高中数学变化率与导数2.4.1导数的加法与减法法则2.4.2导数的乘法与除法法则学案北师大版.docx

4.1导数的加法与减法法则4.2导数的乘法与除法法则1.理解导数的四则运算法则.(重点)2.能利用导数的四则运算法则求导.(重点、难点)基础初探教材整理1导数的加法与减法法则阅读教材P42部分内容，完成下列问题.两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即f(x)g(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)f(x)g(x).教材整理2导数的乘法与除法法则阅读教材P44“练习”以下至P45“例3”以上部分，完成下列问题.一般地，若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f(x)和g(x)，则f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，(g(x)0).特别地，当g(x)k时，有kf(x)kf(x).若f(x)，则f(x)_.【解析】f(x).【答案】质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型导数的四则运算(1)函数y(2x23)(3x2)的导数是_；(2)函数y2xcos x3xln x的导数是_；(3)函数y的导数是_.【精彩点拨】仔细观察和分析各函数的结构特征，紧扣求导运算法则，联系基本初等函数求导公式，必要时可进行适当的恒等变形后求导.【自主解答】(1)法一：y(2x23)(3x2)(2x23)(3x2)4x(3x2)(2x23)318x28x9.法二：y(2x23)(3x2)6x34x29x6，y18x28x9.(2)y(2xcos x3xln x)(2x)cos x2x(cos x)3xln xx(ln x)2xln 2cos x2xsin x32xln 2cos x2xsin x3ln x3.(3)y.【答案】(1)y18x28x9(2)y2x ln2 cos x2x sin x3 ln x3(3)y1.先区分函数的结构特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的四则运算法则求导数.2.对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程.再练一题1.求下列各函数的导数.(1)y(1)；(2)yxsin cos ；(3)y.【解】(1)化简得y1xx，yxx.(2)yxsin cos xsin x，yx(sin x)1cos x.(3)y.利用导数求曲线的切线方程求过点(1，1)与曲线f(x)x32x相切的直线方程. 【导学号：94210044】【精彩点拨】点(1，1)不一定是切点，故设出切点坐标(x0，y0)，求出f(x0).写出切线方程，利用点(1，1)在切线上求x0，从而求出切线方程.【自主解答】设P(x0，y0)为切点，则切线斜率为kf(x)3x2，故切线方程为yy0(3x2)(xx0).(x0，y0)在曲线上，y0x2x0.又(1，1)在切线上，将式和(1，1)代入式得1(x2x0)(3x2)(1x0).解得x01或x0.k1或k.故所求的切线方程为y1x1或y1(x1)，即xy20或5x4y10.1.求曲线的切线方程一定要分清是求曲线在点P处的切线方程，还是求过点P与曲线相切的直线方程.2.本题中点(1，1)虽然在曲线上，但经过该点的切线不一定只有一条，即该点可能是切点，也可能是切线与曲线的交点.再练一题2.求曲线y在点(1，1)处的切线方程.【解】y，当x1时，y0，即曲线在点(1，1)处的切线斜率k0.因此，曲线y在点(1，1)处的切线方程为y1.探究共研型导数运算法则的综合应用探究1二次函数yf(x)的图像过原点，且它的导函数yf(x)的图像是过第一、二、三象限的一条直线，则函数yf(x)的图像的顶点在第几象限？【提示】设f(x)ax2bx(a0)，f(x)2axb，yf(x)2axb的图像是一条过第一、二、三象限的直线，即a0，b0，0，0，f(x)的图像的顶点在第三象限.探究2若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，试求f(1)的值.【提示】由f(x)ax4bx2c得f(x)4ax32bx，又f(1)2，所以4a2b2，即2ab1，f(1)4a2b2(2ab)2.已知函数f(x)的图像在点M(1，f(1)处的切线方程为x2y50，求函数yf(x)的解析式.【精彩点拨】利用点M为切点是切线与曲线的公共点，以及切线的斜率为f(1)联立方程组，可求出a，b的值.【自主解答】由函数f(x)的图像在点M(1，f(1)处的切线方程为x2y50，知12f(1)50，即f(1)2，由切点为M点得f(1).f(x)，即解得a2，b3或a6，b1(由b10，故b1舍去).所以所求的函数解析式为f(x).解决与切线有关的问题时，要充分运用切点的坐标.特别是切点的横坐标，因为切点的横坐标与导数有着直接的联系.再练一题3.(2016青岛高二检测)图241中有一个是函数f(x)x3ax2(a21)x1(aR，且a0)的导函数的图像，则f(1)()图241A.B.C.D.或【解析】f(x)x22axa21，由题图与知，它们的对称轴都为y轴，此时a0，与题设不符合，故题图是f(x)的导函数的图像.由题图知f(0)0，a0，所以a1，此时f(x)x3x21，所以f(1).