矩阵理论与线性代数的对比.pptVIP

1,矩 阵 理论,2,前言,矩阵被认为是最有用的数学工具之一，既适用于应用问题，又适合现代理论数学的抽象结构。,随着科学技术的迅速发展,矩阵的理论和方法业已 成为现代科技领域必不可少的工具。诸如数值分析、 优化理论、微分方程、概率统计、控制论、力学、 电子学、网络等学科，甚至在经济管理、金融、保险、 社会科学等领域，矩阵理论和方法也有着十分重要的 应用。当今电子计算机及计算技术的迅猛发展为矩阵理 论的应用开辟了更广阔的前景。因此，学习和掌握矩阵 的理论和方法，对于工科研究生来说是必不可少的。,3,问题一 线性方程组的求解,给定一个m个方程n个变量的线性方程组,记A表示系数矩阵，B表示常数向量，X表示未知向量， 则线性方程组可表示为,4,其中,解的形式：,（1）当m=n，且 A可逆时，线性方程组AX=B的解可表示为,当m=n，且 A不可逆时，或者当 时，线性方程组的解又如何表示呢？ 特别地，在讨论矛盾方程AX=B时，如何定义线性方程组的解。,广义逆矩阵问题,5,问题二 矩阵的算术运算,矩阵的加法与减法定义为,矩阵的乘法运算,6,如何定义矩阵的除法运算,在线性代数中，我们对于可逆矩阵A可定义矩阵“除法”，称为矩阵A的逆矩阵，记为A -1 即当矩阵A的秩等于其行数和列数时，矩阵A称为满秩矩阵，才能定义“矩阵除”，并由此得到矩阵方程AX = B的解为 X = A-1 B 问题：我们能否定义一般矩阵的“除法”。,7,问题三 矩阵的分析运算,在线性代数中，我们学习的多是矩阵的代数运算，能否定义矩阵的分析运算呢？如矩阵序列的极限、矩阵级数的和、矩阵函数及其微积分等。,分析运算的关键是确定矩阵大小的一种度量，称为矩阵范数。,8,问题四 矩阵的简单形式,矩阵运算常常要求矩阵在各种意义下的简单形式，以简化矩阵运算过程。这就要求讨论 矩阵的标准形和矩阵分解问题。,常见形式有：Jordan标准形、行最简标准形、Hermite标准形；矩阵的UR（酉矩阵U与正线上三角矩阵R）分解、QR（正交矩阵Q与三角矩阵R ）分解、谱分解、满秩分解、奇异值分解等。,9,课程教学内容,一 线性空间及线性映射（变换） 内积空间 相似矩阵 二 范数理论 三 矩阵分析 四 矩阵分解 五 特征值的估计及对称矩阵的极性 六 广义逆矩阵 七 若干特殊矩阵类介绍(自学),10,课程教学要求,通过本课程的学习，使学生在已掌握本科阶段 线性代数知识的基础上，进一步深化和提高矩阵理 论的相关知识。,要求学生从理论上掌握矩阵的相关理论，会证明 简单的一些命题和结论，从而培养逻辑思维能力。 要求掌握一些有关矩阵计算的方法，如各种标准型、 矩阵函数等，为今后在相关专业中实际应用打好基础。,11,常用记号一,用R 表示实数域，用C表示复数域。 R n 表示n维实向量集合； C n 表示n维 复向量集合； 表示 实矩阵集合； 表示 复矩阵集合；,12,常用记号二,n阶单位矩阵 n阶矩阵的行列式 矩阵 A的范数 向量b的范数 n阶矩阵A的 逆矩阵A-1 ; 矩阵A的广义逆矩阵A+ , A-,13,复数基本知识,称下列形式的数为复数 z = a + b i 其中a , b 都是实数，i 2 = -1; 称a 是复数z的实部， b i 是复数z的虚部； Z的共扼复数为,14,代数基本定理,任意n次多项式必有n个复根。即,其中,15,线性代数的有关知识,1. 矩阵的概念 1) 矩阵的定义 定义 1 由 mn 个数aij ( i = 1, .,m; j = 1, ,n)排成 m 行 n 列的数表,16,叫做 m 行 n 列矩阵, 简称 mn 矩阵. 这 mn 个 数叫做矩阵的元素, aij 叫做矩阵 A 的第 i 行第 j 列 元素. 元素是实数的矩阵叫做实矩阵,元素是复数 的矩阵叫做复矩阵, (1)式也简记为 A = (aij)mn 或 A = (aij) , mn 矩阵 A 也记作 Amn .,17,2) 方阵 列矩阵 行矩阵 对 (1) 式, 当 m = n 时, A 称为 n 阶方阵. 当 m = 1 时, A 称为行矩阵. 当 n = 1 时, A 称为列矩阵.,18,3) 同型矩阵和相等矩阵 两个矩阵的行数相等、列数也相等时, 就称 它们是同型矩阵.