集合是高中数学中最原始的不定义的概念.doc

第一章 集合一 定义集合是高中数学中最原始的不定义的概念，只给出描述性的说明。某些确定的且不同的对象集在一起就成为集合。组成集合的对象叫做元素。二 集合的抽象表示形式用大写字母A，B，C表示集合；用小写字母a，b，c表示元素。三 元素与集合的关系有属于，不属于关系两种。元素a属于集合A，记作；元素a不属于集合A，记作。四 几种集合的命名有限集：含有有限个元素的集合；无限集：含有无限个元素的集合；空 集：不包含任何元素的集合叫做空集，用表示；自然数集：N；正整数集：N*或N+；整数集：Z；有理数集：Q；实数集：R。五 集合的表示方法(一) 列举法：把元素一一列举在大括号内的表示方法，例如：a,b,c。注意：凡是以列举法形式出现的集合，往往考察元素的互异性。(二) 描述法：有以下两种描述方式1代号描述：【例】方程的所有解组成的集合，可表示为x|x2-3x+2=0。x是集合中元素的代号，竖线也可以写成冒号或者分号，竖线后面的式子的作用是描述集合中的元素符合的条件。图1-12文字描述：将说明元素性质的一句话写在大括号内。【例】大于2小于5的整数；描述法表示的集合一旦出现，首先需要分析元素的意义，也就说要判断元素到底是什么。(三) 韦恩图法：用图形表示集合定义了两个集合之间的所有关系。1子集：如果属于A的所有元素都属于B，那么A就叫做B的子集，记作：，如图1-1所示。 子集有两种极限情况：(1)当A成为空集时，A仍为B的子集； (2)当A和B相等时，A仍为B的子集。真子集：如果所有属于A的元素都属于B，而且中至少有一个元素不属于A，那么A叫做B的真子集，记作或。真子集也是子集，和子集的区别之处在于。对于同一个集合，其真子集的个数比子集少一个。(1)求子集或真子集的个数，由n各元素组成的集合，有2n个子集，有2n -1个真子集；(2)空集的考查：凡是提到一个集合是另一个集合的子集，作为子集的集合首先可以是空集，的等价形式主要有：。2交集：由两个集合的公共元素组成的集合，叫做这两个集合的交集，记作，读作A交B，如图1-2所示。 图1-2 图1-3 图1-43并集：由两个集合所有元素组成的集合，叫做这两个集合的并集，记作，读作A并B，如图1-3所示。4补集：由所有不属于的元素组成的集合，叫做在全集中的补集，记作，读作A补，如图1-4所示。德摩根公式 ：.(四) 区间表示法：数轴上的一段数组成的集合可以用区间表示，区间分为开区间和闭区间，开区间用小括号表示，是大于或小于的意思；闭区间用中括号表示，是大于等于或小于等于的意思；【例】(2，3)，2,3，(2,3，2，3第二章 函数一 映射与函数的基本概念(一) 映 射A集合中的每个元素按照某种对应法则在B集合中都能找到唯一的元素和它对应，这种对应关系叫做从A集合到B集合的映射。A中的元素叫做原象，B中的相应元素叫做象。在A到B的映射中，从A中元素到B中元素的对应，可以多对一，不可以一对多。 图2-1是映射 图2-2是一一映射 图2-3不是映射()求映射(或一一映射)的个数，m个元素的集合到n个元素的集合的映射的个数是nm。()判断是映射或不是映射：可以多对一，不可以一对多。(二) 函数的概念定义域到值域的映射叫做函数。如图2-4。高中阶段，函数用f(x)来表示：即x按照对应法则f对应的函数值为f(x)函数有解析式和图像两种具体的表示形式。偶尔也用表格表示函数。函数三要素：定义域A：x取值范围组成的集合。值域B：y取值范围组成的集合。对应法则f：y与x的对应关系。有解析式和图像和映射三种表示形式 函数与普通映射的区别在于：(1)两个集合必须是数集； (2)不能有剩余的象，即每个函数值y都能找到相应的自变量x与其对应。 图2-4 二 定义域题型 (一) 具体函数：即有明确解析式的函数，定义域的考查有两种形式直接考查：主要考解不等式。利用：在中；在中，；在中，；在中，；在中， ；在 与中且，列不等式求解。(二)抽象函数：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同。三 值域题型(一) 常规函数求值域：画图像，定区间，截段。常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函数，对号函数。(二) 非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域。解题步骤：(1)换元变形；(2)求变形完的常规函数的自变量取值范围；(3)画图像，定区间，截段。(三) 分式函数求值域 ：四种题型(1) ：则且。(2)：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x的范围解不等式求y的范围。(3)： ，则且。(4)求的值域，当时，用判别式法求值域。， 值域(四) 不可变形的杂函数求值域： 利用函数的单调性画出函数趋势图像，定区间，截段。