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文档简介

3.4 最小二乘法,例 已知自由落体的运动方程为,（1）,估算重力加速度 g的值。,设计试验：选一物体 W，相对于某一参考点和时 间起点，测量W在一些特定时刻的下落距离。假设通 过实验得到下列数据,分析：点 应满足方程（1），即,（2）,求 g，相当于解以 为未知数的线性方程 组（2）。,经验算，方程组（2）无解。,主要问题：不相容线性方程组的讨论,一、向量的距离,定义 设V是欧氏空间， ，则 到 的 距离 规定为,性质 设 是欧氏空间V 中任意三个向量，则,（1）,（2） ，等号成立当且仅当,（3）,定义 设V 是欧氏空间，W 是V 的子空间。对 ， 若 与 W 中每个向量都正交，则称向量 与子空间 W 正交，记为 。,定理 设V 是欧氏空间，W 是V 的子空间。任取 ，若存在 满足 ，则对任一 均有,证明 任取 ，则 。,于是，,即,二、不相容线性方程组的最小二乘解,考虑不相容线性方程组,设其为,若实数 ，使,最小，则称 是不相容方程组 的最 小二乘解。,考虑欧氏空间 ，则 。式可 表为,其中 。,则 W 是 的子空间，且求 使最小，即是求 使 最小，亦即求 b到 W 的最短距离。,由前面定理，只须求 ，使 ， 即对 ，均有,令,故 应为线性方程组,的解。,定理 设 是不相容线性方程组，则下列 线性方程组,的解就是原方程组的最小二乘解。称为正规方程。,例 任取 ，则线性方程组 一定有解。,例 物理学中的Huke定律指出，在弹性范围内， 一个匀质弹簧的长度x是作用力 y的线性函数，可设 之为,y = y0 + k x,其中k 称为该弹簧的弹性系数。,现有一匀质弹簧，经实验得到下列数据,确定此弹簧的弹性系数 k 。,解 把数据代入 ，得,记,则上述方程组可表为,它是不相容的。考虑其正规方程,因 可逆，故的解为,由 是 的最小二乘解，可得,于是，此弹簧的受力方程为,定理 设 是不相容线性方程组，这里 。若 秩(A) = n，则此方程组有 唯一的最小二乘解。,小 结,1. 线性空间的基、维数、坐标 求过渡矩阵，求坐标（三个具体的空间）,2.
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