【答案】B构建体系1.函数f(x)(x21)x3的导数为()A.f(x)5x43x2B.f(x)6x53x2C.f(x)5x33x2D.f(x)6x5x3【解析】f(x)x5x3，f(x)5x43x2.【答案】A2.函数yx2cos 2x的导数为()A.y2xcos 2xx2sin 2xB.y2xcos 2x2x2sin 2xC.yx2cos 2x2xsin 2xD.y2xcos 2x2x2sin 2x【解析】y(x2)cos 2xx2(cos 2x)2xcos 2xx2(sin 2x)(2x)2xcos 2x2x2sin 2x.【答案】B3.若曲线yx1(R)在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则_.【解析】因为yx1，所以在点(1，2)处的切线斜率k，则切线方程为y2(x1).又切线过原点，故02(01)，解得2.【答案】24.已知函数f(x)fsin xcos x，则f_. 【导学号：94210045】【解析】f(x)fcos xsin x，ffcos sin 1，f(x)cos xsin x，fcos sin .【答案】5.求下列函数的导数.(1)yx2x2；(2)y3xex2xe；(3)y.【解】(1)y2x2x3.(2)y(ln 31)(3e)x2xln 2.(3)y.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.下列结论不正确的是()A.若y3，则y0B.若f(x)3x1，则f(1)3C.若yx，则y1D.若ysin xcos x，则ycos xsin x【解析】D中，ysin xcos x，y(sin x)(cos x)cos xsin x.【答案】D2.若对任意实数x，恒有f(x)5x4，f(1)1，则此函数为()A.f(x)1x5B.f(x)x52C.f(x)x42D.f(x)x51【解析】由f(1)1，排除A，D；又对任意实数x，恒有f(x)5x4，则f(x)x5c ，故排除C，选B.【答案】B3.曲线f(x)x3x2在P0点处的切线平行于直线y4x1，则P0点的坐标为()A.(1，0)B.(2，8)C.(1，0)和(1，4)D.(2，8)和(1，4)【解析】f(x)x3x2，f(x)3x21，设P0(x0，y0)，则f(x0)3x14，x01.故P0点坐标为(1，0)或(1，4).【答案】C4.设曲线f(x)在点(3，2)处的切线与直线axy10垂直，则a等于()A.2B.C.D.2【解析】f(x)1，f(x)，f(3)，a2，即a2.【答案】D5.已知函数f(x)x24ln x，若存在满足1x03的实数x0，使得曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线与直线xmy100垂直，则实数m的取值范围是()A.5，)B.4，5C.D.(，4)【解析】f(x)x，当1x03时，f(x0)4，5，又kf(x0)m，所以m4，5.【答案】B二、填空题6.函数y的导数是_. 【导学号：94210046】【解析】f(x).【答案】7.已知f(x)x22fx，则f_.【解析】f(x)x22fx，f(x)2x2f，f22f，f2，即f.【答案】8.某物体做直线运动，其运动规律是st2(t的单位是s，s的单位是m)，则它在第4 s末的瞬时速度应该为_.【解析】s2t，vs(4)87 m/s.【答案】7 m/s三、解答题9.点P是曲线yf(x)ex上任意一点，求点P到直线yx的最小距离.【解】根据题意设平行于直线yx的直线与曲线f(x)ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与yx距离最近的点，如图.则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即f(x0)1.f(x)(ex)ex，ex1，得x00，代入f(x)ex，得y01，即P(0，1).则点P到直线yx的最小距离为d.10.已知抛物线yax2bxc过点(1，1)，且在点(2，1)处与直线yx3相切，求a，b，c的值.【解】因为yax2bxc过点(1，1)，所以abc1.y2axb，曲线在点(2，1)处的切线的斜率为4ab1.又曲线过点(2，1)，所以4a2bc1.由解得所以a，b，c的值分别为3，11，9.能力提升1.(2016宁波高二检测)函数f(x)xxln x在(1，1)处的切线方程为()A.2xy10B.2xy10C.2xy10D.2xy10【解析】f(x)(xxln x)1xln xx(ln x)1ln x12ln x，f(1)2ln 12，函数f(x)在点(1，1)处的切线方程为y12(x1)，即2xy10.【答案】B2.曲线f(x)x2bxc在点(1，2)处的切线与其平行直线bxyc0间的距离是()A.B.C.D.【解析】因为曲线过点(1，2)，所以bc1，又f(1)2b，由题意得2bb，所以b1，c2，所以所求的切线方程为y2x1，即xy10.故两平行直线xy10和xy20的距离为d.【答案】C3.(2016菏泽高二检测)若曲线yxln x上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_. 【导学号：94210047】【解析】设P(x0，y0).yxln x，yln xx1ln x.k1ln x0.又k2，1ln x02，x0e.y0eln ee，点P的坐标是(e，e).【答案】(e，