判断单调性的方法：选择填空题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。详情见单调性部分知识讲解。(五) 原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反函数定义域。(六) 已知值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形式表示的值域与已知值域对照求字母取值或范围。四 函数运算法则（一） 指数运算法则 运用指数运算法则，一般从右往左变形。（二） 对数运算法则同底公式： 运用对数运算法则，同底的情况，一般从右往左变形。不同底公式： 运用对数运算法则，不同底的情况，先变成同底。五 函数解析式(一) 换元法：如f(2x + 3)=x2 + 3x + 5，求f(3-7x)， (设2x + 3=3-7t)。(二) 构造法：如，求f(x)。(三) 待定系数法：通过图像求出y=Asin(x +) + C中系数(四) 递推：需利用奇偶性、对称性、周期性的定义式或运算式递推。(五) 求原函数的反函数：先反表示，再x、y互换。六 常规函数的图像常规函数图像主要有： 指数函数：逆时针旋转， 对数函数：逆时针旋转，底数越来越大 底数越来越小幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。其他象限图象看函数奇偶性确定。七 函数的单调性(一) 定义：在给定区间范围内，如果x越大y越大，那么原函数为增函数；如果x越大y越小，那么原函数为减函数。(二) 单调性题型：1.求单调性区间：先找到最基本函数单元的单调区间，用复合函数法判断函数在这个区间的单调性，从而确定单调区间。复合函数法： ： 当0 x 1时，x，x2，- x2，2.判断单调性 (1).求导函数：为增函数，为减函数(2).利用定义：设x1xx2，比较f(x1)与f(x2)大小，把因式分解，看正负。(3).原反函数：具有相同的单调性，一个函数具有反函数的前提条件是它具有严格的单调性。3.利用函数单调性：(1).求值域：利用单调性画出图像趋势，定区间，截断。(2).比较函数值的大小：画图看(3).解不等式：利用以下基本结论列不等式，解不等式。增函数或减函数或(4).求系数：利用常规函数单调性结论，根据单调性求系数。八 函数的奇偶性(一)定义：如果,则为偶函数；如果,则 为奇函数。这两个式子有意义的前提条件是：定义域关于原点对称。(二)奇偶性题型： 1.判断奇偶性 ： (1).先看定义域是否关于原点对称，再比较f(x)与f(-x)正负(2).看图像对称性：关于y轴对称为偶，关于原点对称为奇(3).原、反函数：奇函数的反函数是奇函数，偶函数没有反函数。2.利用奇偶性：(1).利用公式：f(-x)=- f(x)，f(-x)= f(x)，计算或求解析式(2).利用复合函数奇偶性结论：F(x)=f(x)g(x)，奇奇得偶，偶偶得偶，奇偶得奇F(x)=f(x)+g(x)，当f(x)为奇，g(x)为偶时，代入-x得：F(-x)=-f(x)+g(x),两式相加可以消去f(x),两式相减可以消去g(x),从而解决问题。3.奇偶函数图像的对称性偶函数：关于y轴对称若，则f(x)关于对称奇函数：关于原点对称若，则f(x)关于点(，m) 对称九 函数的周期性(一) 定义：若，则为周期函数，为周期(二) 周期性考点： 1.求周期： (1).利用f(x)=f(T + x)列出方程解出T =(2).把所给函数化为y=Asin(x +) + C标准形式，直接读出周期 2.利用周期性：利用公式f(x)=f(T + x)(1).求解析式(2).求函数值十 函数图像的对称性(一) 一个图关于点对称：()奇函数关于原点对称()若f(a+x) + f(b-x)=2m，则f(x)关于(，m)对称(二) 一个图关于直线对称：()偶函数关于轴对称() ，则关于对称(三) 两个图关于点对称 ()关于原点对称的函数：x-x，y-y，即-y=f(-x)()关于对称的函数：即(四) 两个图关于线对称 ()原函数与反函数：关于y=x对称 ()y= f(x)关于y=x + c对称的函数:xy-c，yx+c，即x+c= f(y-c) ()y= f(x)关于y=-x+c对称的函数: x-y+c,y-x+c，即-x+c= f(-y+c) ()f(x)与f(-x)关于y轴对f(a+x)与f(b-x)关于对称 ()f(x)与-f(x)关于x轴对称十一 原函数与反函数反函数反映了两个函数之间的关系有两方面考点：求反函数，利用原函数与反函数关系解题。（一） 求反函数：先反表示，再互换；或先互换再反表示。一个函数有反函数的前提条件是在整个定义域内具有严格的单调性。（二） 利用原函数反函数的关系解题：已知原函数或反函数情况求反函数或原函数情况时，往往不用求反函数可依据以下结论解题。