Copula理论及MATLAB应用实例.doc

%-% Copula理论及其在matlab中的实现程序应用实例%-%*读取数据*% 从文件hushi.xls中读取数据hushi = xlsread(hushi.xls);% 提取矩阵hushi的第5列数据，即沪市的日收益率数据X = hushi(:,5);% 从文件shenshi.xls中读取数据shenshi = xlsread(shenshi.xls);% 提取矩阵shenshi的第5列数据，即深市的日收益率数据Y = shenshi(:,5);%*绘制频率直方图*% 调用ecdf函数和ecdfhist函数绘制沪、深两市日收益率的频率直方图fx, xc = ecdf(X);figure;ecdfhist(fx, xc, 30);xlabel(沪市日收益率); % 为X轴加标签ylabel(f(x); % 为Y轴加标签fy, yc = ecdf(Y);figure;ecdfhist(fy, yc, 30);xlabel(深市日收益率); % 为X轴加标签ylabel(f(y); % 为Y轴加标签%*计算偏度和峰度*% 计算X和Y的偏度xs = skewness(X)ys = skewness(Y)% 计算X和Y的峰度kx = kurtosis(X)ky = kurtosis(Y)%*正态性检验*% 分别调用jbtest、kstest和lillietest函数对X进行正态性检验h,p = jbtest(X) % Jarque-Bera检验h,p = kstest(X,X,normcdf(X,mean(X),std(X) % Kolmogorov-Smirnov检验h, p = lillietest(X) % Lilliefors检验% 分别调用jbtest、kstest和lillietest函数对Y进行正态性检验h,p = jbtest(Y) % Jarque-Bera检验h,p = kstest(Y,Y,normcdf(Y,mean(Y),std(Y) % Kolmogorov-Smirnov检验h, p = lillietest(Y) % Lilliefors检验%*求经验分布函数值*% 调用ecdf函数求X和Y的经验分布函数fx, Xsort = ecdf(X);fy, Ysort = ecdf(Y);% 调用spline函数，利用样条插值法求原始样本点处的经验分布函数值U1 = spline(Xsort(2:end),fx(2:end),X);V1 = spline(Ysort(2:end),fy(2:end),Y);% 调用ecdf函数求X和Y的经验分布函数fx, Xsort = ecdf(X);fy, Ysort = ecdf(Y);% 提取fx和fy的第2个至最后一个元素，即排序后样本点处的经验分布函数值fx = fx(2:end);fy = fy(2:end);% 通过排序和反排序恢复原始样本点处的经验分布函数值U1和V1Xsort,id = sort(X);idsort,id = sort(id);U1 = fx(id);Ysort,id = sort(Y);idsort,id = sort(id);V1 = fy(id);%*核分布估计*% 调用ksdensity函数分别计算原始样本X和Y处的核分布估计值U2 = ksdensity(X,X,function,cdf);V2 = ksdensity(Y,Y,function,cdf);% *绘制经验分布函数图和核分布估计图*Xsort,id = sort(X); % 为了作图的需要，对X进行排序figure; % 新建一个图形窗口plot(Xsort,U1(id),c,LineWidth,5); % 绘制沪市日收益率的经验分布函数图hold onplot(Xsort,U2(id),k-.,LineWidth,2); % 绘制沪市日收益率的核分布估计图legend(经验分布函数,核分布估计, Location,NorthWest); % 加标注框xlabel(沪市日收益率); % 为X轴加标签ylabel(F(x); % 为Y轴加标签Ysort,id = sort(Y); % 为了作图的需要，对Y进行排序figure; % 新建一个图形窗口plot(Ysort,V1(id),c,LineWidth,5); % 绘制深市日收益率的经验分布函数图hold onplot(Ysort,V2(id),k-.,LineWidth,2); % 绘制深市日收益率的核分布估计图legend(经验分布函数,核分布估计, Location,NorthWest); % 加标注框xlabel(深市日收益率); % 为X轴加标签ylabel(F(x); % 