高考数学第一轮复习课件》第71讲两直线的位置关系与对称问题.ppt

新课标高中一轮总复习,第71讲,两直线的位置关系与对称问题,掌握两直线平行与垂直的条件、点到直线的距离公式、中心对称和轴对称的概念，能根据直线的方程判断两直线的位置关系，能把握对称的实质，并能应用对称性解题.,1.如果直线l1:ax+2y+1=0与直线l2:x+y-2=0互相垂直，那么a的值等于( ),A. 1 B. C. D. -2,(一)由l1l2 A1A2+B1B2=0,求得a=-2. （二）若两直线垂直且斜率存在，则k1k2=-1, 即( )(-1)=-1,得a= -2.,D,2.“a3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行且不重合”的( ),A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件,因为a=3时,有3x+2y+9=0和3x+2y+4=0,此两直线平行;若两直线平行,则 ,得a=3，故选C.,C,3.若点P(3,4)、点Q（a,b)关于直线x-y-1=0对称，则( ),A.a=1,b=2 B.a=2,b=-1 C.a=4,b=3 D.a=5,b=2,由已知， ，解得 ， 故选D.,D,a=5 b=2,4.点P（2，-3）到直线l:5x-12y+6=0的距离是 ；两条平行直线4x-3y+m=0和8x-6y+n=0间的距离是 .,点P（2，-3）到直线l的距离 d= 两平行直线方程可化为8x-6y+2m=0, 8x-6y+n=0，所以两直线间的距离d= .,4,由点到直线的距离公式得 , 所以cos2= , 得= 或 .,5.已知0 ，若点A(sin,-cos)到直线l:xsin+ycos=0的距离为 ,则= .,或,1.平面内的两条直线的位置关系 若直线l1:y=k1x+b1或A1x+B1y+C1=0; 直线l2:y=k2x+b2或A2x+B2y+C2=0. (1)l1l2 且b1b2或_ 且A2C1-A1C20(或B1C2-B2C10). (2)l1l2_ 或_ .,(4)l1与l2重合k1=k2且b1=b2或A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1=0(或B1C2-B2C1=0).,(3)l1与l2相交A1B2-A2B10.,2.点与直线的位置关系 设点P(x0,y0)，直线l:Ax+By+C=0,则 (1)点在直线上： +C=0. (2)点在直线外： +C0. (3)点到直线的距离d=_. 特别地，若l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0, 则l1与l2间的距离d=_.,3.中心对称与轴对称 (1)中心对称：求P(x0,y0)关于点M(a,b)对称的点P的基本方法是转化为M是线段PP的中点求，即P(2a-x0,2b-y0).特例：当a=0,b=0时，P(x0,y0)关于原点的对称点为P(-x0,-y0).,_.,(2)轴对称：求已知点P(x0,y0)关于已知直线l:y=kx+b的对称点P(x,y)的基本方法是转化为求方程组的解,即由,PP l 线段PP的中点p0 l,_.,特例:当k=0,1或b=0时，分别有以下规律： （）P(x,y)关于x轴、y轴对称的点分别为P1(x,-y),P2(-x,y). （）P(x,y)关于直线y=x,y=-x对称的点分别为_ （）P(x,y)关于直线y=x+b,y=-x+b对称的点分别为P5(y-b,x+b),P6(-y+b,-x+b). （）P(x,y)关于直线x=a,y=b对称的点分别为P7(2a-x,y),P8(x,2b-y). 注意：当k1，0时，不具有上述规律.,P 3(x,y),P4(-x,-y).,4.对称变换 (1)曲线C:F(x,y)=0经过上述规律进行变换f,得曲线C,则C为C关于f对称的曲线. (2)若C的方程与C的方程相同，则证明曲线C自身具有对称性.,特例：曲线C：F(x,y)=0关于x轴、y轴、原点对称的曲线C的方程分别为F(x,-y)=0,F(-x,y)=0,F(-x,-y)=0;关于直线y=x,y=-x,y=x+b,y=-x+b对称的曲线C的方程分别是F(y,x)=0,F(-y,-x)=0,F(y-b,x+b)=0,F(-y+b,-x+b)=0;关于直线x=a,y=b,点M(a,b)对称的曲线C的方程分别为F(2a-x,y)=0,F(x,2b-y)=0,F(2a-x,2b-y)=0.,题型一 两条直线位置关系的判定与运用,例1,已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a、b的值. (1)ll2，且l1过点(-3,-1); (2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等.,(1)由已知可得l2的斜率必存在,所以k2=1-a. 若k2=0，则1-a=0,a=1. 因为l1l2,直线l1的斜率k1必不存在，即b=0. 又因为l1过点(-3,-1)，所以-3a+b+4=0, 即b=3a-4=-10（不合题意）， 所以此种情况不存在，即k20. 若k20，即k1、k2都存在. 因为k2=1-a,k ,l1l2, 所以k1k2=-1,即 (1-a)=-1. 又因为l1过点(-3,-1)，所以-3a+b+4=0. 由联立，解得a=2,b=2.,(2)因为l2的斜率存在，l1l2,所以直线 l1的斜率存在，所以k1=k2,即 =(1-a). 又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1l2, 所以l1、l2在y轴上的截距互为相反数, 即 =b, 则联立解得 或 所以a、b的值分别为2和-2或 和2.,a=2 a= b=-2 b=2,在运用直线的斜截式y=kx+b时，要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况.运用直线的一般式Ax+By+C=0时，要特别注意A、B为零时的特殊情况.