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1,2.5 解对初值的连续依赖性和可微性定理,考察,的解 对初值的一些基本性质,解对初值的连续性 解对初值和参数的连续性 解对初值的可微性,内容:,2,G,解对初值的对称性:,Q:当初值发生变化时,对应的解是如何变化的? 当初始值微小变动时,方程的解变化是否也是很小呢？,初值问题的解不单依赖于自变量 ,同时也依赖于初值 .初值变动,相应的初值问题的解也将随之变动.,3,按解的存在范围是否有限,又分成下面两个问题:,4,定义2.5,设初值问题,解对初值的连续依赖性,初值问题,5,6,证明,则由解的唯一性知,即此解也可写成:,且显然有:,7,引理 如果函数 于某域G内连续,且关于y 满足利普希茨条件(利普希茨常数为L),则对方程 的任意两个解 及 ,在它们的公共存在区间内成立着不等式 .其中 为所考虑区间内的某一值。,证明,则,8,于是,因此,两边取平方根即得,9,定理2.8 (解对初值的连续依赖性定理),条件: I. 在G内连续且关于 满足局部L-条件; II. 是(1)满足 的解,定义 区间为a,b.,结论: 对 , 使得当,时,方程(1)过点 的解 在a,b上也有 定义,且,方程,10,思路分析：,11,记积分曲线段S：,显然S是xy平面上的有界闭集.,第一步:找区域D,使 ,且 在D上满足Lips.条件.,y,G,(见下图),由已知条件,对 ,存在以它为中心的圆 ,使 在其内满足Lips.条件,利普希茨常数为 .根据有限 覆盖定理,存在N,当 时,有,对 ,记,则以 为半径的圆,当其圆心从S的 左端点沿S 运动到右端点时,扫过 的区域即为符合条件的要找区域D,b,a,12,13,第二步:证明 在a,b上有定义.,假定 利用引理2及 的连续性可得:,14,第三步:证明,在不等式(*)中将区间c,d换成a,b即得.,15,根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性,显然有:,解对初值的连续性定理,条件: 在G内连续且关于 满足局部Lips.条件;,方程,16,定理2.9 解对初值可微性定理,
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