条件概率,全概率.ppt

一、条件概率,二、全概率公式与贝叶斯公式,三、小结,1.4 条件概率 全概率公式与贝叶斯公式,1. 定义1.8,一、条件概率,2. 性质,例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?,解:,解: 设A=掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出6点,应用定义,例2 设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品，规定一、二等品为合格品从中任取1 件，求 (1) 取得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率,解,设表示取得一等品，表示取得合格品，则,（1）因为100 件产品中有 70 件一等品，所以,（2）方法1：,方法2：,因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以,3. 乘法定理,例2 一盒子装有4 只产品,其中有3 只一等品,1只二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样.设事件A为“第一次取到的是一等品” ,事件B 为“第二次取到的是一等品”,试求条件概 P(B|A).,解,由条件概率的公式得,例3 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为 0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个 20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是 多少?,设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件; B 表 示 “ 能活 25 岁以上”的事件,则有,解,解,一个盒子中有只白球、只黑球，从中不放回地每次任取只，连取次，求 (1) 第一次取得白球的概率； (2) 第一、第二次都取得白球的概率； (3) 第一次取得黑球而第二次取得白球的概率,设表示第一次取得白球, 表示第二次取得白球, 则,（2）,（3）,（1）,例,练一练,甲，乙，丙3人参加面试抽签，每人的试题通过不放回抽签的方式确定。假设被抽的10个试题签中有4个是难题签，按甲先，乙次，丙最后的次序抽签。试求1）甲抽到难题签，2）甲和乙都抽到难题签，3）甲没抽到难题签而乙抽到难题签，4）甲，乙，丙都抽到难题签的概率。,解 设A，B，C分别表示“甲、乙、丙抽到难签”,则,例4 五个阄, 其中两个阄内写着“有” 字, 三个阄内不写字 , 五人依次抓取, 问各人抓到“有”字阄的概率是否相 同?,解,则有,抓阄是否与次序有关?,依此类推,故抓阄与次序无关.,1. 样本空间的划分,二、全概率公式与贝叶斯公式,2. 全概率公式,全概率公式,图示,证明,化整为零 各个击破,说明 全概率公式的主要用途在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.,例1 设播种用麦种中混有一等，二等，三等，四等四个等级的种子，分别各占95.5，2，1.5，1，用一等，二等，三等，四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率,解,设从这批种子中任选一颗是一等，二等，三等，四等种子的事件分别是1，2，3，4，则它们构成完备事件组，又设表示任选一颗种子所结的穗含有50粒以上麦粒这一事件，则由全概率公式：,95.50.520.151.50.110.05,0.4825,例2 有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占 30% , 二厂生产的占 50% , 三厂生产的占 20%, 又知这三个厂的产品次品率分别为2% , 1%, 1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?,设事件 A 为“任取一件为次品”,解,由全概率公式得,30%,20%,50%,2%,1%,1%,称此为贝叶斯公式.,3. 贝叶斯公式,贝叶斯资料,证明,证毕,例1 甲箱中有3个白球，2个黑球，乙箱中有1个白球，3个黑球。现从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙箱任意取出一球。问从乙箱中取出白球的概率是多少？,解,设B=“从乙箱中取出白球”，,A=“从甲箱中取出白球”，,则,从而,例2 已知在所有男子中有5%，在所有女子中有0.25%患有色盲症。随机抽一人发现患色盲症，问其为男子的概率是多少？（设男子和女子的人数相等）。,解,设 A表示抽到的为男子，B表示抽到的是女子。,则,C表示抽到的人有色盲症。,由Bayes公式有,例3,解,(1) 由全概率公式得,(2) 由贝叶斯公式得,例4 设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25 %， 35%， 40%，而且各车间的次品率依次为 5% ，4%， 2%现从待出厂的产品中检查出一个次品，试判断它是由甲车间生产的概率,解,设1 ，2 ，3 分别表示产品由甲、乙、丙车间生产，表示产品为次品 显然，1 ，2 ，3 构成完备事件组依题意，有,(1) 25% , (2)= 35% , (3) 40%, (|1) 5% , (|2)4% , (|3) 2%,(1|),上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的, 叫 做先验概率.,而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97 叫做后验概率.,先验概率与后验概率,解,例5,由贝叶斯公式得所求概率为,即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人 患有癌症.,贝叶斯资料,Thomas Bayes,Born: 1702 in London, England Died: 17 April 1761 in Tunbridge Wells, Kent, England,1.条件概率,全概率公式,贝叶斯公式,三、小结,乘法定理,例1 设袋中有4只白球, 2只红球 , (1) 无放回随机地抽取两次, 每次取一球, 求在两次抽取中至多抽到一个红球的概率? (2) 若无放回的抽取 3次, 每次抽取一球, 求 (a) 第一次是白球的情况下, 第二次与第三次均是白球的概率? (b) 第一次与第二次均是白球的情况下 , 第三次是白球的概率?,备份题,解,则有,例2 掷两颗骰子, 已知两颗骰子点数之和为7, 求其中有一颗为1点的概率.,解,设事件A 为“ 两颗点数之和为 7 ”, 事件 B 为 “ 一颗点数为1 ”.,故所求概率为,掷骰子试验,两颗点数之和为 7 的种数为 3,其中有一颗为 1 点的种数为 1,例3 设一仓库中有10 箱同种规格的产品, 其中 由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱 , 3箱, 2