2018_2019学年高中数学第3章空间向量基本定理3.1.4空间向量的坐标表示学案苏教版.docx

3.1.3空间向量基本定理3.1.4空间向量的坐标表示学习目标：1.掌握空间向量的基本定理及其推论，理解空间向量的正交分解，掌握用基底表示空间向量的方法(重点、难点)2.理解空间向量坐标的定义，能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算，会根据向量的坐标运算判断两个空间向量平行(重点)3.基向量的选取及应用(易错点)自 主 预 习探 新 知教材整理1空间向量基本定理阅读教材P87P88例1以上的部分，完成下列问题1空间向量基本定理如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使pxe1ye2ze3.2基底、基向量在空间向量基本定理中，e1，e2，e3是空间不共面的三个向量，则把e1，e2，e3称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫做基向量.0不能作为基向量3正交基底、单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用i，j，k表示4空间向量基本定理的推论设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得xyz.已知是空间的一个基底，且e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3，试判断能否作为空间的一个基底？并说明理由解能作为空间的一个基底，理由如下：假设，共面，则存在实数，使得，e12e2e3(3e1e22e3)(e1e2e3)(3)e1()e2(2)e3.e1，e2，e3不共面，此方程组无实数解，不共面能作为空间的一个基底教材整理2空间向量的坐标运算阅读教材P89P90例1以上的部分，完成下列问题1空间向量的坐标在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则(a2a1，b2b1，c2c1)；当空间向量a的起点移至坐标原点时，其终点坐标就是向量a的坐标2空间向量的坐标运算设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)向量的加法ab(a1b1，a2b2，a3b3)向量的减法ab(a1b1，a2b2，a3b3)数乘向量a(a1，a2，a3)，R向量平行ab(a0) b1a1，b2a2，b3a3，R已知向量a(1,0,2)，2ab(0,1,3)，则b_.解析b(2ab)2a(0,1,3)2(1,0,2)(2,1，1)答案(2,1，1)合 作 探 究攻 重 难基底的判断(1)若a，b，c为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是_(填序号)a，ab，ab；b，ab，ab；c，ab，ab；ab，ab，a2b(2)若e1，e2，e3是空间的一个基底，且向量2e1e2e3，e1e22e3，ke13e22e3不能作为空间的一组基底，则k_. 【导学号：71392165】精彩点拨(1)看各组向量是否共面，共面不能作为基底，否则可作基底；(2)，共面，利用共面向量定理求解解析(1)若c，ab，ab共面，则c(ab)m(ab)(m)a(m)b，则a，b，c为共面向量，此与a，b，c为空间向量的一组基底矛盾，故c，ab，ab可构成空间向量的一组基底(2)因为，不能作为空间向量的一组基底，故，共面由共面向量定理可知，存在实数x，y，使xy，即ke13e22e3x(2e1e2e3)y(e1e22e3)故解得x，y，k5.答案(1)(2)5名师指津基底的判断判断某一向量组能否作为基底，关键是判断它们是否共面.如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断.用基底表示空间向量如图3114所示，空间四边形OABC中，G，H分别是ABC，OBC的重心，设a，b，c，试用向量a，b，c表示向量. 【导学号：71392166】图3114精彩点拨自主解答，()(bc)，()()a(bc)，(bc)a(bc)a，即a.名师指津用基底表示向量的技巧(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变换、化简，最后求出结果.(3)下结论：利用空间向量的一个基底a，b，c可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.再练一题1如图3115所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，设a，b，c，P是CA1的中点，M是CD1的中点用基底a，b，c表示以下向量：(1)；(2).图3115解如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，连接AC，AD1，(1)()()(abc)(2)()(2)abc.空间向量的坐标运算如图3116，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PAAB1.