全国版高考数学第六章不等式推理与证明6.4合情推理与演绎推理课时提升作业理.docx

合情推理与演绎推理(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016宜昌模拟)下面几种推理过程是演绎推理的是()A.两条直线平行,同旁内角互补,如果A与B是两条平行直线的同旁内角,则A+B=180B.某校高三(1)班有55人,(2)班有54人,(3)班有52人,由此得高三所有班人数均超过50人C.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质D.在数列an中,a1=1,an=(n2),由此归纳出an的通项公式【解析】选A.A项中两条直线平行,同旁内角互补(大前提),A与B是两条平行直线的同旁内角(小前提),A+B=180(结论),是从一般到特殊的推理,是演绎推理.而B,D是归纳推理,C是类比推理.2.(2016十堰模拟)依次写出数列a1=1,a2,a3,an(nN*)的法则如下:如果an-2为自然数且未写过,则写an+1=an-2,否则就写an+1=an+3,则a6=()A.4B.5C.6D.7【解析】选C.根据题中法则,依次逐个代入,得a2=4,a3=2,a4=0,a5=3,a6=6.3.(2016佛山模拟)对于数25,规定第1次操作为23+53=133,第2次操作为13+33+33=55,如此反复操作,则第2016次操作后得到的数是()A.25B.250C.55D.133【解析】选B.由题意知,第3次操作为53+53=250,第4次操作为23+53+03=133,第5次操作为13+33+33=55,.因此每次操作后的得数呈周期排列,且周期为3,又2016=6723,故第2016次操作后得到的数是250.【加固训练】(2015揭阳模拟)对于正实数a,Ma为满足下述条件的函数f(x)构成的集合:x1,x2R且x2x1,有-a(x2-x1)f(x2)-f(x1)a2,则f(x)-g(x)【解题提示】对于-a(x2-x1)f(x2)-f(x1)a(x2-x1).变形有-aa,令k=,又f(x),g(x),利用不等式的性质可得f(x)+g(x).从而得出正确答案.【解析】选C.对于-a(x2-x1)f(x2)-f(x1)a(x2-x1),即有-aa,令k=,有-aka,又f(x),g(x),即有-a1kfa1,-a2kga2,因此有-a1-a2kf+kga1+a2,因此有f(x)+g(x).4.给出下列三个类比结论:(ab)n=anbn与(a+b)n类比,则有(a+b)n=an+bn;loga(xy)=logax+logay与sin(+)类比,则有sin(+)=sinsin;(a+b)2=a2+2ab+b2与(a+b)2类比,则有(a+b)2=a2+2ab+b2.其中正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.(a+b)nan+bn(n1,ab0),故错误.sin(+)=sinsin不恒成立,如=30,=60,sin90=1,sin30sin60=,故错误.由向量的运算公式知正确.5.(2015广东高考)若集合E=(p,q,r,s)|0ps4,0qs4,0rs4且p,q,r,sN,F=(t,u,v,w)|0tu4,0v|AB|,则P点的轨迹为椭圆B.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式C.由圆x2+y2=r2的面积r2,猜想出椭圆+=1的面积S=abD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】选B.从S1,S2,S3猜想出数列的前n项和Sn,是从特殊到一般的推理,所以B是归纳推理.选项A是演绎推理,选项C,D是类比推理.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016黄山模拟)观察下列等式:13=12,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,根据上述规律,第n个等式为.【解析】观察所给等式左右两边的构成易得第n个等式为13+23+n3=.答案:13+23+n3=【加固训练】古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如:他们研究过图1中的1,3,6,10,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16,这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A.289B.1024C.1225D.1378【解析】选C.观察三角形数:1,3,6,10,记该数列为an,则a1=1,a2=a1+2,a3=a2+3,an=an-1+n.所以a1+a2+an=(a1+a2+an-1)+(1+2+3+n)an=1+2+3+n=,观察正方形数:1,4,9,16,记该数列为bn,则bn=n2.把四个选项的数字,分别代入上述两个通项公式,可知使得n都为正整数的只有1225.7.(2016襄阳模拟)在平行四边形ABCD中有AC2+BD2=2(AB2+AD2),类比这个性质,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中有A+B+C+D=.【解题提示】根据平行六面体的性质,可以得到它的各个面以及它的对角面均为平行四边形,多次使用已知条件中的定理,再将所得等式相加,可以计算出正确结论.【解析】如图,平行六面体的各个面以及对角面都是平行四边形,因此,在平行四边形ABCD中,AC2+BD2=2(AB2+AD2);在平行四边形ACC1A1中,A1C2+A=2(AC2+A);在平行四边形BDD1B1中,B1D2+B=2(BD2+B);、相加,得A1C2+A+B1D2+B=2(AC2+A)+2(BD2+B)将代入,再结合AA1=BB1得,A+B1D2+A1C2+B=4(AB2+AD2+A)答案:4(AB2+AD2+A)【加固训练】观察下列几个三角恒等式:tan 10tan 20+tan 20tan 60+tan 60tan 10=1;tan 5tan 100+tan 100tan(-15)+tan(-15)tan 5=1;tan 13tan 35+tan 35tan 42+tan 42tan 13=1.