电阻电路的一般分析总结.doc

第第三三章章 电电阻阻电电路路的的一一般般分分析析 重点：重点： 1、支路法、支路法 2、节点法、节点法 3、网孔法和回路法、网孔法和回路法 难点：难点： 1、熟练掌握支路法、网孔法和割集分析法的计算思路，会用这几种方法列、熟练掌握支路法、网孔法和割集分析法的计算思路，会用这几种方法列 写电路方程。写电路方程。 2、熟练地运用节点法和回路法分析计算电路。、熟练地运用节点法和回路法分析计算电路。 3-1 电电网网络络中中的的基基本本概概念念 网络图论与矩阵论、计算方法等构成电路的计算机辅助分析的基础。其中网络图论主 要讨论电路分析中的拓扑规律性，从而便于电路方程的列写。 1支路Branch 流过同一个电流的电路部分为一条支路。 2节点node 三条或者三条以上支路的汇集称为节点。 4网络的图graph 节点和支路的集合，称为图，每一条支路的两端都连接到相应的节点上。 6回路loop 电路中的任意闭合路径，称为回路。 8网孔mesh 一般是指内网孔。平面图中自然的“孔” ，它所限定的区域不再有支路。 例如：在下图中，支路数 6，节点数 4，网孔数 3，回路数 7 1 a c 2 b 3 d e 4 f 1 a c 2 b 3 d e 4 f 1 a c 2 b 3 d e 4 f 9树 一个连通图 G 的树 T 是指 G 的一个连通子图，它包含 G 的全部节点，但不含任何回 路。树中的支路称为“树支”tree branch，图 G 中不属于 T 的其他支路称为“连支” link，其集合称为“树余” 。 一个连通图的树可能存在多种选择方法。 10基本回路 只含一条连支的回路称为单连支回路，它们的总和为一组独立回路，称为“基本回路” 。 树一经选定，基本回路唯一地确定下来。 1 a c 2 b 3 d e 4 f 1 a c 2 b 3 d e 4 f 1 a c 2 b 3 d e 4 f 1 a c 2 b 3 d e 4 f 对于平面电路而言，其全部网孔是一组独立回路。 3-2 2B 法法与与 1B 法法 3.2.1 支路法（支路法（2B 法）介绍法）介绍 1方法概述 以支路电压和支路电流作为变量，对节点列写电流（KCL）方程，对回路列写电压 （KVL）方程，再对各个支路写出其电压电流关系方程，简称支路方程。从而得到含 2b 个变量的 2b 个独立方程。又称为“2b 法” 。 2思路 由上述方法可见， “2b 法”实际上清晰地体现了求解电路的两个不可或缺的方面，即 电路的解一是要满足网络的拓扑约束，二是要满足电路中各个元件的伏安关系约束。 3方程结构 b 个支路方程， ) 1( n 个电流（KCL）方程， )1( nb 个电压（KVL）方程。共 2b 个独立方程，变量是 b 个支路电流和 b 个支路电压，共 2b 个变量。 3.2.2支路电流法简介支路电流法简介 （实际上，支路电压法可以类似地推出） 1方法概述 以支路电流作为变量，对独立节点列写电流（KCL）方程，对独立回路列写电压 （KVL）方程，再由各个支路的支路方程将支路电压用支路电流表示出来。从而得到含 b 个变量的 b 个独立方程。又称为“1b 法” 。 2方程结构 ) 1( n 个电流（KCL）方程， )1( nb 个电压（KVL）方程。共 b 个独立方程，变 量是 b 个支路电流。 3.2.3解题步骤解题步骤 1选定各个支路电流的参考方向； 2按 KCL 对 ) 1( n 个独立节点列写电流方程； 3选取 )1( nb 个独立回路，指定回路的绕行方向，应用 KVL，列写电压方程； 4联立上述方程式，求解。 3.2.4 说明说明 1 当电路存在纯电流源支路时，可以设电流源的端电压为变量，同时补充相应的方 程。 2 实际解题时，适用于支路数少的电路出计算分析中。 3.2.5 例题例题 已知：电路如图所示 I4 R4 I1 R1 1 R3 I3 - + R5 I5 A B C + US1 + R2 US2 IS _ U 2 3 _ _ I2 求：用 2b 法及 1b 法的支路电流法及支路电压法列写求解电路各个支路电流的全部独 立方程。 解：一、2b 法 0 0 0 534 231 14 III III IIIS 0 0 0 22513 21 1314 UUUUU UUU UUUU SS S 555 444 333 222 111 URI URI URI URI URI 二、支路电流法 0 0 0 534 231 14 III III IIIS 0 0 0 22255111 2211 1133144 RIURIURI URIRI RIRIURI SS S 三、支路电压法 0 0 0 22513 21 1314 UUUUU UUU UUUU SS S 0 0 0 5 5 3 3 4 4 2 2 3 3 1 1 1 1 4 4 R U R U R U R U R U R U R U R U IS 3-3 网网孔孔法法与与回回路路法法 网孔法实际上是回路法中的特殊情况。