如果 A = (aij) 与 B = (bij) 是同型 矩阵, 并且它们的对应元素相等,即 aij = bij (i=1,m;j=1,n), 那么就称 A 与 B 相等, 记作 A=B.,19,4) 零矩阵 单位矩阵 元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作 O. 主对角线上的元素都是 1 , 其它元素都是 0 的 n 阶方阵, 叫做 n 阶单位方阵, 简记作 E 或 I.,20,5) 主对角线以下(上)元素全为零的方阵称 为上(下)三角矩阵. 6) 除了主对角线以外, 其它元素全为零的 方阵称为对角矩阵.,21,2. 矩阵的运算 1) 矩阵运算的定义 设 A = (aij)sn , B = (bij)tm 为两个矩阵, 当 s=t, n=m 时,它们为同型矩阵, 其加法运算定义为 A + B = (aij + bij) A + B 称为 A 与 B 的和.,22,当 n = t 时可以作乘法: AB = (cij)sm , 其中,( i = 1,2, , s ; j = 1, 2, , m),AB 称为 A 与 B 的积. 设 k 为实数, 定义 kA = (kaij) 则称 kA 为 A 与数 k 的乘积.,23,矩阵乘法的定义源于二个线性变换的复合运算,二个线性变换为,则它们的复合为,24,2) 矩阵的运算性质 (i) 矩阵的加法满足 交换律: A + B = B + A, 结合律: (A + B) + C = A + (B +C). (ii) 矩阵的乘法满足结合律: (AB)C = A(BC).,25,(iii) 矩阵的法和加法满足分配律 A(B + C) = AB + AC; (B + C)A = BA + CA. (iv) 数乘矩阵满足: ( k + l)A = kA +lA; k(A + B) = kA + kB; k(lA) = (kl)A; k(AB) = (kA)B = A(kB).,26,3) 方阵的幂 设 A 是 n 阶方阵, 定义 A1 = A, A2 = AA, , Ak+1 = Ak A, 其中 k 为正整数. 4) 方阵的行列式 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式, 叫做 方阵 A 的行列式, 记作 |A| 或 detA.,27,3. 一些特殊的矩阵 1) 设 A 为 mn 阶矩阵,把它的行换成同序 号的列得到的新矩阵,叫做 A 的转置矩阵, 记作 A 或 AT 矩阵的转置也是一种运算,若运算可行,则有 (AT)T = A ; (A + B)T = AT + BT ; (A)T = AT ; (AB)T = BTAT .,28,2)、共轭转置矩阵,复数, 记,称为 A 的共轭转置矩阵 .,29,共轭转置矩阵有以下运算规律(设 A ,B 为复矩阵, ,为复数, 且运算都是可行的):,30,3)设,，如果,，则称,是Hermite矩阵，如果,，则称,是反Hermite矩阵。,，如果,，则称,是（实）对称矩阵，如果,，则称,是（实）反对称矩阵。,设,31,设 A 为 n 阶方阵,若满足 A2 = A, 则称 A 为幂等矩阵. 若满足 A2 = E, 则称 A 为对合矩阵. 若满足 AAT = ATA = E, 则称 A为正交矩阵.,32,5) 行列式 |A| 的各元素的代数余子式 Aij 所 构成的方阵,叫做方阵 A 的伴随矩阵. 伴随矩阵具有重要性质: AA* = A*A =|A|E.,33,1. 任何两个矩阵 A、B 都能进行加(减), 相乘 运算吗?,思考,答 不是. (1) 只有当 A,B 为同型矩阵时, 才能 进行加(减)运算. (2) 只有当第一个矩阵 A 的列数与 第二个矩阵 B 的行数相同时, A 与 B 才能相乘, 这 时 AB 才存在.,34,2. 两个矩阵 A、B 相乘时, AB = BA 吗? |AB| = |BA| ?,答 AB 不一定等于 BA .若要 AB = BA , 首 先要使 AB 和 BA 都存在,此时A、应为同阶方 阵. 其次矩阵的乘法不满足交换律. 在一般情况 下, AB BA . 但对同阶方阵 A、B , |AB| = |BA| 是一定成立的. 因为对于数的运算, 交换律 是成立的, 即 |AB| = |A|B | = |B|A| = |BA| .,35,3. 