一般地,若tan,tan,tan都有意义,你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为.【解析】所给三角恒等式都为tantan+tantan+tantan=1的结构形式,且,之间满足+=90,所以可猜想当+=90时,tantan+tantan+tantan=1.答案:当+=90时,tantan+tantan+tantan=18.已知数列an为等差数列,若am=a,an=b(n-m1,m,nN*),则am+n=.类比等差数列an的上述结论,对于等比数列bn(bn0,nN*),若bm=c,bn=d(n-m2,m,nN*),则可以得到bm+n=.【解析】设数列an的公差为d1,则d1=.所以am+n=am+nd1=a+n=.类比推导方法可知:设数列bn的公比为q,由bn=bmqn-m,可知d=cqn-m,所以q=,所以bm+n=bmqn=c=.答案:【一题多解】本题还可以采用如下解法:(直接类比)设数列an的公差为d1,数列bn的公比为q,因为等差数列中an=a1+(n-1)d1,等比数列中bn=b1qn-1,因为am+n=,所以bm+n=.答案:(15分钟30分)1.(5分)观察下式:1+3=221+3+5=321+3+5+7=421+3+5+7+9=52据此你可归纳猜想出一般结论为()A.1+3+5+(2n-1)=n2(nN*)B.1+3+5+(2n+1)=n2(nN*)C.1+3+5+(2n-1)=(n+1)2(nN*)D.1+3+5+(2n+1)=(n+1)2(nN*)【解析】选D.观察可见第n行左边有n+1个奇数,右边是(n+1)2.2.(5分)命题p:已知椭圆+=1(ab0),F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上的一个动点,过点F2作F1PF2补角平分线的垂线,垂足为M,则OM的长为定值.类比此命题,在双曲线中也有命题q:已知双曲线-=1(a0,b0),F1,F2是双曲线的两个焦点,P为双曲线上的一个动点,过点F2作F1PF2的的垂线,垂足为M,则OM的长为定值.【解析】对于椭圆,延长F2M与F1P的延长线交于点Q.由对称性知,M为F2Q的中点,且|PF2|=|PQ|,从而OMF1Q且|OM|=|F1Q|.而|F1Q|=|F1P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,所以|OM|=a.对于双曲线,过点F2作F1PF2内角平分线的垂线,垂足为点M,类比可得OM=a.答案:内角平分线3.(5分)(2016黄冈模拟)观察下列等式:cos2=2cos2-1;cos4=8cos4-8cos2+1;cos6=32cos6-48cos4+18cos2-1;cos8=128cos8-256cos6+160cos4-32cos2+1;cos10=mcos10-1280cos8+1120cos6+ncos4+pcos2-1.可以推测,m-n+p=.【解析】m=1284=512;p=105=50,根据系数和等于1,可以求出n=-400.答案:962【加固训练】(2016武汉模拟)在计算“12+23+n(n+1)”时,某同学学到了如下一种方法:先改写第k项:k(k+1)=k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1),由此得12=(123-012),23=(234-123),n(n+1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1).相加,得12+23+n(n+1)=n(n+1)(n+2).类比上述方法,请你计算“123+234+n(n+1)(n+2)”,其结果是(结果写成关于n的一次因式的积的形式).【解析】先改写第k项:k(k+1)(k+2)=k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2),由此得123=(1234-0123),234=(2345-1234),n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2),相加得123+234+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3).答案:n(n+1)(n+2)(n+3)4.(15分)已知椭圆具有性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线-=1写出具有类似特性的性质,并加以证明.【解析】类似的性质为:若M,N是双曲线-=1上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.证明如下:设点M,P的坐标分别为(m,n),(x,y),则N(-m,-n).因为点M(m,n)在已知双曲线上,所以n2=m2-b2.同理y2=x2-b2.则kPMkPN=(定值).【加固训练】某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:sin213+cos217-sin 13cos 17;sin215+cos215-sin 15cos 15;sin218+cos212-sin 18cos 12;sin2(-18)+cos248-sin(-18)cos 48;sin2(-25)+cos255-sin(-25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数.(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三