高等数学课件--导数与微分.ppt

第一节 导数的概念,第二节 求导法则,第三节 微分及其在近似计算中的作用,导数与微分,第一节 导数的概念,一 两个实例,四 求导举例,二 导数的概念,三 可导与连续,一、 两个实例,1. 变速直线运动的速度,设描述质点运动位置的函数为,则 到 的平均速度为,而在 时刻的瞬时速度为,自由落体运动,2. 曲线的切线斜率,曲线,在 M 点处的切线,割线 M N 的极限位置 M T,(当 时),割线 M N 的斜率,切线 MT 的斜率,两个问题的共性:,瞬时速度,切线斜率,所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .,类似问题还有:,加速度,角速度,线密度,电流强度,是速度增量与时间增量之比的极限,是转角增量与时间增量之比的极限,是质量增量与长度增量之比的极限,是电量增量与时间增量之比的极限,变化率问题,二、导数的概念,定义1 . 设函数,在点,存在,并称此极限为,记作:,即,则称函数,若,的某邻域内有定义 ,运动质点的位置函数,在 时刻的瞬时速度,曲线,在 M 点处的切线斜率,说明: 在经济学中,边际成本率,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.,若上述极限不存在 ,在点 不可导.,若,也称,在,若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.,记作:,注意:,就说函数,就称函数在 I 内可导.,的导数为无穷大 .,在点,的某个右 邻域内,2. 左 右导数,若极限,则称此极限值为,在 处的右 导数,记作,即,(左),(左),定义2 . 设函数,有定义,存在,定理 函数,在点,且,存在,简写为,定理3. 函数,(左),(左),若函数,与,都存在 ,则称,在开区间 内可导,在闭区间 上可导.,可导的充分必要条件,是,且,3.导数的几何意义,若,曲线过,上升;,若,曲线过,下降;,若,切线与 x 轴平行,称为驻点;,若,切线与 x 轴垂直 .,切线方程:,法线方程:,三、 可导与连续,定理1.,证:,设,在点 x 处可导,存在 ,因此必有,其中,故,所以函数,在点 x 连续 .,注意: 函数在点 x 连续未必可导.,反例:,在 x = 0 处连续 , 但不可导.,即,*例 3 求函数 y = c(c为常数) 的导数.,解 因为 y = c为常数,所以,y = 0,这就是说:常数的导数等于零.,即,例如:若 y = 8 ,则,四、求导举例,解,(sin x) = cos x.,(cos x) = - sin x.,*例 4 求函数 y = sin x 的导数.,即,同理可得,1,2,3步合并,解,即,(ex) = ex.,特别地,当a=e 时,有,(ax) = ax lna .,例 5 求函数 y = ax ( a0 , a1) 的导数 .,(当x0 时,与 xlna 是等价无穷小),1,2,3合并,*例 6 求函数 y = ln x (x (0, ) ) 的导数.,解,即,同理可得,1,2,3合并,y = (x+ x)3 - x3 = 3x2x + 3x(x)2 + (x)3,解,3x2+ 3xx + (x)2,即,例 8 求函数 y = x3 的导数.,同理可得幂函数求导公式:,( a 为任意实数 ),例 9 求下列函数在指定点处的导数:,(1),(2),解,(1) 因为,所以,(2) 因为,所以,思考题：,3. 函数 在某点 处的导数,区别:,是函数 ,是数值;,联系:,注意:,有什么区别与联系 ?,？,与导函数,小结,1.导数的概念:,2.可导与连续:,3.求导举例:,可导必定连续,连续不一定可导,4.已学过的导数公式,(sin x) = cos x.,(cos x) = - sin x.,(ex) = ex.,(ax) = ax lna .,作业 P60 2. 3. 6. 7,谢谢同学们,一、函数的和、差、积、商的求导法则,二、复合函数的求导法则,四、初等函数的求导公式,三、反函数的求导法则,五、三个求导方法,六、高阶导数,第二节 求导法则,第二节 求导法则,一、函数的和、差、积、商的求导法则,例2. 求证,证:,类似可证:,二、复合函数求导法则,证:,在点 u 可导,故,（当 时 ),故有,例如,关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.,推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.,解,对于复合函数的分解比较熟悉后,就不必再写出中间变量,而可以采用下列例题的方式来计算,例5. 求下列导数:,解: (1),(2),(3),说明: 类似可得,例6. 设,求,解:,思考: 若,存在 , 如何求,的导数?,练习: 设,例7. 设,解:,记,则,(反双曲正弦),的反函数,三、反函数的求导法则,三、反函数的求导法则,定理2.,y 的某邻域内单调可导,证:,在 x 处给增量,由反函数的单调性知,且由反函数的连续性知,因此,例9. 求反三角函数及指数函数的导数.,解: 1) 设,则,类似可求得,利用, 则,2) 设,则,小结:,解:,1.基本初等函数的导数公式,四、初等函数的求导公式,3复合函数的求导法则,2函数的和、差、积、商的求导法则,小结,.和，差，积，商求导法则,.复合函数求导法则,.反函数求导法则,.