山东省平邑县高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义导学案必修.docx

2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义【学习目标】1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；【自学新知】知识回顾：（1）两个非零向量夹角的概念：已知非零向量 与，作，则（）叫与的夹角.说明：（1）当时，与同向；（2）当时，与反向；（3）当时，与垂直，记；新知梳理：1平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则 叫与的数量积，记作 ，即有 = ，（）.并规定向量与任何向量的数量积为 .思考感悟：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？（1）两个向量的数量积是一个 ，不是向量，符号由 的符号所决定.（2）向量的数量积写成；符号“”既不能省略，也不能用“”代替.（3）在实数中，若，且，则b=0；但是在数量积中，若，且=0，不能推出=.因cosq有可能为0.2“投影”的概念： 作图： 定义：|cosq叫做向量在方向上的投影.思考感悟：投影不是向量，是一个数量。当q为锐角时投影为 值；当q为钝角时投影为 值，当q为直角时投影为 ；当q=0时投影为|；当q =180时投影为-|3向量的数量积的几何意义：数量积等于 与 |cosq的乘积.4. 两个向量的数量积的性质：设，为两个非零向量，(1) = (2)当与同向时， = ，当与反向时， = 特别的：=|2或； |；cosq = 5.平面向量数量积的运算律交换律： = 数乘结合律：() =() = ()分配律：( +) = +说明：（1）一般地，() （） （2） 对点练习1下列叙述不正确的是（ ）A. 向量的数量积满足交换律 B. 向量的数量积满足分配律C. 向量的数量积满足结合律 D. 是一个实数2|=3，|=4，向量+与-的位置关系为（ ）A.平行 B.垂直 C.夹角为 D.不平行也不垂直3.已知|=，=(cos,sin)， =9， 则, 的夹角为 （ ） A.150 B.120 C.60 D.30 4.已知，则向量在向量方向上的投影是_，向量在向量方向上的投影是_。【合作探究】典例精析：例1证明：变式1已知|=6，|=4，与的夹角为60o，求：（1）(+2)(-3). （2）|+|与|-|. 例2已知|=12，|=9，求与的夹角。变式2已知|=3， |=4， 且与不共线，k为何值时，向量+k与-k互相垂直. 【课堂小结】 【当堂达标】1下列命题中：若，且=，则=；若=，则34;()=(), 对任意向量，都成立；22=()2 ；正确命题的个数为_ 2若|2sin15，|4cos375、，夹角为30，则为（） A BCD3若|=|=|,则与+的夹角为（ ） A30 B60 C150 D1204.已知、均为单位向量,它们的夹角为60,那么|+ 3| =（ ）A B C D4【课时作业】1.已知|=1，|=，且(-)与垂直，则与的夹角是（ ）A.60 B.30 C.135 D.2. 若向量的夹角为，则向量的模为 3向量、满足（）（2+）=4，且|=2， |=4，则与夹角的余弦值等于 4、在RtABC中，C90，AB5，AC4，求.5已知|=8， |=10， |+|=16，求与的夹角.6*.向量互相垂直，向量互相垂直，求与夹角。7*.已知|=3，|=3，与夹角为，求使向量的夹角为锐角时，的取值范围。8(2012全国卷)已知向量a，