行列式的计算方法研究.docx

行列式的计算方法研究数学学院 数学与应用数学（师范）专业 2012级 吕文指导教师 罗萍摘 要：行列式的计算是线性代数中的重要容内之一，在数学中有着广泛的应用，而行列式的计算又是灵活与复杂多样的，在行列式计算中需要多观察总结。本文主要是在行列式的定义和性质的基础上，通过一些例子对行列式的几种计算方法进行介绍、归纳与总结。文中提到的方法有定义法、化三角形法、降阶法、递推法、加边法、范德蒙行列式法、拆项法、因式分解法、数学归纳法以及计算方法的综合应用。分别给出适合这些方法的例题，总结了与每种方法相适应的行列式的特征。关键词：行列式，行列式的计算方法，行列式变换Abstract：The calculation of the determinant is one of the important within the capacity of linear algebra, has extensive applications in mathematics, and the calculation of the determinant is complex and diverse, flexible in determinant calculation need more observation. This article is mainly on the basis of the definitions and properties of determinant, and through some examples to introduce several calculation methods of the determinant, conclude and summarize. The method mentioned in the article have defined method, the triangle method, order reduction method and recursive method, the edge method, vandermonde determinant method, study method, the factorization method, mathematical induction, and the calculation methods of integrated applications. Examples are given for these methods, sums up the determinant of the characteristics of corresponding to each method.Key words: The determinant, the calculation method of determinant, the determinant transformation行列式的概念最初是伴随着线性方程组的求解而发展起来的。随后，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用。它的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同，对于行列式，最重要的是我们要掌握它的计算方法. 行列式的计算是一个重要的问题，也是一个复杂的问题，而行列式的计算方法很多，也很灵活，不同特点的行列式采用不同的处理方法会很大程度上减少计算量，所以掌握住行列式的常见的和主要的计算方法会使我们计算行列式时事半功倍。对于低阶行列式，我们可以直接利用定义、公式、性质等方法进行计算。但对于一般的n阶行列式计算就比较困难，所以研究n阶行列式的计算方法是十分必要的本文通过例子介绍了行列式的各种计算方法。1 行列式的性质行列式计算是一个重要的问题，也是一个麻烦的问题，直接从定义来计算行列式几乎是不可能的事。因此我们有必要进一步讨论行列式的性质，利用这些性质可以化简行列式的计算。性质一 行列互换，行列式不变。即 =性质二 一行（列）的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的行(列)就相当于用这个数乘此行列式。=k若令k=0，就有行列式中的一行为零，那么行列式为零。性质三 如果某一行（列）是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行（列）以外全与原来的行列式对应的行（列）一样。=+性质四、如果行列式中有两行（列）相同，那么行列式为零，所谓两行相同就是两行对应元素相同。性质五、如果行列式中两行（列）成比例，那么行列式为零。性质六、把一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变。=+= 性质七、对换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。2 行列式的计算方法2.1、定义法n阶行列式计算的定义：Dn=其中,表示所有n级排列求和，j1j2jn是1,2，n的一个排列，当j1j2jn是偶排列时,是正号，当j1j2jn是奇排列时,是负号，. 