1定义域、值域：原函数自变量等价于反函数函数值，原函数函数值等价于反函数自变量；原函数定义域等价于反函数值域，原函数值域等价于反函数定义域。2单调性：原函数与反函数具有相同的单调性3奇偶性：奇函数反函数是奇函数，偶函数没有反函数。4对称性：原函数与反函数图像关于对称，原函数与反函数交点一定在上。第三章 立体几何一 平行关系（一） 线线平行(图3-1) 1如果两条线都平行于第三条线，那么这两条线相互平行.2如果一条线平行于另一个平面，那么这条线就平行于过这条线的平面与已知平面的交线. 图3-13如果两个平面平行，那么另一个平面与这两个平面的交线互相平行.4如果两条直线都和另一个平面垂直，那么这两条直线平行.5在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行.（二） 线面平行(图3-2)1如果平面外一条直线平行于平面内的一条直线，那么直线与平面平行. 图3-2 2如果两个平面平行，一个平面内的任何一条直 线平行于另一个平面 3如果平面与平面外一条直线同时垂直于另一条直线，那么线面平行4如果平面与平面外一条直线同时垂直于另一个平面，那么线面平行（三） 面面平行(图3-3)1.如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么面面平行 2.如果两个平面都平行于第三个平面，那么这两个平面平行 图3-33.如果两个平面同时垂直于同一条直线，那么这两个平面平行二 垂直关系大部分都是通过垂直证垂直；不能证明的时候，平移到另一个位置证垂直。 （一） 线线垂直 如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线。 （二） 线面垂直1如果一条直线垂直于平面内两条相交的直线，那么这条直线就垂直于两条相交直线所在的平面2如果两个平面垂直，在其中一个平面内，垂直于公共棱的直线垂直于另一个平面（三） 面面垂直 (如图3-4)1过一个平面垂线的平面垂直于已知平面 2二面角为直角的两个平面垂直 图3-4（四） 不能直接证垂直的情况 1把已知线或面平移到容易证明垂直的位置2找和已知线或面平行的线或面证垂直三 距离问题1能做出垂线段的直接求距离，垂足一定是特殊点(顶点，中点，内心，外心)或在特殊直线(棱或对角线)上2不能做出垂线段的，转移后求距离： 点到面 线到面 面到面3等体积性：，找到三个量就可以求出另一个量。四 多面体概念辨析与边长、面积、体积（一） 题型分类总描述概念辨析：主要考查的是四棱柱，平行六面体，直平行六面体，长方体，正四棱柱，正方体系列概念的对比，或正四面体，正四棱锥系列。边长：将边长放于三角形中解三角形。正弦定理，余弦定理，勾股定理。面积：找底和高体积：一般底面积好求，高看成是距离用上文“求距离”的方法求。（二）棱柱1概念棱柱的概念：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱。两个互相平行的面叫棱柱的底面(简称底)；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高(公垂线段长也简称高)2棱柱的分类：(1)总体分类：a.棱柱：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱b.直棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱；侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱。c.正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。例： 正四棱柱(2)四棱柱分类：a.普通四棱柱：上下底面是四边形的棱柱。如图3-5 b.平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体。如图3-6c.直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体。如图3-7 d.长方体：底面是矩形的直平行六面体是长方体。如图3-8e.正四棱柱：底面是正方形的直四棱柱f.正方体：棱长都相等的长方体叫正方体。如图3-9 图3-5 图3-6 图3-7 图3-8 图3-9 (3)棱柱的体积公式： (为底面积，为高) 五 棱锥（一）概念：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥。其中有公共顶点的三角形叫棱锥的侧面；多边形叫棱锥的底面或底；各侧面的公共顶点，叫棱锥的顶点，顶点到底面所在平面的垂线段，叫棱锥的高(垂线段的长也简称高) （二）棱锥的分类：1.按底面多边形的边数分类：分别称底面是三角形，四边形，五边形的棱锥为三棱锥，四棱锥五棱锥三棱锥也叫做四面体(如图3-10)，各个面都是正三角形的四面体叫正四面体。