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文档简介

星期五(综合限时练)2017年_月_日解答题综合练(设计意图:训练考生在规定时间内得高分,限时:80分钟)1.(本小题满分14分)设数列an的前n项之积为Tn,且log2Tn,nN*.(1)求数列an的通项公式;(2)设bnan1(nN*),数列bn的前n项之和为Sn,若对任意的nN*,总有Sn1Sn,求实数的取值范围.解(1)由log2Tn,nN*,得Tn2,所以Tn12(nN*,n2),所以an22n1,nN*,n2.又a1T1201,适合上式,所以an2n1,nN*.(2)由bnan12n11,得Snn(2n1)n.所以Sn1Sn(2n11)(n1)(2n1)n2n1.因为对任意的nN*,故所求的取值范围是.2.(本小题满分15分)如图,已知空间四边形ABCD在平面上的射影是梯形FBCE,BCEF,BCBF,BC2EF2AF4DE.又平面ABC与平面所成的二面角的大小为45.(1)求异面直线AB与CD所成角的大小;(2)设直线BD交平面AFC于点O,求比值.解(1)如图,以点F为原点,FB,FE,FA分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.因为AF平面FBCE,BCBF,所以BCAB,所以ABF就是平面ABC与平面所成的二面角的平面角,所以ABF45,从而|AF|BF|.令|DE|a,则|AF|EF|BF|2a,|BC|4a,A(0,0,2a),B(2a,0,0),C(2a,4a,0),D(0,2a,a).所以(2a,0,2a),(2a,2a,a),cos,.所以,135,故异面直线AB与CD所成角的大小为45.(2)连接BE、CF交于点G,再连接OG.因为DEAF,DE平面AFC,AF平面AFC,所以DE平面AFC.又平面BDE平面AFCOG,所以OGDE,所以.由EFGBCG,得,所以2.3.(本小题满分15分)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.解(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,则P(A).所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为.(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.P(Xk)(k0,1,2,3).所以随机变量X的分布列是X0123P随机变量X的数学期望E(X)0123.4.(本小题满分15分)如图,椭圆1(ab0)的上顶点为A,左顶点为B,F为右焦点,过F作平行于AB的直线交椭圆于C、D两点,作平行四边形OCED,点E恰在椭圆上.(1)求椭圆的离心率;(2)若平行四边形OCED的面积为2,求椭圆的方程.解(1)焦点为F(c,0),AB的斜率为,故直线CD的方程为y(xc).与椭圆方程联立后消去y得到2x22cxb20.CD的中点为G,点E在椭圆上.将E的坐标代入椭圆方程并整理得2c2a2,离心率e.(2)由(1)知,bc,则直线CD的方程为y(xc),与椭圆方程联立消去y得到2x22cxc20.平行四边形OCED的面积为Sc|yCyD|ccc22,所以c2,b2,a2.故椭圆方程为1.5.(本小题满分15分)设函数f(x)x2(2m3)xln x(mR).(1)讨论函数f(x)在定义域上的单调性;(2)若对任意的x(1,2),总有f(x)2,求m的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为(0,),f(x)x2m3.令x2(2m3)x10,则(2m3)24(2m1)(2m5).当m时,0,所以x2(2m3)x10,从而f(x)0;当m时,因为x0,所以x2(2m3)x1x2x1x22x10,所以f(x)0;当m时,0,方程x2(2m3)x10有两个不相等的实数根x1,x2(不妨设x1x2).因为x1x232m3220,x1x210,所以x10,x20,所以当x1xx2时,x2(2m3)x10,从而f(x)0;当0xx1或xx2时,x2(2m3)x10,从而f(x)0. 综上可知,当m时,函数f(x)在定义域(0,)上单调递增;当m时,函数f(x)在区间(0,x1)和(x2,)上单调递增,在区间(x1,x2)上单调递减,其中x1,x2.(2)法一由(1)知,当m时,函数f(x)在区间(1,2)上单调递增,所以f(x)f(1)2m3232,故f(x)2不成立.当m时,函数f(x)在区间(x1,x2)上单调递减,在区间(0,x1)和(x2,)上单调递增.由x10,x20,x1x21,知0x11x2,所以在区间1,2上,f(x)maxmaxf(1),f(2).因为f(1)2m32m,f(2)22(2m3)ln 24m4ln 2,所以解得而0,所以m.故实数m的取值范围是.法二f(x)2,即x2(2m3)xln x2.在区间(1,2)上,x2(2m3)xln x22m3x.令g(x)x,x(1,2),则g(x).令h(x)x22ln x2,x(1,2),则h(x)2x0,所以函数h(x)在区间(1,2)上单调递减.因为h(1)10,h(2)2ln 220,所以存在唯一的x0(1,2),使得h(x0)0,且当x(1,x0)时,h(x)0,即g(x)0;当x(x0,2)时,h(x)0,即g(x)0.所以函数g(x)在区间(1,x0)上单调递

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