高中数学第4章定积分4.2微积分基本定理学案北师大版.docx

2微积分基本定理1.了解微积分基本定理的含义.(难点)2.会利用微积分基本定理求函数的定积分.(重点)基础初探教材整理微积分基本定理阅读教材P82P84，完成下列问题.1.微积分基本定理如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)F(x)，则有f(x)dxF(b)F(a).2.定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则(1)图421(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图421(1)，则f(x)dxS上.(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图421(2)，则f(x)dxS下.(2)(3)图421(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图421(3)，则f(x)dxS上S下，若S上S下，则f(x)dx0.1.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数.()(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.()(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数.()【答案】(1)(2)(3)2.(sin x)dx等于()A.0B.2C.2D.4【解析】(sin x)dxcos xcos 2cos 00.【答案】A质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型利用微积分基本定理求定积分计算下列定积分.(1)(x22x3)dx；(2)(cos xex)dx；(3)dx；(4) sin2dx. 【思路探究】(1)、(2)先求被积函数的一个原函数F(x)，然后利用微积分基本定理求解；(3)、(4)则需先对被积函数变形，再利用微积分基本定理求解.【自主解答】(1)(x22x3)dxx2dx2xdx3dxx23x.(2)(cos xex)dxcos xdxexdxsin xex1.(3)2x1，而(x2xln x)2x1.dx(x2xln x)4ln 2.(4)原式 (1cos x)dx (1cos x)dx1dxcos xdx.求简单的定积分应注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限.再练一题1.dx_.【解析】dxdx(ln 11)ln 2.【答案】ln 2求分段函数的定积分计算下列定积分.(1)f(x)求f(x)dx；(2)|x21|dx.【精彩点拨】(1)按f(x)的分段标准，分成，(2，4三段求定积分，再求和.(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分. 【自主解答】(1)f(x)dxsin xdx1dx(x1)dx(cos x)x1(40)7.(2)|x21|dx(1x2)dx(x21)dx2.1.本例(2)中被积函数f(x)含有绝对值号，可先求函数f(x)的零点，结合积分区间，分段求解.2.分段函数在区间a，b上的定积分可分成n段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行.3.带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解.再练一题2.计算定积分：(|2x3|32x|)dx.【解】设f(x)|2x3|32x|，x3，3，则f(x)所以(|2x3|32x|)dx(4x)dx6 dx4x dx2x26x2x226245.探究共研型利用定积分求参数探究1满足F(x)f(x)的函数F(x)唯一吗？【提示】不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值.探究2如何求对称区间上的定积分？【提示】在求对称区间上的定积分时，应首先考虑函数性质和积分的性质，使解决问题的方法尽可能简便.(1)设函数f(x)ax2c(a0)，若f(x0)，0x01，求x0的值；(2)已知f(x)是一次函数，其图像过点(3，4)，且1，求f(x)的解析式.【精彩点拨】(1)先利用微积分基本定理求出定积分，然后列出关于x0的方程，求出x0的值.(2)设出f(x)的解析式，再根据已知条件列方程组求解.【自主解答】(1)因为f(x)ax2c(a0)，且ax2c，所以f(x)dx(ax2c)dxcaxc，解得x0或x0(舍去).(2)依题意设一次函数f(x)的解析式为f(x)kxb(k0).函数图像过点(3，4)，3kb4.f(x)dx(kxb)dxb，b1.由得，k，b，f(x)x.1.含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提.2.计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念.再练一题3.已知(2x3x2)dx0，则k等于() 【导学号：94210072】A.0B.1C.0或1D.以上都不对【解析】(2x3x2)dx(x2x3)k2k3，k2k30，解得k1或k0(舍去)，故选B.【答案】B构建体系1.下列定积分的值等于1的是()A.xdxB.(x1)dxC.1dxD.dx【解析】选项A，因为x，所以xdx；选项B，因为x1，所以(x1)dx；选项C，因为x1，所以1dxx1；选项D，因为，所以dxx.【答案】C2. (sin xcos x)dx的值是()A.0B.C.2D.4【解析】 (sin xcos x)dxsin xdxcos xdx(cos x) sin x2.【答案】C3.计算x2dx_. 【导学号：94210073】【解析】由于x2，所以x2dxx3.【答案】4.已知2(kx1)dx4，则实数k的取值范围为_.【解析】(kx1)dx(2k2)k1，所以2k14，解得k2.【答案】5.已知f(x)axb，且f2(x)dx1，求f(a)的取值范围.【解】由f(x)axb，f2(x)dx1，得2a26b23，2a236b20，所以b，所以f(a)a2b3b2b3，所以f(a).我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(十六)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.dx等于()A.2ln 2B.2ln 2C.ln 2D.ln 2【解析】dxln x|ln 4ln 2ln 2.【答案】D2.设axdx，bx2dx，cx3dx，则a，b，c的大小关系是()A.abcB.cabC.acbD.cba【解析】axdx，bx2dx，cx3dx，abc.【答案】A3.(2016东莞高二检测)已知(kx1)dxk，则实数k()A.2B.2C.1D.1【解析】(kx1)dxk1k，k2.【答案】A4.已知f(x)2|x|，则f(x)dx()A.3B.4C.D.【解析】因为f(x)2|x|所以f(x)dx(2x)dx(2x)dx2.【答案】C5.设f(x)则f(x)dx()A.B.C.D.【解析】f(x)dxx2dx(2x)dxx3.【答案】D二、填空题6.(2015长沙高二检测)若f(x)sin xcos x，则f(x)dx_.【解析】因为f(x)sin xcos x，所以f(x)的一个原函数F(x)sin xcos x，则 (sin xcos x)dxFF2.【答案】27.(2016长沙高二检测)f(x)sin xcos x，则f(x)dx_.【解析】f(x)dx (sin xcos x)dx(cos xsin x)sinsin112.【答案】28.已知f(x)若f(f(1)1，则a_. 【导学号：94210074】【解析】因为f(1)lg 10，且3t2dtt3|a303a3，所以f(0)0a31，所以a1.【答案】1三、解答题9.已知f(x)(12t4a)dt，F(a)f(x)3a2dx，求函数F(a)的最小值.【解】因为f(x)(12t4a)dt(6t24at)6x24ax(6a24a2)6x24ax2a2，F(a)f(x)3a2dx(6x24axa2)dx(2x32ax2a2x)22aa2(a1)211.当a1时，F(a)有最小值1.10.设f(x)ax2bxc(a0)，f(1)4，f(1)1，f(x)dx，求f(x).【解】因为f(1)4，所以abc4，f(x)2axb，因为f(1)1，所以2ab1，f(x)dxabc，由可得a1，b3，c2.所以f(x)x23x2.能力提升1.已知等比数列，且a4a8dx，则a6(a22a6a10)的值为()A.2B.4C.D.9【解析】dx表示以原点为圆心，半径r2在第一象限的面积，因此dx，a6(a22a6a10)a6a22a6a6a6a10a2a4a8a(a4a8)22，故选A.【答案】A2.如图422所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为()图422A.B.C.D.【解析】因为S正方形1，S阴影(x)dx，所以点P恰好取自阴影部分的概率为.【答案】C3.计算：(2|x|1)dx_.【解析】(2|x|1)dx(2x1)dx(2x1)dx(x2x)|(x2x)|(42)(42)12.【答案】124.定义F(x，y)(1x)y，x，y(0，).令函数f(x)F(1，log2(x24x