若 AB = AC 能推出 B = C 吗?,则 AB = AC , 但 B C.,答 不能. 因为矩阵的乘法不满足消去律. 例如,36,4. 非零矩阵相乘时, 结果一定不是零矩 阵吗?,但,又如,但,答 非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵. 例如,37,5. 设 A 与 B 为 n 阶方阵, 问等式 A2 - B2 = (A + B)(A - B) 成立的充要条件是什么？,答 A2 - B2 = (A + B)(A - B) 成立的充要条件 是AB = BA . 事实上，由于 (A + B)(A - B) = A2 + BA - AB - B2, 故 A2 - B2 = (A + B)(A - B) 当且仅当 BA - AB = 0， 即 AB = BA.,38,4. 逆阵的概念 1) 设 A 为 n 阶方阵,如果存在矩阵 B , 使 AB = BA = E, 则称矩阵 A 是可逆的(或非奇异的、 非退化的、满秩的），且矩阵 B 称为 A 的逆矩阵. 若有逆矩阵,则 A 的逆矩阵是唯一的,记作 A-1 . 2) 相关定理及性质 (i) 方阵 A 可逆的充分必要条件是: |A| 0 . (ii) 若矩阵 A 可逆, 则 A-1 = A*/ |A|.,39,(iii) (A-1)-1 = A; (A)-1 = 1/ A-1 ( 0 ); (AT)-1 = (A-1)T . (iv) 若同阶方阵 A 与 B 都可逆, 那么 AB 也 可逆, 且 (AB)-1 = B-1A-1 . 5. 矩阵的分块运算 矩阵的分块,主要目的在于简化运算及便于论 证, 其运算法则同普通矩阵类似.,40,两种常用的分块法,1). 按行分块,对于 m n 矩阵 A 可以进行如下分块：,41,2). 按列分块,对于 m n 矩阵 A 可以进行如下分块：,42,对于矩阵 A = ( aij )m s 与矩阵 B = ( bij )s n的,乘积矩阵 AB = C = ( cij )m n ，若把 A 按行分成 m,块，把 B 按列分成 n 块，便有,= ( cij )m n ，,43,以对角矩阵 m 左乘矩阵 Am n 时，把 A 按行,分块，有,以对角矩阵 m 左乘 A 的结果是 A 的每一行乘以 ,中与该行对应的对角元.,44,以对角矩阵 n 左乘矩阵 Am n 时，把 A 按列,分块，有,以对角矩阵 n 右乘 A 的结果是 A 的每一列乘以 ,中与该列对应的对角元.,45,（1）,表示什么？,思考,设,是标准单位坐标向量，则,（2）,表示什么？,（3）,表示什么？,46,6、线性方程组的各种形式,对于线性方程组,记,47,其中 A 称为系数矩阵，x 称为未知向量，b 称为常,数项向量，B 称为增广矩阵.,按分块矩阵的记法，,可记,或 B = ( A , b ) = ( a1 , a2 , , an , b ) .,利用矩阵的乘法，此方程组可记作,Ax = b . (2),方程（2）以向量 x 为未知元，它的解称为方程组,（1）的解向量.,48,如果把系数矩阵 A 按行分成 m 块，则线性方,程组 Ax = b 可记作,或,这就相当于把每个方程,ai1x1 + ai2x2 + + ainxn = bi,记作,49,如果把系数矩阵 A 按列分成 n 块，则与 A 相,乘的 x 应对应地按行分成 n 块，从而记作,即 x1a1 + x2a2 + + xnan = b . （4）,（2）、（3）、（4）是线性方程组（1）的,各种变形.,今后，它们与（1）将混同使用而不加,区分，并都称为线性方程组或线性方程.,50,Ax = b . (2),或,x1a1 + x2a2 + + xnan = b . （4）,51,7、初等变换 结论:每个矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵, 进而化为行最简阶梯形矩阵也称为Hermite标准形 。,思考：初等变换的应用？,求逆；解方程组；解矩阵方程;判断向量组的秩和矩阵的秩等等.,52,例 1 设,试用初等行变换将A化为行阶梯形，进而化为行最简阶梯形矩阵。,53,解,54,继续使用初等行变换，将B化为行最简阶梯形矩阵：,55,56,解,例2 用初等行变换解方程组,57,58,为矩阵A的相抵标准型。