金属自由电子气模型.ppt

第四章 金属自由电子气模型,1 金属的Drude模型,金属在固体特性的研究中占据重要位置：元素单质材料中最为常见的是金属；金属具有良好的电导率、热导率等。尝试对金属特性的理解也是现代固体理论的发端。 在J.J.Thomson于1897年发现电子3年之后，Drude根据气体运动论建立了金属自由电子气模型，把金属中的电子看到由电子组成的理想气体。 作为研究金属特性的Drude模型在1900年提出，现在仍然被用来迅速了解金属及其它一些材料的特性。这个模型后来经过稍许修改就取得了巨大成功。,1. Drude模型,1）传导电子和芯电子 Na: K L M 1s 2s2p 3s 2 8 1 Na 蒸汽 3s 轨道半径 0.19 nm Na 固体 最近邻原子间距 0.365 nm,1. Drude模型,1）传导电子和芯电子 Na: K L M 1s 2s2p 3s 2 8 1 芯电子(core electrons) Na 蒸汽 3s 轨道半径 0.19 nm Na 固体 最近邻原子间距 0.365 nm,传导电子 conduction electron,1. Drude模型和凝胶模型,1）传导电子和芯电子 凝胶模型 （Jellium model） 金属就是正离子浸没于传导电子气中的集合体。正离子和传导电子气之间的相互作用就是金属中原子的结合力。金属表面存在着一种把传导电子限制在金属范围内的势垒，而在金属内部，势能是均匀的，好像传导电子在一个均匀的势场中运动，相对势能为零。,2) 传导电子密度 传导电子密度 n：单位体积的传导电子数 原子数/mole: N0 = 6.022 1023，Avogadro常数 mole数/cm3: m/A, 其中 m是金属的质量密度（g/cm3），A是元素的原子量,Z是每个原子贡献的价电子（传导电子）数目,（电子密度）,对于金属，n的典型值为1022-1023/cm3。这个值要比理想气体的密度高上千倍 将每个电子平均占据的体积等效成球体，则：,定义电子占据体积的等效球半径：,rs的典型值。,3) Drude模型的假设 （1）自由电子近似（Free electron approximation）： 忽略电子离子的相互作用 独立电子近似（Independent electron approximation）： 忽略电子电子之间的相互作用 （2）电子之间的碰撞是瞬时的，经过碰撞，电子速度的改变也是突然的。,（3）电子在dt时间所受碰撞的几率正比于 dt/ 通常被成为弛豫时间（Relaxation time），相应的近似被成为弛豫时间近似（Relaxation time approximation）。 这个图像所描述的碰撞过程为：电子在某时刻受到碰撞，电子的速度瞬时被改变，然后电子的运动为自由运动，（如果存在外场，会受到外场力的作用），电子平均自由运动时间后再一次受到碰撞。,（4）电子通过碰撞处于热平衡状态。电子热平衡的获得被假定通过一个简单的途径达到，即碰撞前后的速度没有关联（电子对自己的速度历史没有记忆）。 电子热平衡分布满足Bolzmann统计 （经典统计）,Drude模型所描述的受到离子散射的电子运动轨迹。,2. 金属的直流电导,这是最早从实验上确定的，但是为什么会如此？,欧姆定律（Ohms law）：,欧姆定律更一般的形式（微分形式）：,按照Drude模型分析： 假定t时刻电子的平均动量为p(t)，经过dt时间，电子没有受到碰撞的几率为 1-dt/，那么这部分电子对平均动量的贡献为,(1.2.1),1) 电导率,上式中F(t)是电子所受的外力。 对于受到碰撞的电子对平均动量的贡献： 这部分电子的比率为dt/，它们受到碰撞后无规取向（动量无规取向对平均动量无贡献）。这部分电子对平均动量的贡献在于受到碰撞前从外场获得的动量，由于碰撞发生在t+dt时刻或之前，因此对平均动量的总贡献小于,这里涉及dt的二次项，是个二阶小量，可以略去。,(1.2.2),(1.2.2)式在一级近似下为,(1.2.3),更简练的形式为,(1.2.4),引入外场作用下电子的漂移速度（Drift velocity）d,(1.2.5),碰撞的作用，相当于一个阻尼项,对于恒定外电场的稳态情况，,(1.2.5)式为：,(1.2.6),相应地：,(1.2.8),(1.2.7),2）金属中电子的弛豫时间,(1.2.9),在室温下，金属典型的电阻值为10-6Ohm-cm， 如果电阻值用Ohm-cm为单位，弛豫时间的大小为：,其中，为金属电阻率，rs为一个所占据体积的等效球半径，a0为玻尔半径。 金属Cu的室温电阻率=1.5610-6Ohm-cm, =2.7 10-14 sec,(1.2.10),3）金属中电子的平均自由程,在室温下，电子平均速度 v0 的典型值为107 cm/s， 则 l =1 nm Drude 模型是自洽的。,l = v0 ; 而 mv02/2 =3kBT/2,3. 金属热导率,当温度梯度存在时，在金属中就会有热流产生：,此即Fouriers Law。其中JQ是热流，是热导率，T是温度梯度。金属的热导率一般大于绝缘体的，因此金属的热导率可以归结为自由电子的贡献。按照Drude模型，我们可以套用理想气体热导率公式得：,(1.5.1),(1.5.2),其中CV是电子气热容，v是电子运动的平均速度，是电子 平均自由程，是电子弛豫时间。,计算比值：,应用经典统计的结果：,我们有：,(1.5.3),(1.5.4),(1.5.5),(1.5.6),这就是Wiedemann-Franz关系，该常数被称为Lorenz数（Lorenz number）。实际上，Lorenz数比上述值大一倍。,这是Drude模型所无法解释的。其实，Drude模型能够给出 数量级正确的结果也是因为巧合，对CV估计大了两个数量级，对v2估计