为Y轴加标签%*绘制二元频数直方图*% 调用ksdensity函数分别计算原始样本X和Y处的核分布估计值U = ksdensity(X,X,function,cdf);V = ksdensity(Y,Y,function,cdf);figure; % 新建一个图形窗口% 绘制边缘分布的二元频数直方图，hist3(U(:) V(:),30,30)xlabel(U（沪市）); % 为X轴加标签ylabel(V（深市）); % 为Y轴加标签zlabel(频数); % 为z轴加标签%*绘制二元频率直方图*figure; % 新建一个图形窗口% 绘制边缘分布的二元频数直方图，hist3(U(:) V(:),30,30)h = get(gca, Children); % 获取频数直方图的句柄值cuv = get(h, ZData); % 获取频数直方图的Z轴坐标set(h,ZData,cuv*30*30/length(X); % 对频数直方图的Z轴坐标作变换xlabel(U（沪市）); % 为X轴加标签ylabel(V（深市）); % 为Y轴加标签zlabel(c(u,v); % 为z轴加标签%*求Copula中参数的估计值*% 调用copulafit函数估计二元正态Copula中的线性相关参数rho_norm = copulafit(Gaussian,U(:), V(:)% 调用copulafit函数估计二元t-Copula中的线性相关参数和自由度rho_t,nuhat,nuci = copulafit(t,U(:), V(:)%*绘制Copula的密度函数和分布函数图*Udata,Vdata = meshgrid(linspace(0,1,31); % 为绘图需要，产生新的网格数据% 调用copulapdf函数计算网格点上的二元正态Copula密度函数值Cpdf_norm = copulapdf(Gaussian,Udata(:), Vdata(:),rho_norm);% 调用copulacdf函数计算网格点上的二元正态Copula分布函数值Ccdf_norm = copulacdf(Gaussian,Udata(:), Vdata(:),rho_norm);% 调用copulapdf函数计算网格点上的二元t-Copula密度函数值Cpdf_t = copulapdf(t,Udata(:), Vdata(:),rho_t,nuhat);% 调用copulacdf函数计算网格点上的二元t-Copula分布函数值Ccdf_t = copulacdf(t,Udata(:), Vdata(:),rho_t,nuhat);% 绘制二元正态Copula的密度函数和分布函数图figure; % 新建图形窗口surf(Udata,Vdata,reshape(Cpdf_norm,size(Udata); % 绘制二元正态Copula密度函数图xlabel(U); % 为X轴加标签ylabel(V); % 为Y轴加标签zlabel(c(u,v); % 为z轴加标签figure; % 新建图形窗口surf(Udata,Vdata,reshape(Ccdf_norm,size(Udata); % 绘制二元正态Copula分布函数图xlabel(U); % 为X轴加标签ylabel(V); % 为Y轴加标签zlabel(C(u,v); % 为z轴加标签% 绘制二元t-Copula的密度函数和分布函数图figure; % 新建图形窗口surf(Udata,Vdata,reshape(Cpdf_t,size(Udata); % 绘制二元t-Copula密度函数图xlabel(U); % 为X轴加标签ylabel(V); % 为Y轴加标签zlabel(c(u,v); % 为z轴加标签figure; % 新建图形窗口surf(Udata,Vdata,reshape(Ccdf_t,size(Udata); % 绘制二元t-Copula分布函数图xlabel(U); % 为X轴加标签ylabel(V); % 为Y轴加标签zlabel(C(u,v); % 为z轴加标签%*求Kendall秩相关系数和Spearman秩相关系数*% 调用copulastat函数求二元正态Copula对应的Kendall秩相关系数Kendall_norm = copulastat(Gaussian,rho_norm)% 调用copulastat函数求二元正态Copula对应的Spearman秩相关系数Spearman_norm = copulastat(Gaussian,rho_norm,type,Spearman)% 调用copulastat函数求二元t-Copula对应的Kendall秩相关系数Kendall_t = copulastat(t,rho_t)% 调用copulastat函数求二元t-Copula对应的Spearman秩相关系数Spearman_t = copulastat(t,rho_t,type,Spearman)% 直接根据沪、深两市日收益率的原始观测数据，调用corr函数求Kendall秩相关系数Kendall = corr(X,Y,type,Kendall)% 直接根据沪、深两市日收益率的原始观测数据，调用corr函数求Spearman秩相关系数Spearman = corr(X,Y,type,Spearman)%*模型评价*% 调用ecdf函数求X和Y的经验分布函数fx, Xsort = ecdf(X);fy, Ysort = ecdf(Y);% 调用spline函数，利用样条插值法求原始样本点处的经验分布函数值U = spline(Xsort(2:end),fx(2:end),X);V = spline(Ysort(2:end),fy(2:end),Y);% 定义经验Copula函数C(u,v)C = (u,v)mean(U = u).*(V x=0:pi/10:2*pi; y1=sin(x); y2=cos(x); plot(x,y1,x,y2)图5.1.1 函数plot 绘制的正弦曲线在绘制曲线图形时，常常采用多种颜色或线型来区分不同的数据组，MATLAB 软件专门提供了这方面的参数选项（见表5.1.1），我们只要在每个坐标后加上相关字符串，就可实现它们的功能。表5.1.1 绘图参数表色彩字符颜色线型字符线型格式标记符号数据点形式标记符号数据点形式y 黄- 实线. 点 大于号例如，在上例中输入 plot(x,y1,r+-,x,y2,k*:)则得图5.1.2图5.1.2 使用不同标记的plot 函数绘制的正弦曲线5.1.2 图形修饰MATLAB 软件为用户提供了一些特殊的图形函数，用于修饰已经绘制好的图形。表5.1.2 图形修饰函数表函数 含义grid on (/off) 给当前图形标记添加（取消）网络xlable(string) 标记横坐标ylabel(string) 标记纵坐标title(string) 给图形添加标题text(x,y,string) 在图形的任意位置增加说明性文本信息gtext(string) 利用鼠标添加说明性文本信息axis(xmin xmax ymin ymax) 设置坐标轴的最小最大值例5.1.2 给例5.1.1 的图形中加入网络和标记。（见图5.1.3 和5.1.4） x=0:pi/10:2*pi; y1=sin(x); y2=cos(x); plot(x,y1,x,y2) grid on xlabel(independent variable X) ylabel(Dependent Variable Y1 & Y2) title(Sine and Cosine Curve) text(1.5,0.3,cos(x) gtext(sin(x) axis(0 2*pi -0.9 0.9)图5.1.3 使用了图形修饰的plot 函数绘制的正弦曲线5.1.3 图形的比较显示在一般默认的情况下，MATLAB 每次使用plot 函数进行图形绘制，将重新产生一个图形窗口。但有时希望后续的图形能够和前面所绘制的图形进行比较。一般来说有两种方法：一是采用hold on(/off)命令，将新产生的图形曲线叠加到已有的图形上；二是采用subplot(m,n,k)函数，将图形窗口分隔成n m 个子图，并选择第k 个子图作为当前图形，然后在同一个视图窗口中画出多个小图形。例5.1.3 在同一窗口中绘制线段。 x=0:pi/10:2*pi; y1=sin(x); y2=cos(x); y3=x; y4=log(x); plot(x,y1,x,y2) hold on plot(x,y3) plot(x,y4) hold off例5.1.4 在多个窗口中绘制图形。（见图5.1.6） x=0:pi/10:2*pi; y1=sin(x); y2=cos(x); y3=exp(x); y4=log(x); subplot(2,2,1); plot(x,y1); subplot(2,2,2); plot(x,y2); subplot(2,2,3); plot(x,y3); subplot(2,2,4); plot(x,y4);说明 （1）子窗口的序号按行由上往下，按列从左向右编号。（2）如果不用指令clf 清除，以后图形将被绘制在子图形窗口中。图5.1.6 图形的比较显示（图形窗口分割方法）5.2 三维立体图形5.2.1 三维曲线图与二维图形相对应，MATLAB 提供了plot3 函数，可以在三维空间中绘制三维曲线，它的格式类似于plot，不过多了z 方向的数据。