变量的确定Value所在列给出了问题的最优解。由于基变量取值非零，因此Value所在列取值非零的决策变量x,z是基变量。2、差额成本Reduced Cost（或opportunity cost）所在列的三个数值表示当决策变量取值增加一个单位时，目标函数值的减少量。例如：第2个数5表示当变量y增加一个单位时，最优目标函数值减少的量。例如：当y=1时，最优目标函数值为280-5=275。可通过如下模型可检验：model:max=60*x+30*y+20*z;8*x+6*y+z48;4*x+2*y+1.5*z20;2*x+1.5*y+0.5*z8;y5;y=1;end注：（1）换一个角度说，就是目标函数中变量y的系数增加5，那么生产y才会有利！（2）基变量的Reduced Cost值为0，只有非基变量的Reduced Cost值才可能不为0；故由value,和Reduced Cost值分析可知y为非基变量。3、松弛变量取值Slack or Surplus所在列的各数表示各行的松弛变量的取值。目标函数行的Slack or Surplus值没啥意义，不用考虑。可通过如下模型检验：model:max=60*x+30*y+20*z;8*x+6*y+z+s1=48;4*x+2*y+1.5*z+s2=20;2*x+1.5*y+0.5*z+s3=8;y+s4=5;end4、对偶价格（影子价格）Dual Price所在列的各数表示相应约束条件的右端常数增加一个单位时，最优目标函数值的增加量。注，只有紧约束行的Dual Price值不为0。例如：要检验第二行约束，可通过如下模型：model:max=60*x+30*y+20*z;8*x+6*y+z48;4*x+2*y+1.5*z21;2*x+1.5*y+0.5*z8;y5;end（二）灵敏度分析报告 首先设置：LingoOptionsGeneral solverDual computationsPrices and Range。 当求解完成后，最小化求解报告窗口，然后点击菜单LingoRange，可得灵敏度分析报告： Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X 60.00000 20.00000 4.000000 Y 30.00000 5.000000 INFINITY Z 20.00000 2.500000 5.000000 Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 2 48.00000 INFINITY 24.00000 3 20.00000 4.000000 4.000000 4 8.000000 2.000000 1.333333 5 5.000000 INFINITY 5.000000分析Objective Coefficient Ranges，Righthand Side Ranges的意义如下：1、目标函数中系数的变化对最优基的影响 Objective Coefficient Ranges表示目标函数行各系数在某个范围内变化时，最优基保持不变。以变量x的系数为例：当x的系数在内取值时，最优基保持不变。此时，最优解不变，最优目标函数值变了。例如：可通过如下模型检验：model:max=56.0001*x+30*y+20*z;8*x+6*y+z48;4*x+2*y+1.5*z20;2*x+1.5*y+0.5*z8;y5;end2、约束条件右端常数变化对最优基的影响 Righthand Side Ranges表示约束右端项各数在某个范围内变化时，最优基保持不变。以第一个约束行为例：当右端项在内取值时，最优基保持不变。此时，最优解，目标函数的最优值变化了。例如：可通过如下模型检验：model:max=60*x+30*y+20*z;8*x+6*y+z4800;4*x+2*y+1.5*z20;2*x+1.5*y+0.5*z8;y=0)bnd(a,x,b)Axb练习：1、建立线性规划模型并求解（1）某工厂生产甲、乙两种产品。已知生产甲种产品需耗种矿石、种矿石、煤；生产乙种产品需耗种矿石、种矿石、煤。每甲种产品的利润是元，每乙种产品的利润是元。工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗种矿石不超过、种矿石不超过、煤不超过。甲、乙两种产品应各生产多少，能使利润总额达到最大？（2）设有A1，A2两个香蕉基地，产量分别为60吨和80吨，联合供应B1，B2，B3三个销地的销售量经预测分别为50吨、50吨和40吨。两个产地到三个销地的单位运价如下表所示：表1（单位运费：元/吨）问每个产地向每个销地各发货多少，才能使总的运费最少？2、用Lingo软件对下列线性规划问题进行灵敏度分析。（1）（2）（3）3、综合题某工厂用甲，乙两种原料生产A,B,C,D 四种产品，每种产品的利润、现有原料数量及每种产品消耗原料定额如下表：每万件产品所耗原料（千克）ABCD现有原料（千克）甲3210418乙0022.53每万件产品利润（万元）985019问题：（1）怎样组织生产才能使总利润最大？（2）如果产品A的利润有波动，波动范围应限制在什么范围内，才能使得原生产计划不变？（3）若原料甲的数量发生变化，在什么范围内变化时才能使得原生产计划不变？（4）若工厂引进