椭圆的标准方程.ppt

椭圆及其标准方程,学习目标：,1. 会叙述椭圆的定义；,2. 能区分椭圆的标准方程的两种形式， 并知道其中每个系数的意义；,3. 通过椭圆的定义和标准方程的应用， 培养分析、运算和推理等数学能力.,在我们实际生活中，同学们见过椭圆吗？能举出一些实例吗？,想一想,如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？,生活中的椭圆,一.课题引入：,请同学们将一根无弹性的细绳两端系在圆规两端下部，并将两脚固定，用笔绷紧细绳在纸上移动，观察画出的轨迹是什么曲线。,反 思,（1）在画出一个椭圆的过程中，圆规两脚末端 的位置是固定的还是运动的？ （2）在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？ （3）在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？,动手实验,椭圆的画法,结合实验以及“圆的定义”,思考讨论一下应该 如何定义椭圆？它应该包含几个要素？,（1）在平面内,（2）到两定点F1，F2的距离等于定长2a,（3）定长2a |F1F2|,反思：,平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆。两个定点F1、F2称为焦点，两焦点之间的距离称为焦距，记为2c。若设M为椭圆上的任意一点，则|MF1|+|MF2|=2a,注：定义中对“常数”加上了一个条件，即距离之和要大于|F1F2| (2a2c,ac0),1,2,3,1、椭圆的定义,O,X,Y,F1,F2,M,2.椭圆方程的建立,步骤一：建立直角坐标系, 设动点坐标,步骤二：找关系式,步骤三：列方程,步骤四：化简方程,步骤五：验证,求曲线方程的步骤:,3.方程的推导,以两定点F1、F2的所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图)。,设|F1F2|=2c(c0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-c，0)，F2(c，0)，且M到F1，F2的距离和为2a.,由椭圆的定义, 可知：|MF1|+|MF2|=2a,由两点间的距离公式，可知：,即：,两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2,即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2),因2a2c，即ac，故a2-c20， 令a2-c2=b2，其中b0，代入上式 , 可得：,两边同时除以a2(a2-c 2) 得：,这就是所求椭圆的轨迹方程，它表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)这里c2=a2-b2,4椭圆标准方程分析,我们把方程 叫做椭圆的标准方程，它表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、 F2(c，0)这里c2=a2b2,如果椭圆的焦点在y轴上，焦点是F1(o,-c)、F2(0,c).这里c2=a2-b2方程是怎样呢？,Y,3、椭圆的标准方程的再认识：,（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1,（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。,（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。,（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在 哪一个轴上。,快速反应,5,3,4,6,3,2,2.写出a,b的值，并判定下列椭圆的焦点在什么轴上，写出焦点坐标,动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离之和为8，则动点P的轨迹为-（ ） A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.不能确定,B,5,4,3,(3,0)、(-3,0),6,20,(2)已知椭圆的方程为： ，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标为：_焦距等于_;曲线上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一个焦点F2的距离等于_，则F1PF2的周长为_,2,1,(0,-1)、(0,1),2,例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程：,(1)两焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0）， 椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。,(2)两焦点的坐标分别是（-2，0）、（2，0）， 且椭圆经过点P 。,(1)两焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。,解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程 为：,2a=10，2c=8,即 a=5，c=4,故 b2=a2-c2=52-42=9,所以椭圆的标准方程为：,(2)两焦点的坐标分别是（-2，0）、（2，0），且 椭圆经过点P 。