是D中取自不同行不同列的n个元素的乘积.例1：计算行列式解：=2+4+4-2-2-8=-2例2：证明行列式D=0证明：由行列式的定义知除去符号差别外行列式一般项可表示为.，则Dn=. （3）其中j1,j2,j5为1，2，3，4，5的任意排列。在D中位于后三行后三列的元素为零,而在前两行前两列中,取不同行不同列的元素只有四个,就是说（3）式中每一项至少有一个来自后三行后三列.故D=0.从上述两个例子中可以得到，定义法是计算行列式最基础的一种方法，比较好理解，但是它的适用范围有限，只适合阶数较低和行列式中零比较多的行列式，当阶数较高时，用此方法则很复杂，要花费大量的时间，并且容易出错。2.2、化三角形法若能把一个行列式经过适当的变化化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积，因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。而将行列式化为三角形就要利用行列式的性质: 把一行( 列)的适当的倍数加到另一行(列), 把一个n阶行列式化为三角形 ,再利用三角形行列式的特点进行计算，这是计算行列式的基本方法重要方法之一。化三角形法的一般步骤为：（以化上三角形行列式为例）第一步：把a11变换为1（可通过交换两行（列）或把第1行乘1a11来实现，尽量避免出现分数）；第二步：把第1行分别乘以-a21,-a31,-an1加到第2,3,n行对应元素上,把第1列a11以下的元素全部化为0；第三步：从第2行开始再依次用以上方法把主对角线a22,a33,an- 1,n- 1以下的元素全部化为0，即可得上三角形行列式。=.例3：计算行列式D4=解：D4=(x+3)=(x+3) =(x+3)(x-1)3上述四阶行列式的主对角线上元素是x，别的位置元素都为1。其特点就是每行每列元素之和相等，故采取将元素加到第一行或第一列的方法，然后化为三角形行列式。这是行列式计算过程中基本方法之一，对于阶数高的行列式，通常先根据其性质将其作为某种保值变形，然后再用三角形化法求解。正如下面例4.例4：计算n级行列式Dn=解：将 Dn 的第i(i=2，3，n)行减去第一行化为三角形行列式，则Dn= ( x1) ( x2) ( xn+1)2.3降阶法（按行列式的某一行或某一列展开）它是计算行列式的又一主要方法，主要思想是将一个n阶行列式化为n个 n-1 阶行列式的代数和，若继续使用按行（列）展开法，可以将n阶行列式降阶直至化为许多个 2 阶行列式计算。为了减少计算量，我们往往选择零元素比较多的行或列展开，一般情况是利用行列式性质先将选择的行或列化为只有一个非零元素，这样一来，计算量相对减少了很多如计算下面行列式时，先将第一行乘以-1加到其它各行上面按第一列展开，然后依次类推，逐渐降阶。=1例5：计算四阶行列式解：观察行列式，可以选择按第二行展开，但第二行有两个非零元素，先用性质将-3化为零即=(-1)*(-1)2+2由此可见应用降阶法时，应当恰当利用行列式的性质，选择好行或列，使其某一行(列)化为较多的零元素，再按该行或列展开。2.4递推公式法利用n级行列式的性质 , 把给定的行列式Dn变换成用同样形式的n-1级(或更低级)的行列式表示出来,然后根据递推关系求出Dn,递推法有直接递推和间接递推 , 直接递推是找出一个关于Dn-1的代数式来表示Dn依次从D1D2D3Dn逐级递推 , 即可求到Dn,间接递推则是解关于Dn和Dn-1的方程组,消去Dn-1从而得到Dn用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构,如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法。一般三对角行列式的计算就是利用递推法计算的。例6：计算2n级行列式（行列式空白处为0）D2N=解：（直接递推法）按第一列展开得递推关系式D2n=（a2-b2）D2n-2,同理得D2n-2=(a2-b2) D2n-4D4=(a2-b2),D2=a2-b2从而得到D4=(a2-b2)2，D,6=(a2-b2)3，D2n=（a2-b2）n即D2n=（a2-b2）n例7：计算Dn=解：（简介递推法）因为Dn=+=+（x-a）=a(x+a)n-1+(x-a)Dn-1当a0时，Dn=12（x+a）n+(x-a)n当a=0时，Dn=xn. 注意：这类行列式的特征是: 行列式按某行(列) 展开后能够出现与原行列式同类型的低阶行列式,得到同类型的高阶行列式与低阶行列式之间的递推关系.2.5利用范德蒙行列式 根据行列式的特点,适当的变形提取公因式； 互换两行（ 列）； 一行乘以适当的数加到另一行（ 列） 把所求行列式化成已知的或简单的形式，其中范德蒙行列式就是一种。范德蒙行列式为D=例8：计算行列式D=解：显然，行列式D有类似于范德蒙行列式的特点，但不完全是，所以我们要想办法将其构造成完全的范德蒙形式才行，具体解法如下：D=10=10=10（2-1）（3-1）（4-1）（3-2）（4-2）（4-3）=1例9：计算n阶行列式D=解：利用D构造一个n+1阶范德蒙行列式g(x)= 多项式g(x)中x的系数为（-1）n+3D，而g(x)又是一个范德蒙行列式，展开后x的系数为（-1）n-1x2x3xn+x1x2xn-1,两者应相等，故D=x2x3xn+x1x2xn-1这种变形方法是计算行列式最常用的方法。