四棱锥如图3-11 .五棱锥如图3-12 图3-10 图3-11 图3-122.正棱锥：底面是正n边形，顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥叫“正n棱锥”（三）棱锥的体积公式： (为底面积，为高) 注：在棱锥中涉及到表面积或体积时经常需要连出底面高和斜高。如图3-13 图3-13 六 正多面体1正多面体的概念：每个面都是有相同边数的全等的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体（1）正方体:是一类非常特别的多面体：它的六个面都是正方形，每个顶点处都有三条棱正方体我们也可以称为正六面体（2）正四面体:它的四个面都是全等的正三角形，每个顶点处都有三条棱2正多面体的特性：正多面体是一种特殊的凸多面体，它有两个特点：（1）每个面都是有相同边数的全等的正多边形；（2）每个顶点处都有相同数目的棱由定义可以得知：正多面体的各个面是全等的正多边形，各条棱是相等的线段3正多面体的种类：正多面体共有五种，它们是：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。如下图。 七 球（一） 球的定义第一定义：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫球面。球面所围成的几何体叫球体，简称球。第二定义：球面是空间中与定点的距离等于定长的所有点的集合（二）球的截面与大圆小圆截面：用一个平面去截一个球，截面是圆面大圆：过球心的截面圆叫大圆， 大圆是所有球的截面中半径最大的圆。球面上任意两点间最短的球面距离：是过这两点大圆的劣弧长小圆：不过球心的截面圆叫小圆。 如图所示。（三）球的表面积与体积球的表面积公式：. 球的体积公式：.（四）纬度、经度：1纬度：地球上一点的纬度是指经过点的球半径与赤道面所成的角的度数.2经度：地球上两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的大小第四章 直线和圆一 直线(一)直线的独立图形：1定义： ，2方程：题型是求直线方程(1) 点斜式 不能表示斜率不存在的直线，如右图(2) 斜截式 不能表示斜率不存在的直线，如右图(3) 两点式 不能表示和坐标轴平行的直线，如右图(4) 截距式 不能表示与坐标轴平行的直线以及过原点的直线，如图(5) 一般 能表示所有直线3.性质(即解题结论)(1) 表示过交点所有直线(除了)：(2) A点与线段BC上所有点的连线斜率的取值范围？过A点作一条竖直的直线，在竖线两侧，逆时针旋转，斜率逐渐增大。(二)直线与其他图的位置关系1位置关系的判定(1) 点与直线位置关系 (2) 两直线平行的判定 (3) 两直线垂直2求量（1）、点与线不同位置关系的求量问题a.点到直线的距离为： b.点关于直线的对称点的求法： （2）、线与线不同位置关系的求量问题a.两条平行线的距离：二圆(一)圆的独立图形1定义： 主要考定义中轨迹一词求轨迹题型:(1)直接求a.设点b.列关于的等式c.把所有未知量全转化为(2)、间接求a.设点和必须联系的点b.列关于，的等式c.解出，d.把代入满足的方程(3)、根据平面几何的结论和曲线定义直接写出轨迹2圆的方程：标准方程： 一般式： 题型：求方程，相当于求方程里字母取值(1)(已知圆上三点坐标)(2)(其他情况)求方程就是求三个系数，需要列出关于系数的等式。如果只能列两个，那另一个条件一定可以通过画图看出来。3圆的性质：(1)时 表示过两圆交点的所有圆(除了)(2)时表示过两圆交点的直线，前提是两圆有两个交点，如果没有交点，上式没有结论(二)圆与其他图形的位置关系1判定：(1)点与圆的位置关系把点代入圆方程(2)、直线与圆的位置关系a.圆心到直线距离与比较b.看(3)、圆与圆的位置关系圆心距与的和或差的比较2求量：(1)过圆上一点的切线方程是：；第五章 算法一 算法的概念 算法的定义：解决问题的过程。特征：有限性，可行性，确定性。算法设计要遵循简易的原则。二 程序框图1定义程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来表示算法的图形2框图的常用符号3.算法的基本逻辑结构 顺序结构、条件结构、循环结构。 三 输入、输出语句和赋值语句INPUT “提示内容”；变量（一）、输入语句INPUT语句。这个语句的一般格式是：其中，“提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息。 INPUT语句不但可以给单个变量赋值，还可以给多个变量赋值，其格式为：INPUT “提示内容1，提示内容2，提示内容3，”；变量1，变量2，变量3，注：“提示内容”与变量之间必须用分号“；”隔开。各“提示内容”之间以及各变量之间必须用逗号“，”隔开。但最后的变量的后面不需要。