2016_2017学年高中数学1.2.3同角三角函数的基本关系式学案新人教B版必修.docx

1.2.3同角三角函数的基本关系式1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.(重点)2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明.(难点)基础初探教材整理同角三角函数的基本关系阅读教材P22“例1”以上内容，完成下列问题.1.平方关系：sin2 cos2 1.商数关系：tan_.2.语言叙述：同一个角 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)对任意角，sin23cos231都成立.()(2)对任意角，tan 都成立.()(3)因为sin2 cos2 1，所以sin2cos21成立，其中，为任意角.()(4)对任意角，sin cos tan 都成立.()【解析】由同角三角函数的基本关系知(1)，(3)，由正切函数的定义域知不能取任意角，所以(2)，(4).【答案】(1)(2)(3)(4)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型应用同角三角函数关系求值(1)若sin ，且是第三象限角，求cos ，tan 的值；(2)若cos ，求tan 的值；(3)若tan ，求sin 的值.【精彩点拨】对(1)中明确是第三象限角，所以只有一种结果.对(2)，(3)中未指出角所在象限的情况，需按所在象限讨论、分类求解，一般有两种结果.【自主解答】(1)sin ，是第三象限角，cos ，tan .(2)cos 0，是第一、四象限角.当是第一象限角时，sin ，tan ；当是第四象限角时，sin ，tan .(3)tan 0，是第二、四象限角.由可得sin22.当是第二象限角时，sin ；当是第四象限角时，sin .利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：(1)已知角的某一种三角函数值，求角的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系；(2)若角所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果.再练一题1.已知sin 3cos 0，求sin ，cos 的值.【解】sin 3cos 0，sin 3cos .又sin2cos21，(3cos )2cos21，即10cos21，cos .又由sin 3cos ，可知sin 与cos 异号，角的终边在第二或第四象限.当角的终边在第二象限时，cos ，sin ；当角的终边在第四象限时，cos ，sin .利用sin cos ，sin cos 之间的关系求值已知0，sin cos ，求tan 的值.【导学号：72010012】【精彩点拨】sin cos sin cos sin cos sin ，cos tan 【自主解答】由sin cos (1)得sin cos 0，又00，cos 0，sin cos ，(2)由(1)(2)解得sin ，cos ，所以tan .1.sin cos ，sin cos ，sin cos 三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin cos )212sin cos .2.求sin cos 或sin cos 的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号.再练一题2.已知00，可知0，则sin cos ，于是得出所以tan .利用tan 求值设tan 2，求的值.【精彩点拨】把分子、分母化成正、余弦齐次分式后，分子、分母同除以cos2，化tan 求解.【自主解答】，将上式分子、分母同除以cos2，得原式3.这是一道在已知条件tan m的条件下，求关于sin ，cos 的齐次式的值的题目，解决这类问题需注意以下两点：(1)一定是关于sin ，cos 的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)因为cos 0，所以可除以cos ，这样可将被求式化为关于tan 的表示式，然后代入tan m的值，从而完成被求式的求值.再练一题3.已知tan 3，则2sin2 4sin cos 9cos2 的值为()A.3B.C. D.【解析】2sin2 4sin cos 9cos2 ，由于tan 3，原式.【答案】B探究共研型三角恒等式的证明探究1证明三角恒等式常用哪些方法？【提示】(1)从右证到左.(2)从左证到右.(3)证明左右归一.(4)变更命题法.如：欲证明，则可证MQNP，或证等.探究2在证明sin cos 时如何巧用“1”的代换.【提示】在求证sin cos 时，观察等式左边有2sin cos ，它和1相加应该想到“1”的代换，即1sin2cos2，所以等式左边sin cos 右边.求证：(1)；(2)2(sin6 cos6 )3(sin4 cos4 )10.【精彩点拨】解答本例题可以从左边推到右边，也可以作差比较.关键是利用好“1”的代换和乘法公式等变形技巧.【自主解答】(1)证明：左边右边，原等式成立.(2)证明：左边2(sin2 )3(cos2 )33(sin4 cos4 )12(sin2 cos2 )(sin4 sin2 cos2 cos4 )3(sin4 cos4 )1(2sin4 2sin2 cos2 2cos4 )(3sin4 3cos4 )1(sin4 2sin2 cos2 cos4 )1(sin2 cos2 )21110右边，原等式成立.1.证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；(3)比较法(作差，作比法).2.技巧感悟：朝目标奔.常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2)化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式).3.解决此类问题要有整体代换思想.再练一题4.求证：.【证明】右边左边，原等式成立.构建体系1.如果是第二象限的角，下列各式中成立的是()A.tan B.cos C.sin D.tan 【解析】由商数关系可知A，D均不正确，当为第二象限角时，cos 0，sin 0，故B正确.【答案】B2.已知是第四象限角，cos ，则sin 等于()A. B.C. D.【解析】由条件知sin .【答案】B3.已知sin ，则sin4cos4的值为()A. B.C. D.【解析】sin4cos4(sin2cos2)(sin2cos2)sin2cos22sin21.【答案】B4.已知3sin cos 0，则tan _.【解析】由题意得：3sin cos 0，tan .【答案】5.已知(0，)，sin cos ，求tan 的值.【导学号：72010013】【解】将sin cos 的两边分别平方，得12sin cos 1，即sin cos ，所以sin cos ，解得tan 或tan .(0，)，0sin cos |cos |，|tan |1，即，tan 1，tan .我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(五)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.若sin sin21，那么cos2cos4的值等于()A.0B.1C.2 D.3【解析】因为由sin sin21，得sin cos2，所以cos2cos4sin sin21.【答案】B2.若tan 3，则2sin cos ()A. B.C. D.【解析】2sin cos .【答案】C3.已知sin cos ，则sin cos ()A. B.C. D.【解析】由(sin cos )212sin cos ，得2sin cos ，则(sin cos )212sin cos ，又由于00，sin cos ，故选D.【答案】D二、填空题6.(2016山师大附中期中)若tan 3，则sin cos _，tan2 _.【解析】tan 3，sin cos ，又tan2 22927，tan2 7.【答案】77.已知sin ，cos 是方程2x2mx10的两根，则_.【导学号：72010014】【解析】sin cos ，又因为sin ，cos 是方程2x2mx10的两根，所以由韦达定理得sin cos ，则(sin cos )212sin cos 2，所以sin cos .【答案】 三、解答题8.已知tan ，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)sin2 2sin cos 4cos2 .【解】.(2).(3)sin2 2sin cos 4cos2 .9.若2，化简 .【解】2，sin 0，m0舍去，故m8，sin ，cos ，