§1向量的内积,长度及正交性.ppt

1 向量的内积、长度及正交性,主要内容： 一、向量内积的定义及其性质 二、向量的长度及其性质 三、正交向量组的定义及其性质 四、正交向量组的求解 五、正交矩阵的定义及其性质 六、正交变换的定义,1 向量的内积、长度及正交性,定义:设有n维向量 令 x,y= x1 y 1+x2 y2+xn yn = xT y , x,y称为向量x与y的内积.,1 向量的内积、长度及正交性,例,1 向量的内积、长度及正交性,内积具有下列性质(其中x,y,z为n维向量,为实数): () x,y= y,x; () x,y= x,y; ()x+y ,z= x, z+ y, z; ()当x=o,x, x=0;当xo,x, x0.,1 向量的内积、长度及正交性,定义:施瓦茨(Schwarz)不等式 x, y2 x, xy ,y. 定义:令x x称为n维向量x的长度(或范数). 定义: 当x=1时,称x为单位向量.,1 向量的内积、长度及正交性,例,1 向量的内积、长度及正交性,向量的长度具有下述性质: () 非负性 当xo时x0 ,当x=o时, x=0; () 齐次性 x= | x; ()三角不等式 x+y x+ y .,1 向量的内积、长度及正交性,定义:当x0, y0时, 称为n维向量x与y的夹角. 定义:当 x,y=0时,称向量x与y正交.,1 向量的内积、长度及正交性,例,1 向量的内积、长度及正交性,说明:当x=o时,x与任何向量都正交. 定义:所谓正交向量组,是指一组两两正交的非零向量. 定理 若n维向量a1 ,a2 ,ar是一组两两正交的非零向量,则a1 ,a2 ,ar线性无关.,1 向量的内积、长度及正交性,例 已知三维向量空间中两个向量 正交,试求一个非零向量a3 ,使a1 ,a2 ,a3两两正交. 解 设 记,1 向量的内积、长度及正交性,1 向量的内积、长度及正交性,定义:设n维向量e1 ,e2 ,er是向量空间V( V Rn )的一个基,如果e1 ,e2 ,er两两正交,且都是单位向量,则称e1 ,e2 ,er是V的一个规范正交基.,就是R4的一个规范正交基.,例,1 向量的内积、长度及正交性,定义: 设a1 ,a2 ,ar 是向量空间V的一个基,要求V的一个规范正交基.也就是要找一组两两正交的单位向量e1 ,e2 ,er,使e1 ,e2 ,er与a1 ,a2 ,ar 等价.这样的问题称为把a1 ,a2 ,ar这个基规范正交化.,1 向量的内积、长度及正交性,容易验证b1 ,b2 ,br两两正交,且b1 ,b2 ,br与a1 ,a2 ,ar 等价.,把a1 ,a2 ,ar这个基规范正交化的方法,1 向量的内积、长度及正交性,定义:从线性无关向量组a1 ,a2 ,ar导出正交向量组b1 ,b2 ,br的过程称为施密特(Schimidt)正交化过程. 说明: (1)b1 ,b2 ,br与a1 ,a2 ,ar等价, (2)还满足对任何k(1kr) ,向量组b1 ,b2 ,bk与a1 ,a2 ,ak等价.,1 向量的内积、长度及正交性,例,1 向量的内积、长度及正交性,1 向量的内积、长度及正交性,1 向量的内积、长度及正交性,定义:如果n阶矩阵A满足 ATA=E(即A-1=AT), 那么称为A正交矩阵,简称正交阵. 将ATA=E用列向量表示,即,1 向量的内积、长度及正交性,1 向量的内积、长度及正交性,说明: (1)方阵A为正交矩阵的充要条件是A 的列向量都是单位向量,且两两正交. (2)方阵A为正交矩阵的充要条件是A 的行向量都是单位向量,且两两正交.,1 向量的内积、长度及正交性,例,1 向量的内积、长度及正交性,正交矩阵具有下列性质: () 若A为正交矩阵,则A-1=AT也是正交矩阵, 且| A| =1或(-1); () 若A 和B都为正交矩阵,则A 和B也是正交矩阵.,1 向量的内积、长度及正交性,定义:若P为正交矩阵,则线性变换y= Px称为正交变换. 说明:,1 向量的内积、长度及正交性,总结 1将一组基规范正交化的方法： 先用施密特正交化方法将基正交化，然后