所谓回路分析法是用数目少于支路电流数的 “回路电流”代替支路电流作为电路方程中的变量，而通过回路电流可以推算出全部的支 路电流的方法。 对于平面电路，可以按网孔取独立回路（至于原因，有关的图论中有详尽的证明） 。而 对于非平面电路或者某些连接方式具有一定特点的平面电路，则采用回路分析法，即不一 定选取网孔电流为独立变量。 3.3.1 网孔法网孔法 一、方法概述 选择电路的网孔电流作为独立变量，对各个网孔列写电压（KVL）方程，由于平面电 路的全部网孔为一组独立回路，因此可以得到一组完备的独立电流方程，从而求解电路中 的待求量。 我们仍然以支路法中提到的例题为例。 R4 R1 1 R3 I3 - + R5 A B C + US1 + R2 US2 IS _ 2 3 _ _ 实际上，设定了网孔电流、选择了网孔绕行方向后，就可以根据网孔的 KVL 方程计 算出各网孔电流，从而据此推出其他所有待求量，比如 32 2 IIIR ，各节点电压可以直接 根据列写各独立节点的 KCL 方程来求取。可见这里的所谓“网孔电流” ，正是一组可以求 解电路方程的完备的独立电量。 列写 KVL 方程： 网孔 1： 0)()( 121331141 RIIRIIURI S 网孔 2： 0)()( 212112 URIIRII 网孔 3： 0)()( 2111322353 SS UURIIRIIRI 写成矩阵形式： 21 1 3 2 1 53223 2211 31431 SS S UU U U I I I RRRRR RRRR RRRRR 补充方程： S II 2，即可解出待求量。 仔细观察可以看出，应用网孔法列写出来的方程组也十分有规律。方程左边的系数矩 阵的对角线上的元称为“自阻” ，为网孔中各个电阻的和；系数矩阵的其他位置上的元称为 “互阻” ，符号为负，大小为两网孔间公共的电阻的和。方程右边的列向量的各元为沿网孔 绕行方向产生的电位升电位升的电压源值的大小。 由于使用网孔法列写方程极具规律性，因此在实际使用网孔法解题时，只需根据电路 的拓扑结构直接列写就可以了。当然，其中的实际电流源要变换为实际电压源，以便计算。 二、说明 1 当电路存在纯电流源支路时，可以设电流源的端电压为变量，同时补充相应的方 程。 2 当电路中存在受控源时，可以将受控源按独立源一样处理，其后将受控源的控制 量用网孔电流表示出来，然后移项。 3 适用于支路多、网孔少的电路分析计算。 4 只能运用于平面电路。 三、网孔法的矩阵形式 mmm UIR 其中： Rm网孔电阻矩阵网孔电阻矩阵。其对角线上的元称为“自阻” ，其值为某一网孔中联接的支 路上的电阻之和，符号为正；其他各元称为“互阻” ， 其值为某两个网孔共有 支路上的电阻之和，符号为负。 Im网孔电流向量网孔电流向量。其元为各个网孔的电流，为列向量。 Um节点电压源向量节点电压源向量。其元为沿网孔参考方向产生的电压源电位升的和，为列向 量。 例题例题：见 P75：3-12 3.3.2 回路法回路法 一、方法 以连支电流为变量，对用连支确定的基本回路列写 KVL 方程，从而分析计算电路的 方法。 在选择树时，应尽量将电流源或受控流源所在的支路选为连支，这样可以不再对由纯 流源连支所确定的基本回路列写方程，从而进一步减少方程的数量。 解题方法与解题步骤基本与网孔法相同，所有可以运用网孔法求的电路均可使用回路 法。不同之处在于回路法应用面更广（它可以应用于非平面电路） ，而且在某些电路结构下 可以简化计算。 二、回路法的矩阵形式 lll UIR 其中： Rl回路电阻矩阵回路电阻矩阵。其对角线上的元称为“自阻” ，其值为某一基本回路中联接的 支路上的电阻之和，符号为正；其他各元称为“互阻” ， 其值为某两个基本回 路共有支路上的电阻之和，符号为负。 Il连支电流向量连支电流向量。其元为各个连支的电流，为列向量。 Ul回路电压源向量回路电压源向量。其元为沿基本回路参考方向产生的电压源电位升的和，为 列向量。 三、例题 1已知：电路如图所示，我们可以注意到，这个电路虽然也是平面电路，各网孔也是 独立回路，但是如果用网孔法解时会出现困难（请思考并查阅相应资料） 。