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第五章 定积分,实例1 求由连续曲线,一、问题的提出,第一节 定积分的概念,x 轴与直线 x = a、 x = b,所围成的曲边梯形面积,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,(3)曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,实例2 （求变速直线运动的路程）,(4)当分割无限加细，,即小区间的最大长度,求物体在这段时间内所经过的路程,设某物体作直线运动，,已知速度v=v(t)是时间间隔,上的一个连续函数，,且,（1）分割,（3）求和,（4）取极限,路程的精确值,（2）近似,二、定积分的定义,定义,（1）用分点,将 a,b 分成 n 个,小区间，其长度分别为,设函数 f (x)在a, b上有界，,作乘积,(3)并作和,（4）若对a, b的任意分法，,及点 的任意取法,和S 总趋于确定的极限 I ，,则称此极限I 为函数 f (x),在区间a,b上的定积分，,记为,积分上限,积分下限,积分和,注意：,积分值仅与被积函数及积分区间有关，,而与积分变量的字母无关.,三、存在定理,定理1,若 f(x) 在 a,b 上连续，,则 f(x) 在 a,b 上可积。,定理2,若 f(x) 在 a,b 上有界，,且至多有有限个第一类间断点，,则 f(x) 在 a,b 上可积。,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,四、定积分的几何意义,(3)一般情况：,是介于x 轴、曲线y=f (x)及直线,x=a、x=b之间的各部分面积
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