plot3 的调用格式为：plot3(x1,y1,z1,x2,y2,z2,.)其中x1,y1,z1,x2,y2,z2,等分别为维数相同的向量，分别存储着曲线的三个坐标值，该函数的使用方式和plot 类似，也可以采用多种的颜色或线型（见表5.1.1）来区分不同的数据组，只需在每组变量后面加上相关字符串即可实现该功能。例5.2.1 绘制方程x=ty=sin(t)z=cos(t)在t=0,2*pi上的空间方程。（见图5.2.1） clf x=0:pi/10:2*pi; y1=sin(x); y2=cos(x); plot3(y1,y2,x,m:p) grid on xlabel(Dependent Variable Y1) ylabel(Dependent Variable Y2) zlabel(Independent Variable X) title(Sine and Cosine Curve)图5.2.1 函数plot 绘制的三维曲线图5.2.2 三维曲面图如果要画一个三维的曲面，可以使用mesh(X,Y,Z)或surf(X,Y,Z)函数来实现。mesh 函数为数据点绘制网格线，图形中的每一个已知点和其附近的点用直线连接。surf函数和mesh 的用法类似，但它可以画出着色表面图，图形中的每一个已知点与其相邻点以平面连接。为方便测试立体绘图，MATLAB 提供了一个peaks 函数，它可以产生一个的高斯分布矩阵，其生成方程是N N z=3*(1-x).2.*exp(-(x.2)-(y+1).2)-10*(x/5-x.3-y.5).*exp(-x.2-y.2)-1/3*exp(-(x+1).2-y.2)对应的图形是一个凹凸有致的曲面，包含了三个局部极大点及三个局部极小点。下面使用peaks 函数来比较一下mesh 和surf 的区别。例5.2.2 分别用mesh 函数和surf 函数绘制高斯矩阵的曲面。 z=peaks(40); mesh(z); surf(z);图5.2.2 mesh 函数绘制的三维曲面图图5.2.3 surf 函数绘制的着色表面图在曲面绘图中，另一个常用的函数是meshgrid 函数，其一般引用格式是：X, Y=meshgrid (x, y)其中x 和y 是向量，通过meshgrid 函数就可将x 和y 指定的区域转换成为矩阵X 和Y。这样我们在绘图时就可以先用meshgrid 函数产生在x-y 平面上的二维的网格数据，再以一组z 轴的数据对应到这个二维的网格，即可画出三维的曲面。例5.2.3 绘制方程sin(x2+y2)(1/2)z = -(x2+y2)(1/2)在x-7.5,7.5;y-7.5,7.5 的图形。 x=-7.5:0.5:7.5;y=x; X,Y=meshgrid(x,y); R=sqrt(X.2+Y.2)+eps; Z=sin(R)./R; surf(X,Y,Z) xlabel(X 轴方向) ylabel(Y 轴方向) zlabel(Z 轴方向)(见图5.2.4)图5.2.4例5.2.4 绘制由方程形成的立体图。（见图5.2.5）z=x*exp(-(x2+y2) clear x=-2:0.1:2;y=x; X,Y=meshgrid(x,y); Z=X.*exp(-X.2-Y.2); surf(X,Y,Z)图5.2.55.2.3 观察点MTALAB 允许用户设置观察点，其指令是： view(azimuth,elevation)其中方位角azimuth 是观察点和坐标原点连线在x-y 平面的投影和y 轴负方向的夹角，仰角elevation 是观察点与坐标原点的连线和x-y 平面的夹角。对于这两个角度，三维图形的默认值分别是-37.5 和30，二维图形的默认值是0 和90。例5.2.5 从不同的角度观察高斯矩阵的曲面。 z=peaks(40); subplot(2,2,1); mesh(z); subplot(2,2,2); mesh(z); view(-37.5,-30); subplot(2,2,3); mesh(z); view(180,0); subplot(2,2,4); mesh(z); view(0,90);图5.2.6 对应不同观察点的三维曲面图5.3 其他图形函数除了plot 绘图函数以外，在有些场合对绘制的曲线会有一些特殊要求，这就要其他函数来实现，常用的几种函数如下（见表5.3.1）表5.3.1 其他图形函数表函数 含义loglog 使用对数坐标系绘图semilogx 横坐标为对数坐标轴，纵坐标为线性坐标轴semilogy 横坐标为线性坐标轴，纵坐标为对数坐标轴polar 绘制极坐标图fill 绘制实心图bar 绘制直方图pie 绘制饼图area 绘制面积图quiver 绘制向量场图stairs 绘制阶梯图sterm 绘制火柴杆图例5.3.1 x=0:pi/10:2*pi; y1=sin(x); subplot(2,2,1); plot(x,y1); subplot(2,2,2); bar(x,y1); subplot(2,2,3); fill(x,y1,g); subplot(2,2,4); stairs(x,y1,k);图5.3.1 其他图形函数5.3.1 直方图函数bar(x)可以绘制直方图，这对统计或者数据采集非常直观实用。