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分式函数值域解法汇编 甘肃省定西工贸中专文峰分校张占荣函数既是中学数学各骨干知识的交汇点，是数学思想，数学方法应用的载体，是初等数学与高等数学的衔接点，还是中学数学联系实际的切入点，因此函数便理所当然地成为了历年高考的重点与热点，考查函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数以及函数图象。而对函数值域的考查或是单题形式出现，但更多的是以解题的一个环节形式出现，其中求分式函数的值域更是学生失分较大知识点之一。为此，如何提高学生求分式函数值域的能力，是函数教学和复习中较为重要的一环，值得探讨。下面就本人对分式函数值域的教学作如下探究，不馁之处、敬请同仁指教。一、相关概念函数值是指在函数yf(x)中，与自变量x的值对应的y值。函数的值域是函数值的集合，是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合。函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。分式函数是指函数解析式为分式形式的函数。二、分式函数的类型及值域解法类型一：一次分式型一次分式型是指分子与分母都是关于自变量x（或参数）的一次函数的分式函数。1.y= (a0)型例求函数y=的值域。解法一：常数分离法。将y=转化为y=（k1,k2为常数），则yk1解：y=， y。解法二：反函数法。利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。解：反解y=得x=， 对调 y= (x)， 函数y= 的值域为y。2.y= (a0)型分析：这是一道含三角函数的一次分式函数，由于含三角函数，不易直接解出x，但其有一个特点：只出现一种三角函数名。可以考虑借助三角函数值域解题，其实质跟y=（t=sinx）在t的指定区间上求值域类似。 即：将y=反解得sinx=f(y),而-1sinx1,即-1f(y)1，解之即可。例求函数y=的值域。解：由y=得，sinx=， -1sinx1， -11， 解之得y3。3.y=或y= (a0)型分析：这道题不仅含有三角函数，且三角函数不同，例2解法行不通，但反解之后会出现正、余弦的和、差形式，故可考虑用叠加法。即：去分母以后，利用叠加公式和|sinx|1解题。例求函数y=的值域。解：2cosx+100， 3sinx-2ycosx=10y+3。 , 其中， 由和得， ,整理得8y2+5y0。 y0 即原函数的值域为，0。总结：求一次分式函数的值域，首先要看清楚是在整个定义域内，还是在指定区间上；其次用反函数法解题；再次还要注意含三角函数的分式函数，其实质是在指定区间上求分式函数的值域。类型二：二次分式型二次分式型是指分子与分母的最高次项至少有一项是关于x的二次函数。由于出现了x2项，直接反解x的方法行不通。但我们知道，不等式、函数、方程三者相互联系，可以相互转化。所以可考虑将其转化为不等式或方程来解题。.y= (a、d不同时为0)，xR型分析：去分母后，可将方程看作是含参数y的二次方程f(x)=0。由于函数的定义域并非空集，所以方程一定有解，0(f(y)0),解该不等式便可求出原函数的值域。即：用判别式法。先去分母，得到含参数y的二次方程f(x)=0,根据判别式0（=f(y)）,即可求出值域。例求函数y=的值域。解：由y得yx23x4y0。当y0时，x0，当y0时，由0得-y。函数定义域为R，函数y的值域为-， 。说明：判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内，但不能用其在指定的区间上求二次函数的值域，否则就会放大值域。2.y= (a、d不同时为0)，指定的区间上求值域型。 例求（x）的值域。 分析：因为x，所以若用判别式法，可能会放大其值域。可以考虑使用均值定理解题。 解：x0,0。 =1-4x+=(5-4x)+ -42-4=-2， 原函数的值域为。例求的值域。 错解：=2。 分析：在使用均值定理时一定要注意使用条件“一定、二正、三相等”，显然上述解法中和不能相等，“相等”条件不能成立。所以不能使用均值定理。但若用判别式法又无法解决根式问题，此时可考虑借函数的单调性求值域。 解：用单调性法=，令=t，显然t2，则y=t+ (t2)，任取2t1t2,则f(t1)= t1+, f(t2)= t2+，f(t1)- f(t2)=( t1+)-( t2+)=( t1- t2)( 1-)，2t1t2 t1- t20，f(t1)- f(t2)=( t1- t2)( 1-)0 。f(t1) f(t2)，即函数y=t+ 在t2上单调递增。当t=2、即=2、x=0时，ymin=，原函数的值域为。总结：不管是求一次分式函数，还是求二次分式函数的值域，都必须注意自变量的取值范围。虽然我们提倡通解通法的培养，但一定要看到只有对一类题才可以用通解通法。若失去同一类前提，只强调通解通法，便是空中楼阁。 故要因题而论，就事论事，防止一概而论的错误，用辩证和发展的眼光看待问题，这样才会起到事半功倍的效果。三、提炼知识，总结分式函数值域解法求函数的值域是高中数学的难点之一，它没有固定的方法和模式。但我们可以针对不同的题型进行归类总结，尽最大可能地寻找不同类型分式函数求值域的通解通法。常用的方法有：1.反函数法。反函数法是求一次分式函数的基本方法，是利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。但要注意看清楚是在整个定义域内，还是在指定区间上求值域。2.判别式法。判别式法是求二次分式函数的基本方法之一，即先去分母，把函数转化成关于x的二次方程f(x，y)0，因为方程有实根，所以判别式0，通过解不等式求得原函数的值域。需注意的是判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内。3.不等式法。不等式法是利用基本不等式：ab2 (a、bR)，是在指定区间上求二次分式函数的基本方法之一，当二次分式函数在指定区间上求值域时可考虑用不等式法。用不等式法求值域，要注意均值不等式的使用条件：“一正、二定、三相等”。4.换元法。换元法是求复合型分式函数值域的常用方法。当分式函数的分子或分母出现子函数（如三角函数）时，可考虑用换元法，将所给函数化成值域容易确定的另一函