PRINT “提示内容”；表达式（二）、输出语句PRINT语句是输出语句。它的一般格式是：同输入语句一样，表达式前也可以有“提示内容”。 输出语句的用途：(1)输出常量，变量的值和系统信息。(2)输出数值计算的结果。（三）、赋值语句用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句。变量=表达式除了输入语句， 赋值语句也可以给变量提供初值。它的一般格式是：赋值语句中的“=”叫做赋值号。赋值语句的作用：先计算出赋值号右边表达式的值，然后把这个值赋给赋值号左边的变量，使该变量的值等于表达式的值。注：赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2=X是错误的。赋值号左右不能对换。如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。不能利用赋值语句进行代数式的演算。(如化简、因式分解、解方程等)赋值号“=”与数学中的等号意义不同。四 条件语句和循环语句IF 条件 THEN语句1ELSE语句2END IF（一）、条件语句算法中的条件结构是由条件语句来表达的，是处理条件分支逻辑结构的算法语句。它的一般格式是：(IF-THEN-ELSE格式)IF 条件 THEN语句END IF当计算机执行上述语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN后的语句1，否则执行ELSE后的语句2。在某些情况下，也可以只使用IF-THEN语句：(即IF-THEN格式)计算机执行这种形式的条件语句时，也是首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN后的语句，如果条件不符合，则直接结束该条件语句，转而执行其他语句。条件语句的作用：在程序执行过程中，根据判断是否满足约定的条件而决定是否需要转换到何处去。需要计算机按条件进行分析、比较、判断，并按判断后的不同情况进行不同的处理。WHILE 条件循环体WEND满足条件？循环体是否 （二）、循环语句算法中的循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当型(WHILE型)和直到型(UNTIL型)两种语句结构。即WHILE语句和UNTIL语句。(1)WHILE语句的一般格式是：其中循环体是由计算机反复执行的一组语句构成的。WHLIE后面的“条件”是用于控制计算机执行循环体或跳出循环体的。DO循环体LOOP UNTIL 条件满足条件？循环体是否当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与WEND之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句。因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。(2)UNTIL语句的一般格式是：从UNTIL型循环结构分析，计算机执行该语句时，先执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，这个过程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到LOOP UNTIL语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。五 算法高考考点算法这一章有两个考点：一、算法的识别，即能否看得懂算法的书写。 二、算法的设计和书写。高考只以一道选择题（5分）或填空题（4分）的形式考查。算法共有三种表示形式：一、自然语言叙述，二、程序框图，三、程序语句。高考重点考查“程序框图”的识别，解决问题的方法是以读程序框图为手段，适当模仿书写程序框图，可以确保此章节在高考中得分。第六章 概率一 事件（一）、在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象叫做确定性现象（二）、在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象叫做随机现象（三）、必然会发生的事件叫做必然事件；肯定不会发生的事件叫做不可能事件；在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，叫做随机事件二 概率在相同条件下，随着试验次数的增多，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画该随机事件发生的可能性大小，而将频率作为其近似值。1.