,解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程为：,由椭圆的定义可知：,又因 c=2，,所以椭圆的标准方程为：,故 b2=a2-c2=10-22=6,求适合下列条件的椭圆的标准方程：,(1)a= 4 ,b=1,焦点在x轴上；,(4)两个焦点分别是F1(2,0)、F2(2,0),且过P( )点；,(2)a= 4 , ,焦点在y轴上；,(3)a+b=10, ;,练习2： 1.椭圆的方程是 焦点是 . 若CD为过左焦点F1的弦，则F2CD的周长是 . 2.方程4x2+ky2=1的曲线是焦点在y轴上的椭圆， 则k的范围是 . 3.椭圆mx2+ny2=-mn(mn0)的焦点是 .,分母哪个大，焦点就在哪个轴上,平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹,课堂小结,例2如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2。从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？,练习：P36 T4,图,2.2.1椭圆及其标准方程（二）,学习目标：,1. 进一步熟悉椭圆的定义，并能用来 解答相关问题；,2. 能根据已知条件求出椭圆的标准方程；,3. 通过椭圆的定义和标准方程的应用， 培养分析、运算和推理等数学能力.,复习引入,1. 椭圆的定义：,把平面内与两个定点F1、F2的距离 的和等于常数(大于|F1 F2|)的点的轨迹叫 作椭圆,F1(-c,0)，F2(c,0),F1(0,-c)，F2(0,c),看分母的大小,焦点在分母大的那一项对应的坐标轴上.,c,a,b,2. 椭圆的标准方程：,复习引入,3. 椭圆的两个基本等式：,(1) |MF1|MF2|2a （ 2a |F1F2|）； (2) b2c2a2.,例题选讲,例1.已知椭圆的方程为： ，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标为：_焦距等于_;若CD为过左焦点F1的弦，则F2CD的周长为_,5,4,3,(3,0)、(-3,0),6,20,变式：已知椭圆的方程为： ，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标为：_焦距等于_;曲线上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一个焦点F2的距离等于_，则F1PF2的周长为_,2,1,(0,-1)、(0,1),2,例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程：,(1)两焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0）， 椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。,(2)两焦点的坐标分别是（-2，0）、（2，0）， 且椭圆经过点P 。,(1)两焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。,解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程 为：,2a=10，2c=8,即 a=5，c=4,故 b2=a2-c2=52-42=9,所以椭圆的标准方程为：,(2)两焦点的坐标分别是（-2，0）、（2，0），且 椭圆经过点P 。,解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程为：,由椭圆的定义可知：,又因 c=2，,所以椭圆的标准方程为：,故 b2=a2-c2=10-22=6,(3)a= 4 ,b=1,焦点在x轴上；,(4)a= 4 , ,焦点在y轴上；,(5)a+b=10, ;,在一平面内,F1、F2为两个定点，M为动点， F1F2=4，MF1+MF2=2a,若动点M的轨迹为线段F1F2，则2a=-;若动点M的轨迹是椭圆，则2a的取值范围是-。,4,（4，+）,练习1:,解：如图，建立坐标系，使x轴经过点B、C， 使原点O与BC重合。 由已知AB+BC+AC=16 由于BC=6，所以AB+AC=10 即点A的轨迹是椭圆，又2c=6,2a=10 c=3,a=5,b2=a2-c2=16. 点A的轨迹方程是：,Y,(y0),问：以上解法有问题吗？有没有不周密之处？,例4 已知B、C是两个定点，BC=6，且ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程。,方法小结： 1.定义法,方法小结： 3.直接法,例7、如图，在圆 上任取一点P作x轴的垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？,解:设点M坐标为M(x,y), 点P的坐标为 P(x,y),则,由题意可得：,因为,所以,即,这就是点M的轨迹方程，它表示一个椭圆。,相关点分析法:即利用中间变量求曲线方程.,综合应用1,推广：p为椭圆上 的一个点，F1 、F2为椭圆的焦点， 求,例7、如图，在圆 上任取一点P作x轴的垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？,解:设点M坐标为M(x,y), 点P的坐标为 P(x,y),则,由题意可得：,因为,所以,即,由本题结论可以看到， （1）将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长），可以得到椭圆.,（2）如果题目要求求点的轨迹，一定要指明轨迹是什么图形。,例8： 已知圆A：(x3)2y2100，圆A内一 定点B(3，0)，圆P过B点且与圆A内切，求圆心 P的轨迹方程,解：设PBr 圆P与