几何与代数》科学出版社第六章二次型与二次曲面.ppt

,几何与代数,主讲: 关秀翠,东南大学数学系,东 南 大 学 线 性 代 数 课 程,教学内容和学时分配,第六章 二次型与二次曲面,一. 二次型及其矩阵表示,二. 用正交变换化实二次型为标准形,三. 用配方法化实二次型为标准形, 实对称阵的正交相似对角化问题,f(x)=xTAx,标准形g(y)=yTy,旋转变换保持夹角距离不变,几何形状不变,仿射变换时几何形状可能改变,可逆线性变换下的不变量：r(f), p(f),q(f),标准形不唯一，但规范形唯一.,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,f(x) = xTAx = (Py)TA(Py) = yT(PTAP)y = yTy = g(y),寻求可逆矩阵P, 使得,即寻求可逆的线性变换x = Py, 使得,PTAP =,AT = A,A与合同,定义: 对于方阵A, B, 若存在可逆矩阵P, 使得 PTAP = B, 则称A与B相合或合同.,定理5.7. 设A是实对称阵 正交矩阵Q使得 Q1AQ = QTAQ是对角矩阵.,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,定理6.1. 实对称矩阵与对角矩阵合同.,定义: 对于方阵A, B, 若存在可逆矩阵P, 使得 PTAP = B, 则称A与B相合或合同.,性质：矩阵间的相合关系也是一种等价关系.,(1) 反身性: A=ETAE; 对称性: 传递性: A,B相合, B,C相合, 则A,C相合.,PTAP = B,A=(PT)1BP1 =(P1)TBP1,五. 方阵的合同,定义: 对于方阵A, B, 若存在可逆矩阵P, 使得 PTAP = B, 则称A与B相合或合同.,相合的实对称阵的最简形:,PTAP,不变量:,秩;正负惯性指数,n阶实对称阵A, B相合,正负惯性指数相同,规范形,规范形相同,定理6.1. 实对称矩阵与对角矩阵合同.,性质：矩阵间的相合关系也是一种等价关系.,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,PTAP,不变量:,秩;正负惯性指数,实对称阵相合,正负惯性指数相同,命题: A, B相合, A是对称阵，则B也是对称阵.,PTAP = B,证明：,A, B相合，则存在可逆阵P, 使得, BT = PTATP = PTAP = B,对称,(1, 2),例6.,相合的实对称阵的最简形:,规范形相同,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,等价关系汇总,相抵,相 似,四种等价关系之间的相互关系,相 合,正交 相似,PTAP,不变量:,秩;正负惯性指数,实对称阵相合,正负惯性指数相同,相合的实对称阵的最简形:,规范形相同,实对称阵相似必相合?,实对称阵相合必相似?,相似的不变量:,秩; 特征值, 迹, 行列式,实对称阵相似，特征值同，p,q同，必相合；反之不然.,Rnn,Rmn,相抵,相似,正交 相似,Rnn, 实对称,相抵标准形,为初等阵,i为特征值,秩,特征值, 迹,行列式,秩,相合,Rnn,r(f), p(A),q(A), 对称性,秩,实对称,若A可相似 对角化,实对称阵相似，特征值同，p,q同，必相合；反之不然.,等价关系汇总,相似的不变量:,秩; 特征值, 迹, 行列式,实对称阵相合的不变量:,秩;正负惯性指数,规范形,对称性,相抵的不变量: 秩,例7.,B,C,D,F,F,由迹为1排除法只有F,由对称性排除剩下B,C,B,C,由秩为1确定,特征值也为0,2,p=1,q=0,F有两个不同的特征值0,1,特征值中正项、负项的个数,例8 设,问A, B, C 哪些相似?哪些合同?,解,(1) A是对角阵, B是上三角阵,且有3个 互异特征值与A相同,所以B 可以相 似对角阵化为A.即A与B相似.,(2)因为A是对角阵,所以与A合同的矩阵必 是对称阵,而B不是对称阵,A与B不合同.,(3),得,C又是实对称矩阵，,阵 使,故C 与A即相似又合同，再由传递性知 C 与B 也相似.但C 与B 不合同,因为C是对称阵, 与对称阵合同的矩阵必是对称阵,而B不是对称阵,所以C与B不合同.,第六章 二次型与二次曲面,六. 正定二次型与正定矩阵,1. 定义:,设实二次型f(x) = xTAx 满足对Rn中任何 非零向量x, 有f(x) 0, 则称之为正定二 次型, 称A为正定矩阵. 