,结论：对于任何mn型非零矩阵A，可经过有限次初等变换化成相抵标准型，即存在m阶初等矩阵,和n阶初等矩阵,使得,定义 称矩阵,59,8. n 维向量,1),2) 向量的相等, 零向量, 负向量.,60,3) 向量的线性运算 当 = (a1 , a2 , , an)T, = (b1 , b2 , , bn)T, 则,(a1 + b1 , a2 + b2 , , an + bn) T;,(a1 , a2 , , an ) T, 其中 R .,61,4) 线性运算满足下列八条规律: + = + ; ( + ) + = + ( + ) ; + 0 = ; + (-) = 0 ; 1 = ; () = () ; ( + ) = + ; ( + ) = + , 其中 , , 为 n 维向量 , , R.,62,9. 线性相关与线性无关 1) 线性组合 线性表示 线性相关 设有 n 维向量组 A: 1, 2 , , m , B: 1 , 2 , , s , 对于向量 , 如果有一组数 1 , 2 , ,m , 使 = 11 + 22 + + mm , 则称向量 是向量组 A 的线性组合, 或称 可由 A 线性表示.,63,如果存在一组不全为零的数 k1 , k2 , , km , 使 k11 + k22 + + kmm = 0 , 则称向量组 A 线性相关, 否则称 A 线性无关. 如果向量组 A 中的每一个向量都能由向量组 B 中的向量线性表示 , 则称向量组 A 能由向量组 B 线性表示 .如果 A 能由 B 线性表示 , 且 B 也能 由 A 线性表示 , 则称 A 与 B 等价 . 向量组之间的等价关系具有自反性 , 对称性, 传递性 .,64,2) 线性相关的性质 定理 1 向量组 1, 2 , , m (m2) 线性 相关的充要条件是该向量组中至少有一个向量组 可由其余 m - 1 个向量线性表示. 定理 2 设 1, 2 , , m 线性无关, 而 1, 2 , , m , 线性相关, 则 能由 1, 2 , , m 线性表示, 且表示式是唯一的.,65,3) 线性相关性的判定定理 定理 3 若 1, 2 , , r 线性相关, 则1, 2 , , r , r+1, , m 也线性相关. 定理 4 r 维向量组的每个向量添上 n-r 个 分量,成为 n 维向量组,若 r 维向量组线性无关, 则 n 维向量组也线性无关. 反言之, 若 n 维向量组 线性相关, 则 r 维向量组亦线性相关.,66,定理 5 m 个 n 维向量组成的向量组, 当维 数 n 小于向量个数 m 时一定线性相关.,67,10. 向量组的秩 1) 定义 设有向量组 T , 如果 (i) 在 T 中有 r 个向量1, 2 , , r 线性无关; (ii) T 中任意 r+1 个向量(如果 T 中有 r+1 个 向量的话)都线性相关, 那么称 1, 2 , , r 是向 量组 T 的一个最大线性无关向量组, 简称最大无 关组; 数 r 称为向量组 T 的秩. 并规定: 只含零向 量的向量组的秩为 0.,68,2) 性质 性质 1 向量组线性无关的充要条件是它所 含向量个数等于它的秩. 性质 2 设矩阵 A 的某个 r 阶子式 D 是 A 的 最高阶非零子式, 则 D 所在的 r 个行向量即是矩 阵A的行向量组的一个最大无关组;D 所在的 r 个 列向量组即是矩阵 A 的列向量组的一个最大无关 组. 性质 3 R(A) = A 的行秩 = A 的列秩.,69,性质 4 设向量组 A: 1, 2 , , r 是向量 组 T 的一个最大无关组, 则向量组 A 与向量组 T 等价. 定理 6 设有两个向量组: A: 1, 2 , , r , B: 1 , 2 , , s , 如果 A 组能由 B 组线性表示, 且 A 组线性无关, 则A 组所含向量个数 r 不大于 B 组所含向量个数 s, 即 r s .,70,推论 1 设向量组 A 的秩为 r1,向量组 B 的秩 为 r2 , 若 A 组能由 B 组线性表示, 则 r1 r2 . 推论 2 等价的向量组有相同的秩.,71,定义 矩阵A 的列向量组的秩称为A 的列秩 矩阵A 的行向量组的秩称为A 的行秩 例,的列秩为2，同理，A 的行秩也为2,10、矩阵的秩,72,（1）子式判别法(定义)。