另外求解与两直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两直线平行或垂直的充要条件；若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究.,1,已知两直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my-1=0，试确定m、n的值，使 (1) l1与l2相交于点P(m,-1)； (2) l1 l2; (3) l1l2且l1在y轴上的截距为-1.,(1)因为m2-8+n=0, 且2m-m-1=0,所以m=1,n=7. (2)由mm-82=0,得m=4. 由8(-1)-nm0，得 或 ， 即m=4,n-2时，或m=-4,n2时，l1l2. (3)当且仅当m2+8m=0,即m=0时，l1l2. 又 =-1,所以n=8, 即m=0,n=8时，l1l2且l1在y轴上的截距为-1.,m=4 m=-4 n -2 n 2,题型二 点到直线的距离及平行线间的距离,例2,已知三条直线l1:2x-y+a=0（a0），l2: -4x+2y+1=0和l3:x+y-1=0,且l1与l2的距离是 .,（1）求a的值； （2）试求一点P，使得P点同时满足下列三个条件：P是第一象限的点；P点到l1的距离是P点到l2的距离的 ；P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是 .,(1)由已知,l1:4x-2y+2a=0,l2:4x-2y-1=0， 所以l1与l2的距离d= 即|2a+1|=7，又a0，所以a=3. ( 2)设点P（x0,y0)，若P满足条件,则P点在与l1、l2平行的直线l：4x-2y+c=0上， 且 ，解得c=13或 . 所以4x0-2y0+13=0或4x0-2y0+ =0.,若P满足条件，由点到直线的距离公式， 有 ， 所以|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|， 所以x0-2y0+4=0或3x0+2=0. 又点P在第一象限，所以3x0+2=0不成立. 故点P(x0,y0)满足 ，,解得 (舍去)或 ， 解得 所以点P( ， )为同时满足三个条件的点,求解本题的必需工具是两个公式：平行线间的距离公式，点到直线的距离公式，与直线Ax+By+C=0平行的所有直线总能设为Ax+By+C1=0的形式；而两平行线间的距离除用公式外，总能看成是其中一条上的任意一点到另一条直线的距离，最终化归为点到直线的距离.,互相平行的两直线分别过A(6,2),B(-3,-1),并且各自绕着A,B旋转，如果两条平行线间的距离为d.,1,(1)求d的取值范围； (2)当d取最大值时，求两直线的方程.,则 ,故 .,而,(1)设两条直线的方程分别为y=kx+b1和y=kx+b2，,整理得(81-d2)k2-54k+9-d2=0(kR),(2)当dmax=3 时， 所以两直线的方程为3x+y-20=0和3x+y+10=0.,所以=542-4(81-d2)(9-d2)0, 即-3 d3 ，且d0. 即0d3 . 故d的取值范围为（0，3 .,已知直线l:x-y+3=0，一束光线从点A(1,2)处射向x轴上一点B,又从B点反射到l上的一点C，最后从点C反射回点A. (1)试判断由此得到的ABC是有限个还是无限个？ (2)依你的判断,认为是无限个时,请求出所有这样的ABC的面积的最小值；认为是有限个时，请求出这样的线段BC的方程.,题型三 有关对称的确定与应用,例3,根据光学性质，点C在直线AB上，点C又在直线BA上, 则AB的方程为为 . 由 ,解得 .,(1)设B(m,0)，点A关于x轴的对称点为A(1,-2),点B关于直线x-y+3=0的对称点为B(-3,m+3).,又BA的方程为y-2= , 由 ,解得 . 则 ,即3m2+8m-3=0, 解得m= 或m=-3. 而当m=-3时，点B在直线x-y+3=0上，不能构成三角形， 因此这样的ABC只有一个.,本例是探究性问题，探究的切入点是充分应用对称的几何性质及方程思想.,(2)当m= 时，B( ,0),C(- , ), 则线段BC的方程为3x+y-1=0(- x ).,在西气东输工程中，有一段煤气管道所在的直线方程为l:x+2y-10=0，最近的两座城市在同一坐标系下的坐标分别是A(1,2),B(5,0)，现要在管道l上建一煤气调度中心M，使其到A、B两座城市的距离之和最短，求点M的坐标.,如图，作点A关于直线l:x+2y-10=0的对称点A1,连接A1B,则直线A1B与直线l的交点即为M，设A1(x1,y1).,由对称性质,得 ,所以 ， 即A1(3,6).由直线方程的两点式得直线A1B的方程为3x+y-15=0，所以 ， 所以 ，所以点 M的坐标为（4，3）.,已知n条直线,l1：x-y+C1=0,C1= ，l2:x-y+C2=0,l3:x-y+C3=0,ln:x-y+Cn=0(其中C1C2C3Cn)这n条平行直线中，每相邻两条直线之间的距离顺次为2、3、4、n. (1)求Cn； (2)求x-y+Cn=0与x轴、y轴围成的图形的面积； (3)求x-y+Cn-1=0与x-y+Cn=0及x轴、y轴围成图形的面积.,(1)原点O到l1的距离为1，原点O到l2的距离为1+2,原点O到ln的距离dn为 ,因为Cn= ,所以 .,(2)设直线ln:x-y+Cn=0交x轴于M,交y轴于N，则OMN面积SOMN= |OM|ON|= , 所以 . (3)所围成的图形是等腰梯形， 由(2) 知 ， 所以 . 故所求面积为n3(n2,nN*).,1.判断两条直线平行或垂直时，既要灵活准确应用等价条件，又要注意与坐标轴平行的特殊情况.在运用两平行直线间距离公式时，一定要注意对两直线方程中x、y项系数对应相等这一条件的考察. 2.应用中心对称、轴对称的几何特征是探究对称问题的切入点和关键，同时，有关中点、角平分线、光线反射及在定直线上找一点到两定点的距离和（或差）的最小（或最大）等问题，通常将其转化为对称问