此时，有两种方 法可以解决：一是选择回路电流时将纯电流源支路选为回路独占的支路（即不把它作为两 个回路的公共支路） ，然后以该电流源电流作为回路电流；另一个是将原电路中的电流源与 跟它并联的电阻交换位置，使得电流源自然称为网孔独占的支路，并取电流源电流为网孔 电流。通过以上方法均可使得未知电流变量变为两个。 I1 I2 2.25k + 12V - 1k 2k I3 3k I1 I2 I5 I3 I4 2mA 方方法法一一 I2 I3 I5 I4 I1 电电路路对对应应的的图图及及一一组组基基本本回回路路 I1 I2 2.25k + 12V I5 I4 I3 2mA - 1k 2k I1 I2 I3 3k 方方法法二二 求：各支路电流 解：方法一方法一 如图所示选择回路及回路电流，在此情况下，回路 1、回路 2 的回路电流即为支路电 流 11和 12，回路 3 的回路电流等于电流源的电流 2mA，因此只需建立两个回路方程就可 以了。自阻、互阻及每一回路中的电压源电位升的代数和为 kR kR 25 . 5 225 . 2 1 413 22 11 kRR kRR 2 1 3223 2112 0 12 22 11 S S U VU 因此，回路 1、2 的回路方程为： 01021025 . 5 101 12101104 3 3 2 3 1 3 1 3 1 3 III II 而： 3 3 102I ，可以解出： mAI35 . 3 1， mAI4 . 1 2 。所以 mAI35 . 3 1， mAI4 . 1 2 ， mAI2 3 ， mAIII6 . 0 324 ， mAIII95 . 1 215 方法二方法二 如图所示，将电流源与跟它并联的电阻调换位置，然后选择网孔电流为回路电流，在 此情况下，网孔 1、2、3 的网孔电流即为支路电流 11、12和电流源的电流 13=2mA，因此 也只需建立两个回路方程就可以了。自阻、互阻及每一回路中的电压源电位升的代数和为 kR kR 25 . 5 225 . 2 1 413 22 11 kRR kRR 2 1 3223 2112 0 12 22 11 S S U VU 可见这与方法一中的完全相同。因此，可以列写相同的回路方程。 后面的过程略去。 2已知：电路如图 I1 I4 I2 1 I2 2 I6 1 15A + UX - X U 9 1 I3 1 I1 I3 1 I5 I4 I2 I6 I1 15A X U 9 1 I5 I3 求：各个支路电流 解：分析：该电路既含有独立电流源，又含有受控电流源。为了便于建立回路方程，且方分析：该电路既含有独立电流源，又含有受控电流源。为了便于建立回路方程，且方 便计算，可以将这二者分别划归回路便计算，可以将这二者分别划归回路 1 和回路和回路 3，从而使得这两个回路电流分别等于已知，从而使得这两个回路电流分别等于已知 的独立电流源电流（的独立电流源电流（15A）和受控源电流（）和受控源电流（ 9/ X U ） ，于是就只需对回路，于是就只需对回路 2 建立回路方程即建立回路方程即 可，再利用受控源与所涉及的回路电流之间的关系，就可以求解出待求量。可，再利用受控源与所涉及的回路电流之间的关系，就可以求解出待求量。 AI IIUI III X 15 )(3 9 1 9 1 03)321 (2 1 233 321 由此可以解出 AI4 2 ， AI2 3 所以： AI15 1， AI4 2 ， AI2 3 AIII11 214 ， AIII17 315 AIII6 236 1已知：如图所示 5 + 19V - 2 4 I1 + + 4A 30V 25V _ _ 1.5I1 I1 1.5I1 4A 求： 解：选树如图所示，则只需要对连支 I1所决定的基本回路列写方程即可。 1925305 . 144)42()425( 11 II 解得： AI12 1 3-4 节节点点法法 3.4.1 节点法方法介绍节点法方法介绍 一、方法概述 任意选择电路中某一节点为参考节点，其他节点与此参考节点间的电压称为“节点电 压” 。节点法是以节点电压作为独立变量，对各个独立节点列写电流（KCL）方程，得到含 ) 1( n 个变量的 ) 1( n 个独立电流方程，从而求解电路中的待求量。 二、方程结构 ) 1( n 个电流（KCL）方程，变量是 ) 1( n 个节点电压。 我们仍然以支路法中提到的例题为例。实际上，选择了参考节点后，只要计算出各独 立节点的电位，就可以据此推出其他所有待求量，比如 CAR UUU 4，各节点电压可以 直接根据列写各独立节点的 KCL 方程来求取。可见这里的所谓“节点电压” ，正是一组可 以求解电路方程的完备的独立电量。 