高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理课时提升作业1新人教A版.docx

平面向量基本定理(15分钟30分)一、选择题(每小题4分，共12分)1.若四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，且=a，=b，则等于()A.b+aB.b-aC.a+bD.a-b【解析】选B.=+=+=b-a.2.若向量a，b为两个非零向量，且|a|=|b|=|a-b|，则向量a+b与a的夹角为()A.B.C.D.【解析】选A.作=a，=b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则=a-b，=a+b，AOC为向量a与a+b的夹角.因为|a|=|b|=|a-b|，所以OAB是等边三角形，平行四边形OACB是菱形，所以AOB=，AOC=AOB=.【延伸探究】本题中“|a-b|”改为“|a+b|”，求a，b的夹角.【解析】作=a，=b，则=a+b，由|a|=|b|=|a+b|及三角形法则可知，表示向量a，b，a+b的有向线段可构成等边三角形OAB(如图所示)，所以a，b的夹角为.【补偿训练】在ABC中，C=90，BC=AB，则与的夹角是()A.30B.60C.120D.150【解析】选C.如图，作向量=，则BAD是与的夹角，在ABC中，因为C=90，BC=AB，所以ABC=60，所以BAD=120.【误区警示】解答本题容易忽视向量夹角的定义要求两个向量共起点，导致误认为ABC是与的夹角的错误.3.如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，BE交AC于点F，=，则实数的值为()A.B.C.D.【解析】选A.设=a，=b，=m，则=(a+b)=a+b，=a-b，又=+=+m=b+m=ma+(1-m)b，所以所以=.二、填空题(每小题4分，共8分)4.(2015青岛高一检测)已知平面向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y=_.【解析】因为向量e1，e2不共线，所以解得x-y=3.答案：35.(2015北京高考)在ABC中，点M，N满足=2，=，若=x+y，则x=_，y=_.【解析】由=2，=得=-，=-=-(-)，所以=-=-(-)+=-.所以x=，y=-.答案：-【补偿训练】已知平行四边形OADB的对角线交于点C，=，=，=a，=b，用a，b表示=_，=_.【解析】=a-b，=a-b，=+=a+b，=a+b，=+=+=a+b，=-=a-b.答案：a+ba-b三、解答题6.(10分)(2015广州高一检测)如图，在OAB中，=a，=b，M，N分别是边OA，OB上的点，且=a，=b，设与相交于点P，用向量a，b表示.【解析】因为=+，=+，设=m，=n，则=+m=a+m(b-a)=(1-m)a+mb.=+n=b+n(a-b)=(1-n)b+na.因为a，b不共线，所以n=，m=.所以=a+b.【补偿训练】在ABC中，=，DEBC，与边AC相交于点E，ABC的中线AM与DE相交于点N，如图所示，设=a，=b，试用a和b表示.【解析】因为M为BC的中点，所以=(-)=(b-a)，=(+)=(a+b).因为，与共线，所以存在实数和，使得=(b-a)，=(a+b)=a+b.=+=a+(b-a)=a+b.根据平面向量基本定理，得解得=.所以=(b-a).(15分钟30分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.过ABC的重心G任意作一直线分别交AB，AC于点D，E，若=x，=y，xy0，则+的值为()A.4B.3C.2D.1【解析】选B.因为G，D，E三点共线，所以=+(+=1)，即=y+x；又设BC的中点为M，=，所以y=，x=，所以+=3+3=3.【拓展延伸】三角形中的常用结论在ABC中：(1)若=，则AD是ABC中BC边的中线.(2)=G为ABC的重心，特别地，+=0G为ABC的重心.(3)|=|=|O是ABC的外心.2.如图，在平面直角坐标系xOy中，两个非零向量，与x轴正半轴的夹角分别为和，向量满足+=0，则与x轴正半轴夹角的取值范围是()A.B.C.D.【解题指南】先由+=0推知向量+与反向，然后通过分析向量+与x轴正半轴的夹角推知向量与x轴正半轴的夹角.【解析】选B.因为+=0，所以+=-，如图1所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OAC1B，则+=，=-，固定的长度，的长度缩小，点C1向B靠近(图2)，固定的长度，的长度缩小，点C1向A靠近(图3).因为向量，与x轴正半轴的夹角分别为和，所以与x轴正半轴夹角取值范围为，由与的方向相反知与x轴正半轴夹角的取值范围为.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015厦门高一检测)e1，e2为两个不共线的向量，a=-e1+3e2，b=4e1+2e2，c=-3e1+12e2，以b，c为基底表示向量a=_.【解题指南】利用平面向量的基本定理可设a=xb+yc(x，yR)，由于e1，e2为两个不共线的向量，利用向量相等求解x，y即可.【解析】设a=xb+yc(x，yR)，则-e1+3e2=x(4e1+2e2)+y(-3e1+12e2)，即-e1+3e2=(4x-3y)e1+(2x+12y)e2，所以解得所以a=-b+c.答案：-b+c4.(2015嘉兴高一检测)在ABC中，AB=2，BC=3，ABC=60，AHBC于点H，M为AH的中点，若=+，则+=_.【解析】如图所示，=(+)=+=+(-)=+，所以=，=，则+=.答案：【补偿训练】如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且|=|=1，|=2，若=+(，R).求+的值.【解析】如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则=+，在直角OCD中，因为|=2，COD=30，OCD=90，所以|=4，|=2，故=4，=2，即=4，=2，所以+=6.三、解答题5.(10分)(2015扬州高一检测)如图，ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB，AC于M，N两点，若=x，=y，试问：+是否为定值？