概率： 一般地，如果随机事件在次试验中发生了次，当试验的次数很大时，我们可以将发生的频率作为事件发生的概率的近似值，即2概率的性质： 随机事件的概率为，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个特例，分别用和表示，必然事件的概率为，不可能事件的概率为，即，;3.（1）频率的稳定性 即大量重复试验时，任何结果（事件）出现的频率尽管是随机的，却“稳定”在某一个常数附近，试验的次数越多，频率与这个常数的偏差大的可能性越小，这一常数就成为该事件的概率;（2）“频率”和“概率”这两个概念的区别是：频率具有随机性，它反映的是某一随机事件出现的频繁程度，它反映的是随机事件出现的可能性；概率是一个客观常数，它反映了随机事件的属性.1.随机事件的概率：我们已经学习用概率表示一个事件在一次试验或观测中发生的可能性的大小，它是在之间的一个数，将这个事件记为，用表示事件发生的概率.三 古典概型1、基本事件： 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件2、等可能基本事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件。3、如果一个随机试验满足：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件的发生都是等可能的； 那么，我们称这个随机试验的概率模型为古典概型4、古典概型的概率：如果一次试验的等可能事件有个，那么，每个等可能基本事件发生的概率都是；如果某个事件包含了其中个等可能基本事件，那么事件发生的概率为5、古典概型解题步骤：阅读题目，搜集信息； 判断是否是等可能事件，并用字母表示事件；求出基本事件总数和事件所包含的结果数； 用公式求出概率并下结论.四 几何概型几何概型的概念：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等用这种方法处理随机试验，称为几何概型几何概型的基本特点：（）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； （）每个基本事件出现的可能性相等几何概型的概率：一般地，在几何区域中随机地取一点，记事件该点落在其内部一个区域内为事件，则事件发生的概率说明：（）的测度不为；（）其中测度的意义依确定，当分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的测度分别是长度，面积和体积（）区域为开区域；（）区域内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关第七章 统计第一部分 抽样方法一 总体、个体、容量一般地，我们把所考查对象的某一数值指标的全体构成的集合看做总体，构成总体的对象作为个体，从总体中抽出一部分对象所组成的集合叫做样本，样本中对象的个数称为样本的容量。二 简单的随机抽样1.一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。2.最简单的随机抽样方法有两种：抽签法(抓阄法)和随机数表法。3.从一个总体为N的个体中，抽出容量为n的样本，每个个体被抽到的概率为。三 系统抽样1.当总体中的个体数较多时，将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本这种抽样叫做系统抽样。2.系统抽样的四个步骤可简记为：“编号-分段-确定起始的个体号抽取样本”四步。3.在系统抽样中，如果总体容量N能被样本容量n整除，则用它们的比值作为分段间隔如果不是整数，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除然后再编号、分段，确定第一段的起始号继而确定整个样本。四 分层抽样当已知总体由差异明显的几部分组成时，才常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例筋洗净抽样，这种抽样叫做分层抽样，其所分成的各个部分叫做层。利用分层抽样抽取样本，每一层按照它在总体中所占的比例进行抽取。注意（1）分层抽样适用于差异明显的几部分组成的情况；（2）在每一层进行抽样时，在采用简单随机抽样或系统抽样；（3）分层抽样充分利用已掌握的信息，使样具有良好的代表性；（4）分层抽样也是等概率抽样，而且在每层抽样时，可以根据具体情况采用不同的抽样方法，因此应用较为广泛。五 三种抽样方法的比较（1）列表比较：类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样抽样过程种每个个体被抽取的机会均等从总体中逐个抽取总体种的个体数较少系统抽样将总体均匀分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取在起始部分抽样时采用简单随机抽样总体种的个体数较多分层抽样将总体分成几层，分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成(2)简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同特点是在抽样过程中每一个个体被抽取的机会相等，体现了这些方法的客观性和公平性，其中简单随机抽样是最简单和最基本的抽样方法，在进行系统抽样和分层抽样时都要用到简单随机抽样方法，抽样方法经常交叉应用，对于个体数量很大的总体，可采用系统抽样，系统中的每一均衡部分，又可采用简单随机抽样。