I4 R4 I1 R1 R3 A B U1/R3 C + R2 R5 IS _ U I2 U2/R5 列写 KCL 方程： 节点 A： 0 41 R UU R UU I CABA S 节点 B： 33 1 21 R UU R U R U R UU CBSBBA 节点 C： 55 2 43 1 3 R U R U R UU R U R UU CSCACB 5 2 54314 3 1 33211 4141 ) 111 ( 11 1 ) 111 ( 1 11 ) 11 ( R U U RRR U R U R R U U R U RRR U R IU R U R U RR S CBA S CBA SCBA 写成矩阵形式： 52 31 54314 33211 4141 / / RU RU I U U U GGGGG GGGGG GGGG S S S C B A 仔细观察可以看出，应用节点法列写出来的方程组十分有规律。方程左边的系数矩阵 的对角线上的元称为“自导” ，符号为正，为节点上连接的电导的和；系数矩阵的其他位置 上的元称为“互导” ，符号为负，大小为两节点间连接的电导的和。方程右边的列向量的各 元为流入流入该节点的电流源的大小。 由于使用节点法列写方程极具规律性，因此在实际使用节点法解题时，只需根据电路 的拓扑结构直接列写就可以了。当然，其中的实际电压源要变换为实际电流源，以便计算。 三、节点法的矩阵形式 nnn JUG 其中： Gn节点电导矩阵节点电导矩阵。其对角线上的元称为“自导” ，其值为某一节点上联接的支 路上的电导之和，符号为正；其他各元称为“互导” ， 其值为某两个节点之间 的支路上的电导之和，符号为负。 Un节点电压向量节点电压向量。其元为各个节点到参考节点的电压，为列向量。 Jn节点电流源向量节点电流源向量。其元为注入某一节点的电流源电流之和，为列向量。 3.4.2 解题步骤解题步骤 1.选定参考节点； 2.直接写出节点电压方程（实质上是电流方程） ，注意自导总为正值，互导总为负值； 3.联立上述方程式，求解。 3.4.3 说明说明 1 当电路存在纯电压源支路时，可以设电压源的电流为变量，同时补充相应的方程。 也可以使用“改进的节点法” ，将纯电压源设为一个“广义节点” ，然后按前面的方法列写 节点方程。 2 当电路中存在受控源时，可以将受控源按独立源一样处理，其后将受控源的控制 量用节点电压表示出来，然后移项。 3 适用于支路多、节点数少的电路分析计算。实际生活中在三相电路的计算中常用。 4 可以运用于非平面电路。 3.4.4 例题例题 2 存在纯电压源支路的情况存在纯电压源支路的情况 已知：电路如图所示 6 2 3 + 5V 3 2 _ 0.5A 求：6 电阻上的电流。 解：方法一：将纯电压源的电流作为变量添加在方程中（实际上，是选方法一：将纯电压源的电流作为变量添加在方程中（实际上，是选 用了混合变量作为一组完备的独立变量）用了混合变量作为一组完备的独立变量） 6 2 3 + 5V 3 2 _ 0.5A I 设出纯电压源支路的电流为 I，方向如图所示。根据节点法直接列写方程组如下： 5 . 0) 6 1 3 1 ( 3 1 6 1 0 3 1 ) 3 1 2 1 2 1 ( 2 1 6 1 2 1 ) 6 1 2 1 3 1 ( 121 321 321 UUU UUU IUUU 在以上直接列写的方程组中添加方程： VU5 1，这样三个方程，三个变量，即可求 解出电路的各个待求量。 其中 VU3 . 2 3 ，所以待求的电流为 A45 . 0 6 3 . 25 。 方法二：使用所谓的方法二：使用所谓的“改进节点法改进节点法” 。即将纯电压源支路作为。即将纯电压源支路作为“广义节点广义节点” ，按节点法，按节点法 规则直接列写方程。规则直接列写方程。 6 2 3 + 5V 3 2 _ 0.5A 广广义义节节点点 在本题中，如果将纯电压源支路作为一个广义节点，则原来点节点 1 与原来选定的参 考节点一起称为新的“参考节点” 。于是可以只针对节点 2、3 列写方程，注意此时的参考 节点包含有节点 1： 5 . 0) 3 1 6 1 ( 3 1 5 6 1 0 3 1 5 2 1 ) 3 1 2 1 2 1 ( 32 32 UU UU 可以计算出与方法一相同的结论。 3存在受控源的情况存在受控源的情况 已知：电路如图所示 1 2 + U23 - 0.5 2A 2U23 + 1V - 1 3 + _ 4U43 0.5 1 U43 _ + 4 求：各节点电压。 解：在建立节点节点方程时，受控源可以按独立源对待，但需利用受控源与其所涉及在建立节点节点方程时，受控源可以按独立源对待，但需利用受控源与其所涉及 到的节