试建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标图3116精彩点拨根据题意，以，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，再用，表示向量，即可得到结果自主解答法一：PAABAD1，PA平面ABCD，ABAD，是两两垂直的单位向量设e1，e2，e3，以e1，e2，e3为基底建立空间直角坐标系Axyz，如图所示()()e2e3，.法二：P(0,0,1)，C(1,1,0)，N.又M，.名师指津1本题的两个解法出发点不同，法一侧重于用基底表示，然后向坐标转化；法二则是直接利用向量的坐标运算，更简便2运用坐标进行向量运算，实质就是将向量运算转化为数字运算，体现了转化思想的运用再练一题2已知ABCDA1B1C1D1是棱长为2的正方体，E，F分别为BB1和DC的中点，建立如图3117所示的空间直角坐标系，试写出，的坐标图3117解D(0,0,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，(2,2,2)，(2,2,1)，(0,1,0).空间向量平行的坐标表示已知空间三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3，0,4)，设a，b.(1)设|c|3，c，求c；(2)是否存在实数k，使(kab)(ka2b)？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由. 【导学号：71392167】精彩点拨根据共线向量定理及空间向量平行的坐标表示可解自主解答(1)由条件，易得(2，1,2)，因为c，故设c(2，1,2)(2，2)，又因为|c|3，422429，解得1，故c的坐标为(2，1,2)或(2,1，2)(2)a(1,1,0)，b(1,0,2)，kab(k1，k,2)ka2b(k2，k，4)，假设存在实数k，使(kab)(ka2b)，即存在实数，使kab(ka2b)，即(k1，k,2)(k2，k，4)，即解得，k0，所以存在实数k0，使(kab)(ka2b)名师指津两向量平行的充要条件有两个：ab，依此既可以判定两向量共线，也可以通过两向量平行求待定字母的值再练一题3设a(2,3,0)，b(3，2,1)，计算2a3b,5a6b，并确定，的值，使ab与向量b平行解a(2,3,0)，b(3，2,1)，2a3b2(2,3,0)3(3，2,1)(4,6,0)(9，6,3)(5,0,3)，5a6b5(2,3,0)6(3，2,1)(10,15,0)(18，12,6)(28,27，6)ab(2,3,0)(3，2,1)(23，32，)，且(ab)b，0，R，即0，R时，ab与b平行. 空间向量的坐标运算探究问题1如何建立空间直角坐标系？提示(1)用空间向量的坐标运算解决问题的前提是建立恰当的空间直角坐标系，为便于坐标的求解及运算，在建立空间直角坐标系时，要充分分析空间几何体的结构特点，应使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内(2)进行向量的运算时，在能建系的情况下尽量建系化为坐标运算，并且按照右手系建系，如图所示2如何运用空间向量的坐标运算解决几何问题？提示运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤：(1)建立恰当的空间直角坐标系；(2)求出相关点的坐标；(3)写出向量的坐标；(4)结合公式进行论证、计算；(5)转化为几何结论如图3118，在长方体OAEBO1A1E1B1中，OA3，OB4，OO12，点P在棱AA1上，且AP2PA1，点S在棱BB1上，且SB12BS，点Q，R分别是棱O1B1，AE的中点图3118求证：PQRS. 【导学号：71392168】精彩点拨以O为原点，以，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，确定，的坐标，利用向量共线证明自主解答如图，建立空间直角坐标系，则A(3,0,0)，B(0,4,0)，O1(0,0,2)，A1(3,0,2)，B1(0,4,2)PA2PA1，SB12BS，Q，R分别是棱O1B1，AE的中点，P，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S.于是，.RPQ，PQRS.再练一题4已知四边形ABCD的顶点坐标分别是A(3，1,2)，B(1，2，1)，C(1,1，3)，D(3，5,3)，求证：四边形ABCD是一个梯形证明(1,2，1)(3，1,2)(2,3，3)，(3，5,3)(1,1，3)(4，6,6)，与共线，即ABCD.又(3，5,3)(3，1,2)(0，4,1)，(1,1，3)(1,2，1)(2，1，2)，与不平行四边形ABCD为梯形当 堂 达 标固 双 基1设a(1,2,3)，b(2,2，2)，若(kab)(ab)，则k_.解析kabk(1,2,3)(2,2，2)(k2,2k2,3k2)，ab(1,4,1)(kab)(ab)，3k2，解得k1.答案12已知向量a(1,2,1)，ab(0,1,2)，则b_.解析baba(0,1,2)(1,2,1)(1，1,1)答案(1，1,1)3已知向量a(2，3,5)与向量b平行，则等于_. 【导学号：71392169】解析法一：由题意知，存在实数k，使bka，即k(2，3,5)，即解得k，.法二：由ab，显然0，得，.答案4在直三棱柱ABOA1B1O1中，