六 抽样方法的选择 (1)通过比较三种抽样方法，可以发现它们的关系密切，无论采取哪一种方法，每个个体被抽到的概率是一样的。 (2)对于系统抽样和分层抽样如果不是整数，可采用剔除法，每个个体被抽到的概率不变，如从1003个总体中抽出容量为l0的样本，那么每个个体被抽到的概率为(3)通过分析总体特点，灵活选择抽样方法。(4)简单随机抽样是抽样方法的基础，是一种等机会抽样，它有以下几个特点：它要求被抽取样本的总体个数是有限的；它是从总体中逐个地抽取；它是一种不放回抽样。(5)系统抽样是在总体个数比较多时采用的抽样方法。当总体个数N不能被样本容量 整除时，应注意如何从总体中剔除一些个体（6）分层抽样适用于总体是由差异明显的几部分个体组成时的抽样方法。具体步骤是：分层；按比例确定各层抽取个体的个数；各层抽样；汇合成样本。第二部分 用样本估计总体一 用样本估计总体(1)频率分布样本中所有数据(或者数据组)的频率和样本容量的比就是该数据的频率，所有数据(或者数据组)的频率的分布变化规律叫做频率分布，可以用频率分布表，频率分布折线图茎叶图，频率分布直方图来表示(2)频率分布折线图连结频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就可以得到频率分布折线图。(3)总体密度曲线 如果样本容量越大，所分组数越多，图中表示频率分布就越接近于总体在各个小组内所取值的个数与总数比值的大小设想如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，则频率分布直方图实际上是越来越接近于总体的分布，它可以用一条光滑曲线来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线。 总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律产品尺寸落在(a，b)内的百分率就是下图中带斜线部分的面积对本题来说，总体密度曲线呈中间高两边低的“钟”形分布，总体的数据大致呈对称分布，并且大部分数据都集中在靠近中间的区间内。(4)茎叶图表示数据有两个突的优点其一是统计图上没有原始数据的损失，所有信息可以从这个茎叶图中得到，其二是在比赛时随时记录，方便记录于表示。二 众数、中位数、平均数、方差、标准差(1) 一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。(2)一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。(3)如果有几个数那么叫做这几个数的平均数。如果在几个数中，出现次，出现次，出现次，（这里)，那么 叫做这几个数的加权平均数。(4)标准差与方差 考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差。标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示。设一组数据的平均数为，则，其中表示方差而s表示标准差。三 频率分布图(表)和频率分布直方图(1)频数分布图(表)能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数；而频率分布图(表)则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布的规律它可以使我们看到整个样本数据的频率分布。(2)作频率分布直方图的步骤：求极差，即一组数据中最大值和最小值的差。决定组距与组数将数据分组时，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚的呈现出来。这时应注意：a一般样本容量越大，所分组数越多；b为方便起见，组距的选择应力求“取整”；c当样本容量不超过100时，按照数据的多少，通常分成5组l2组将数据分组计算各小组的频率，作频率分布表。画频率分布直方图。