范德蒙行列式是一类特殊的行列式，利用范德蒙行列式公式计算某些行列式时，要求行列式必须具有范德蒙行列式的特点，或类似于范德蒙行列式的特点，这样也可以将所给的行列式化为范德蒙行列式，然后再利用公式计算出结果。2.6加边法加边法又叫升阶法，主要思路是将一个 n 行列式升级为 n+1 阶行列式，即在原来的行列式上添加一列与一行使其升阶，从而构造一个容易计算的新的行列式，进而求出原来的行列1式的值，当然，这个加边过程要求行列式的值不变， 而且新的行列式要比原来的行列式好计算。添加的行与列一般有四种方式, 分别是添加在:(1)首行首列、(2)首行末列、(3)末行首列、(4)末行末列。当然有时也添加在行列式的一般行与列的位置。加边法除适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可以用于其第列（行）的元素分别为n个元素的倍数的情况。例10：计算行列式解：=m1m2mn(1+),mi0(i=1,2,n)上面的例子就是在首列添一列，在末列、首行末行添加也是类似的步骤。那面再介绍一个在任意行（列）添加。例11：计算n阶行列式的值解：提示按n+1行展开得到的是关于z的多项式，而所求行列式的值是上述加边行列式展开的zs的系数乘以（-1）n+1+s+1需要注意的是：能够利用镶边法的题目往往具有如下两种特征之一:(1)各行( 列) 有很多相同的元素,但是直接利用行列式的性质把一行(列)的适当的倍数加到其它行(列)的时候不容易变成三角形行列式 ,或者说出现的零的个数还不够多;(2)添加一行(列)后能够跟范德蒙行列式联系起来。2.7拆项法由行列式拆项性质知，将已知行列式拆成若干个行列式之和，计算其值，再得原行列式值，此法称拆行（列）法。=+=+例12：计算行列式解：原式=+=dang+b1当n2时，等式右边第一个行列式中有成比列的列，故该行列式为0，第二个行列式中有相同的列，故该行列式也为0.故原行列式也为0.当n=2时，原式=；当n=1时，原式=例13：计算n阶行列式D=解：当y=z时，用加边法求得D=(x-y)n-1x+(n-1)y当yz时，将D的第n列每个元写成两数之和，y=y+0,x=y+(x-y)则D=+=M+(x-y)Dn-i其中M=，将M的最后一行乘以（-1）加到其余各行，再按第n列展开得M=，于是又Dn=(x-y)Dn-i+由于D中y和z的位置对称，于是有Dn=(x-z)Dn-i+2.8因式分解法如果行列式D中有一元素是x（或者某个参数）的多项式f(x)，对行列式实施某些变换，那么可以将行列式D当成是与f(x)互素的一个一次因式，这些一次因式的乘积为g(x)，与这些因式的乘积只相差一个常数因子，即：D=f(x)=cg(x),再利用多项式恒等的定义，比较f(x)与g(x)的某一项的系数，从而求出c的值。具体的做法为：当行列式D=0时，求出方程的根，利用因式分解的思想，将行列式转化为各因子乘积的形式，然后再进一步求解，这样会大大减少计算量。该方法就要适用于主对角线上含x的多项式的行列式。例14：计算行列式D=解：根据行列式的定义得，此行列式展开为x的四次多项式。分析：当x=1, 2时 ，显然，D=0D=A（x+1）（x-1）（x+2）（x-2），其中，A 为待定常数。当 x=0 时，计算出 D=-12 又据上面的假设的结果 D=A（0+1）（0-1）（0+2）（0-2）4A，从而A-3D=-3(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)例15：计算行列式D=解：当x=1时，Dn=0.则（x-1）Dn ，同理，（x-2），（x-(n-1)）均为Dn的因式。又x-i与x-j各不相同，所以，（x-1）（x-2）（x-n+1）Dn ，但Dn的展开式中最高项的系数是1，所以Dn=（x-1）（x-2）（x-n+1）2.9数学归纳法当 与是同类型的行列式时，可以考虑用数学归纳法求之，利用数学归纳法，主要是利用不完全归纳法寻找行列式的猜想值，再进行证明。例16：计算2n阶行列式=解：当n=1时，=当n=2时，=于是猜想=下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，显然成立。（2）假设当n=k时成立，即：=当n=k+1时，将按第一列展开，易得=（）有归纳假设=，得=故猜想成立，=。2.10行列式计算方法的综合应用有些行列式只是用一种计算方法不易计算，此时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行，下面就是应用行列式计算方法的综合应用的例子。例17：（降阶法和递推法）计算行列式=解：将行列式按第一行展开，得=2-即-=-=-=-=3-2=1=1+=1+1+(1+)=n-1+2=n+13 总结以上为计算行列式最常用的十种方法，其实行列式的计算方法是有很多种的，比如构造法、特征值法等等，以上介绍的十种是最常见、经常使用的方法。列式的计算,对于不同的题目可能用到不同的计算方法, 但是至于采用哪种方法进行计算要根据具体的题目来决定。行列式的计