它共有四种形式：bar,bar3,barh 和bar3h，其中bar 和bar3 分别用来绘制二维和三维竖直方图，barh 和bar3h 分别用来绘制二维和三维水平直方图，调用格式是：bar(x,y) 其中x 必须单调递增或递减，y 为n m 矩阵，可视化结果为m 组，每组n 个垂直柱，也就是把y 的行画在一起，同一列的数据用相同的颜色表示；bar(x,y,width) （或bar(y,width)）指定每个直方条的宽度，如width1，则直方条会重叠，默认值为width=0.8；bar(,grouped) 使同一组直方条紧紧靠在一起；bar(,stack) 把同一组数据描述在一个直方条上。例5.3.2 y=5 3 2 9;4 7 2 7;1 5 7 3; subplot(2,2,1),bar(y) x=5 9 11; subplot(2,2,2),bar3(x,y) subplot(2,2,3),bar(x,y,grouped) subplot(2,2,4),bar(rand(2,3),.75,stack)图5.3.2 直方图5.3.2 面积图函数area 用来绘制面积图，面积图在plot 的基础上填充x 轴和曲线之间的面积，该图用于查看某个数在该列所有数的总和中所占的比例。例5.3.3 x=-3:3; y=3 2 5;6 1 8;7 4 9;6 3 7;8 2 9;4 2 9;3 1 7; area(x,y)图5.3.3 面积图5.3.3 饼图函数pie 用来绘制饼图，它可以形象地表示出向量中各元素所占比例。其调用格式是：pie(x) x 中的元素通过x/sum(x)进行归一化，以确定饼图中的份额；pie(x,explode) 向量explode 和x 元素数相同，用来指出需要分开的饼片，explode 中不为零的部分会被分开。例5.3.4 设某班的某课程的考试成绩如下：90 分以上有32 人，81 至90 有58 人，71至80 分有27 人，60 至70 分为21 人，60 分以下有16 人，画出饼图。（见图5.3.4） x=32 58 27 21 16; explode0=1 0 0 0 0; subplot(1,2,1) pie(x,explode0) explode1=0 0 0 0 1; subplot(1,2,2) pie(x,explode1)图5.3.4 饼图5.3.4 不同坐标系中的绘图Semilogx,semilogy,loglo,polar(theta,rho)的使用方法和plot 完全类似，不同的只是绘制到不同的图形坐标上。函数semilogx 绘制x 轴为对数标度的图形，在半对数坐标系中绘图；函数semilogy 绘制y 轴为对数标度的图形；函数loglog 绘制两个轴都为对数间隔的图形；函数polar(theta,rho)绘制极坐标图形，其中theta 为相角，rho 为其对应的半径。例5.3.5 绘制=acos(3),a=2 的图形。（见图5.3.5） theta=-pi:pi/80:pi; polar(theta,2*cos(3*theta)图5.3.5 极坐标图5.4 符号表达式绘图MATLAB 软件提供了将表达式进行图形显示的功能。完成此功能需调用fplot 函数和ezplot 函数。函数fplot 用来绘制数学函数，其调用格式为： fplot(fun,lims)其中fun 就是所要绘制的函数，可以是定义函数的M 文件名，也可以是以x 为变量的可计算字符串。例如diric(x,10)或sin(x),cos(x)，对于向量x 的每个元素，函数fun(x)必须返回一个行向量。如果fun 返回f1(x),f2(x),f3(x)，输入x1;x2，就会返回矩阵f1(x1) f2(x1) f3(x1)f1(x2) f2(x2) f3(x2)lims=XMIN XMAX YMIN YMAX限定了x,y 轴上的绘图空间。例5.4.1 subplot(2,2,1),fplot(humps,0 1) subplot(2,2,2),fplot(abs(exp(-j*x*(0:9)*ones(10,1),0 2*pi) subplot(2,2,3),fplot(tan(x),