若对Rn中任何非零向量x, 有f(x) 0, 则 称之为负定二次型, 称A为负定矩阵.,注1.,正定(负定)矩阵必为实对称矩阵.,对任何x,注2.,x xi 0,并不是 xi 0,注3.,f(x)=a11x12 + a22x22 + +annxn2 正定, aii0, i=1,2,n.,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,6.2 惯性定理与正定二次型,1.,正定二次型f(x) = xTAx 满足x, 有f(x) 0.,2. 性质,命题3. 同阶正定矩阵的和仍为正定矩阵.,命题1. 可逆线性变换不改变二次型的正定性.,x, f(x) = xTAx 0,x=Py, P可逆,y=P1x , g(y)= yT(PTAP)y = xTAx 0,命题2. 相合的实对称矩阵的正定性也相同.,A,B正定, 则x, xTAx0, xTBx0,(A+B)T=AT+BT=A+B,x, xT(A+B)x= xTAx+xTBx0, A+B正定, A+B实对称,设A,B正定,第六章 二次型与二次曲面,6.2 惯性定理与正定二次型,定理6.4. 设A为n阶实对称阵, 则下列命题等价: (1) A是正定矩阵; (2) A的正惯性指数为n; (3) A的特征值均大于零; (4) A与 E 相合; (5) 存在可逆阵P, 使得A = PTP.,例9. 设实对称矩阵A满足A23A+2E = O, 证明 A是正定的.,(负定),(q = n),(i 0),(A与E相合),(A = PTP),存在可逆阵P, 使得A = PTP,推论：设A是正定矩阵，则|A| 0, trA 0.,证明: 设为A的特征值, 则23+2=0, = 1或2,因此A的所有可能特征值均大于零.,所以A正定.,第六章 二次型与二次曲面,6.2 惯性定理与正定二次型,例10. 设A是正定的n阶实对称矩阵, 证明A+E的 迹大于n.,证明: 因为A是正定的n阶实对称矩阵,所以A的n个特征值1, , n均大于零.,是 A的特征值 f, f()是 f(A)的特征值,A + E 的特征值为i +1, i=1,n,A + 2E 的特征值为i +2, i=1,n,第六章 二次型与二次曲面,6.2 惯性定理与正定二次型,证明2: 因为A是正定的n阶实对称矩阵,所以A的n个特征值1, , n均大于零.,则Q1(A+E)Q = +E,例10. 设A是正定的n阶实对称矩阵, 证明A+E的 迹大于n.,则Q1(A+2E)Q = +2E,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,则, 0., a11 =, 0., 0.,6.1 二次型,第六章 二次型与二次曲面,则, a11 0.,第六章 二次型与二次曲面,6.2 惯性定理与正定二次型,定理6.4. n阶实对称矩阵A是正定矩阵 A的各阶顺序主子式,1 = a11,均大于零.,n = |A|,故A不是正定的.,实对称阵A负定各阶顺序主子式负正相间,A也不是负定的.,1 = 2 0,求参数t 的范围,使下列二次型正定.,解 二次型的矩阵为,例12,A正定 A的各阶顺序主子式 i 0,即,当 -2 t 1 时A正定.,设ARmn, 证明ATA正定 r(A)=n.,证,n = r(ATA) r(A) n, r(A)=n.,由(ATA)T=ATA知ATA是n阶实对称阵,由r(A)=n知,齐次方程组Ax=只有零解.,所以实二次型xTATAx正定, 故ATA正定.,若ATA正定,则 |ATA| 0,例13,而且,例14. 假设A, B都是n阶实对称矩阵, A的特征值均大于a, B的特征值均大于b, 证明: A+B的特征值均大于a+b.,证明: A是n阶实对称阵,于是 1a,na( 0)为 AaE 的特征值,则存在n阶正交阵Q使得,Q1AQ = =diag(1, , n),特征值ia, i=1,n.,所以 AaE 是正定阵.,是A的特征值 f, f()是f(A)的特征值,同理, BbE 是正定阵.,因为同阶正定矩阵的和仍为正定矩阵.,所以 A+B(a+b)E 也是正定阵.,其特征值均大于0.,设为 A+B 的任一特征值,则 (a+b)是A+B(a+b)E的特征值., a+b.,第六章 二次型与二次曲面,6.2 惯性定理与正定二次型,1. 正定二次型f(x) = xTAx 满足x, 有f(x) 0.,2. 性质,同阶正定矩阵的和仍为正定矩阵.,可逆线性变换不改变二次型的正定性.,定理6.3 A正定 p=n A的特征值均大于零 A与E相合 存在可逆阵P, 使得A = PTP.,定理6.4. A正定 A的各阶顺序主子式,均大于零.,解题思想：利用实对称阵A的正交相似对角化， 将f(A)转化为对角阵f()进行求解或证明。,|A+E| = |+E|