(3)总体密度曲线是频率分布折线的一条极限曲线，随着样本容量不断增加，分组的不断加密，频率分布折线就会越来越光滑，最终形成总体密度曲线总体密度曲线反映的是总体在各个范围内取值的百分比，实际上，尽管有些总体密度曲线是客观存在的，但只能用样本的频率分布对它估计，一般来说，样本容量越大，这种估计就越准确四 茎叶图的应用(1)茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况(2)茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，进一步估计总体情况茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数。在样本数据较少时用茎叶图表示数据的效果较好，但当样本数据较多时，茎叶图就闲的不太方便了。五 标准差和方差的关系及计算(1)标准差的平方就是方差，即（2）方差的计算基本公式简化计算公式，或写成。即方差等于数据平方的平均数减去平均是的平方。简化计算公式当一组数据中的数据较大时，可仿照简化平均是的据算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均是接近的常数a，得到一组新数据那么也可以写成 。即方差等于新数据的平方平均数减去新数据平均数的平方。原数据的方差与新数据 的方差相等。即的方差 等于原数据的方差。（3）方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常数来比较两组数据的波动大小。方差较大的波动较大，方差较小的波动较小，方差的单位是原数据的单位的平方，标准差的单位与原数据的单位相同，不要漏写单位。第八章 三角函数一 任意角的概念与弧度制（一）角的概念的推广1、角概念的推广：在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向，旋转多少度角就是多少度角。按不同方向旋转的角可分为正角和负角，其中逆时针方向旋转的角叫做正角，顺时针方向的叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它叫做零角。习惯上将平面直角坐标系x轴正半轴作为角的起始边，叫做角的始边。射线旋转停止时对应的边叫角的终边。2、特殊命名的角的定义：(1)正角，负角，零角 ：见上文。(2)象限角：角的终边落在象限内的角,根据角终边所在的象限把象限角分为：第一象限角、第二象限角等(3)轴线角：角的终边落在坐标轴上的角终边在x轴上的角的集合： 终边在y轴上的角的集合： 终边在坐标轴上的角的集合：(4)终边相同的角：与终边相同的角(5)与终边反向的角： 终边在y=x轴上的角的集合： 终边在轴上的角的集合：(6)若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：(7)成特殊关系的两角若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：若角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：注：(1)角的集合表示形式不唯一. (2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同.3、本节主要题型：1.表示终边位于指定区间的角.1:写出在到之间与的终边相同的角.2:若是第二象限的角,则是第几象限的角?写出它们的一般表达形式. 3:写出终边在轴上的集合.写出终边和函数的图像重合,试写出角 的集合.在第二象限角,试确定所在的象限.角终边与角终边相同,求在内与终边相同的角.（二）弧度制1、弧度制的定义：2、角度与弧度的换算公式： 360=2 180= 1=0.01745 1=57.30=5718注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.一个式子中不能角度,弧度混用.3、题型（1）角度与弧度的互化例:（2），的应用问题1:已知扇形周长,面积,求中心角.2:已知扇形弧度数为,半径等于,求扇形的面积.3:已知扇形周长,半径和圆心角取多大时,面积最大.4: a.求出弧度,象限. b.用角度表示出,并在之间找出，他们有相同终边的所有角.二 任意角三角函数（一）三角函数的定义1、任意角的三角函数定义2、三角函数的定义域：三角函数定义域sinxcosxtanxcotxsecxcscx（二）单位圆与三角函数线1、单位圆的三角函数线定义如图(1)PM表示角的正弦值，叫做正弦线。OM表示角的余弦值，叫做余弦线。如图(2)AT表示角的正切值，叫做正切线。表示角的余切值，叫做余切线。注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负 （三）同角三角函数的基本关系式同角三角函数关系式(1)，(2)商数关系： (3)平方关系：，（四）诱导公式 三 三角函数的图像与性质（一）基本图像：1正弦函数 2余弦函数3正切函数 4.余切函数（二）、函数图像的性质正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：定义域RR值域RR