初等函数的求导公式,练习1 电流电路中某点处的电流i是通过该点处的,求其电流函数i(t) ？,(2)t=3时的电流是多少？,(3) 什么时候电流为28？,电量q关于时间的瞬时变化率，如果一电路中的电量为,。,解,(1),(2),即当,练习2 速度已知某物体做直线运动，路程(单位:m),解,物体运动的速度为,乘积的求导法则,时的速度？,R为的电路中的电压由下式给出：,解,电压V关于可变电阻R的变化率为：,商的求导法则,练习4 制冷效果 某电器厂在对冰箱制冷后断电,问冰箱温度T关于时间t的变化率是多少？,解,冰箱温度T关于时间t的变化率为,测试其制冷效果，t小时后冰箱的温度为,练习5 并联电阻,当电流通过两个并联电阻r1,r2时，总电阻由下式给出：,求R关于r1的变化率，假定r2是常量.,解,由 知 ，因为r2是常数，所以,练习6 放射物的衰减,放射性元素碳-14（1g） 的衰减由下式给出：,其中Q是t年后碳-14存余的数量(单位：g),问碳-14的衰减速度（单位：g/年）是多少？,解,碳-14的衰减速度v为,(g/年),复合函数的求导法则,案例7 电阻中电流与电压的关系,解,因为,由,复合函数的求导法则,求电流i.,在电容器两端加正弦电流电压,从而可知，电容器上电流与电压有下列关系：,（1）电流i与电压U是同频率的正弦波；,（2）电流i比电压Uc相位提前,（3）电压峰值与电流峰值之比为,作业 P6 .(2)(3)(5)(6)(9) 10. 15.(2)(7)(11),谢谢同学们,五、三个求导方法,若由方程,可确定 y 是 x 的函数 ,由,表示的函数 , 称为显函数 .,例如,可确定显函数,可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .,函数为隐函数 .,则称此,.隐函数求导方法:,两边对 x 求导,(含导数 的方程),例12. 求由方程,在 x = 0 处的导数,解: 方程两边对 x 求导,得,因 x = 0 时 y = 0 , 故,确定的隐函数,例13. 求椭圆,在点,处的切线方程.,解: 椭圆方程两边对 x 求导,故切线方程为,即,例14. 求,的导数 .,解: 两边取对数 , 化为隐式,两边对 x 求导,2.对数求导法,1) 对幂指函数,可用对数求导法求导 :,说明:,注意:,例14 求,对 x 求导,两边取对数,的导数 .,3.由参数方程确定的函数的导数,若参数方程,可确定一个 y 与 x 之间的函数,可导, 且,则,时, 有,时, 有,(此时看成 x 是 y 的函数 ),关系,不要求掌握,切线方程为:,例17. 抛射体运动轨迹的参数方程为,求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向.,解: 先求速度大小:,速度的水平分量为,垂直分量为,故抛射体速度大小,再求速度方向,(即轨迹的切线方向):,设 为切线倾角,则,抛射体轨迹的参数方程,速度的水平分量,垂直分量,在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为,达到最高点的时刻,高度,落地时刻,抛射最远距离,速度的方向,六、高阶导数的概念,速度,即,加速度,即,引例：变速直线运动,定义.,若函数,的导数,可导,或,即,或,类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导数的导数称为 n 阶导数 ,或,的二阶导数 ,记作,的导数为,依次类推 ,分别记作,则称,(sin x) = cos x.,(cos x) = - sin x.,设,求,解:,依次类推 ,例19.,思考: 设,问,可得,例20. 设,求,解:,特别有:,解:,规定 0 ! = 1,思考:,例21. 设,求,例22. 设,求,解:,一般地 ,类似可证:,作业 P62 21.(1) 24.(2) 25.(2) 27,谢谢同学们,一、微分的概念,二、微分的几何意义,三、微分的运算法则,四、微分在近似计算中的应用,第三节 微分及其在近似计算中的作用,一、微分的概念,例1: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为 x , 面积为 A , 则,面积的增量为,关于x 的线性主部,故,当 x 在,取,变到,边长由,其,的微分,定义: 若函数,在点 的增量可表示为,( A 为不依赖于x 的常数),则称函数,而 称为,记作,即,定理: 函数,在点 可微的充要条件是,即,在点,可微,说明:,时 ,所以,时,很小时, 有近似公式,与,是等价无穷小,当,故当,二 微分的几何意义,当 很小时,则有,从而,导数也叫作微商,切线纵坐标的增量,自变量的微分,记作,记,三、 微分的运算法则,设 u(x) , v(x) 均可微 , 则,(C 为常数),分别可微 ,的微分为,微分形式不变,5. 复合函数的微分,则复合函数,基本初等函数的微分公式 (见 P57表),例9.,求,解:,例10. 设,求,解: 利用一阶微分形式不变性 , 有,例11. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:,说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.,注意: 数学中的反问题往往出现多值性.,数学中的反问题往往出现多值性 , 例如,四、 微分在近似计算中的应用,当,很小时,使用原则:,得近似等式:,特别当,