,（2）用初等变换法求矩阵的秩。,依据:矩阵初等变换不改变矩阵的秩。,作法,阶梯形矩阵B，,则 秩(A)=B的阶梯数。,例2,，,= 秩（A）=2,思考:矩阵秩的求法,73,关于矩阵的秩的一些重要结论：,性质1,性质2 如果 A B = 0 则,性质3 如果 R(A)= n, 且 A B = 0 则 B = 0。,性质4,74,重要结论,R(A)=r，则A,为矩阵A的等价(相抵)标准形矩阵。,(3) 存在 m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q ，使,1、,与矩阵,等价。称,2、,则以下三个,条件等价,（1） A与B等价；,75,例 求向量组1 = (1, 0, 2, -1), 2 = (3, 0, 6, -3), 3 = (-2, 1, -4, 4), 4 = (2, 2, 5, 0), 5 = (-1, -1, 7, -19) 的一个最大无关组, 并用它表示其余向量.,解 构造矩阵 A = (1T , 2T , 3T , 4T , 5T ),76,行变换,所以一个最大无关组为 1 , 3 , 4 , 且 2 = 31 , 5 =-571 -193 + 94 .,77,11. 向量空间 1) 设 V 为 n 维向量的集合, 如果集合 V 非空 且集合 V 对于加法入乘数两种运算封闭,那么就称 集合 V 为向量空间. 所谓封闭, 是指对 V , V 及 k R, 则 + V , k V .,78,2) 由向量组 1, 2 , , m 所生成的向量空 间为: V=x | x=k11 + k22 + + kmm , k1 , , km R,79,构成了向量子空间，称为齐次方程组,5) 设有向量空间 V1 及 V2 , 若 V1 V2 , 就称 V1 是 V2 的子空间.,80,6) 设 V 为向量空间, 如果 r 个向量 1, 2 , , r V , 且满足 (1) 1, 2 , , r 线性无关; (2) V 中任一向量都可由1, 2 , , r 线性,表示, 那么, 向量组 1, 2 , , r 就称为向量空 间V的一个基, r 称为向量空间 V 的维数, 并称 V 为 r 维向量空间.,81,下列命题等价：,（1）Ax = 0 有非零解； （2）A 的列向量组线性相关； （3）r(A) n.,定理2,下列命题等价：,（1）Ax = 0 只有零解； （2）A 的列向量组线性无关； （3）r(A) = n.,齐次方程组Ax = 0 解的存在性,定理1,12、线性方程组的求解,82,（1）当 时， Ax = b无解；,利用系数矩阵与增广矩阵的秩，得到,型非齐次方程组Ax = b解的情况如下：,（2）当 时， Ax = b有唯一解；,（3）当 时， Ax = b有无穷多解。,83,例,求方程组通解和一个基础解系。,解,对方程组的系数矩阵作初等行变换,84,同解方程组为:,为自由未知量。,则方程的一般解为：,85,方程组的通解为,方程组的一个基础解系为,86,思考,1. 若向量组 1, 2 , , r 线性相关, 那么 是否对于任意不全为零的数 k1 , k2 , , kr , 都有 k11 + k22 + + krr = 0 ?,答 结论是否定的.因为按定义, 向量组 1, 2, , r 线性相关是指存在不全为零的数 k1, k2 , , kr 使得 k11 + k22 + + krr = 0,87,例如，取1 = (1,0,0) , 2 = (2, 0, 0), 则 21 - 2 = 0 , 则，1 , 2 线性相关. 若取 k1 = 1, k2 = 2, 那么 k11 + k22 = 1 + 22 = (5,0,0) (0,0,0) , 这说明并非对任意不全为零的 k1, k2 , 都能使 k11 + k22 = 0 .,88,2. 若向量组 1, 2 , , r 线性无关, 那么是 否对于任意不全为零的数 k1 , k2 , , kr , 使得 k11 + k22 + + krr 0 ?,答 结论是肯定的.因为若存在不全为零的数 k1 , k2 , , kr , 有 k11 + k22 + + krr = 0 , 则按线性相关的定义, 1, 2 , , r 线性相关.,89,3. 向量组的线性相关性能否用线性方程组 的解来判定?