利用matlab实现H-infinity鲁棒控制.doc

利用Matlab实现H控制Prof. Dr.-Ing.F.AllgwerInstitute for Systems Theory and Automatic Controlhttp:/www.ist.uni-stuttgart.de/education/courses/robust1 引 言H控制器设计原理容易理解，难点在于编程。这里简单介绍Matlab里面几个相关函数的用法，希望能帮助你设计第一个H控制器。Matlab提供了很多H设计函数，与H设计相关的几个重要的工具箱有：Control System Toolbox，mu-Analysis and Synthesis Toolbox(mu-tools)，Robust Control Toolbox（RCT）和LMI Control Toolbox。Matlab7.0之后的版本中，LMI和mu-tools都包含在RCT v3.0.1中，Matlab 7.0之前的版本中这些工具箱是独立的。本文中用到的函数都写在了一个m文件中（见附录），也可以从网站下载。利用混合S/KS问题说明H相关函数的用法。首先回顾这个问题。2 回路成形传递函数混合S/KS问题可用图1来说明。从w到z的闭环传递函数可以表示为广义过程模型P(s)（见图2）可以表示为假设上面几个状态空间变量具有如下的形式：于是可以得到P(s)的一个可能的状态空间实现形式：WS和WKS为调整参数。一种选择方法为：其中A1为允许的最大稳态误差，为期望带宽，M为灵敏度峰值（一般情况下A=0.01，M=2）。从控制器设计的方面来说，的倒数为回路成形期望灵敏度的上限，影响控制器的输出u。有些情况下希望对补灵敏度函数进行回路成形设计（在图1中增加一个输出）。一种选择方法为：此函数与函数成轴对称，见图3所示。图中参数设置为A=0.01（=-40dB），M=2（=6dB），。3 子系统的实现在Matlab中有几种方式得到G，WS和WKS。例如Control System Toolbox提供的ss，tf和zpk等函数。Mu-tools也提供了诸如pck，nd2sys，zp2sys等函数，也可以用mksys和tree等方法。需要注意的是，Mu-tools提供了一种与Control System Toolbox不一样的表达方式：系统矩阵（system matrix）。Control System Toolbox里面可以写成，对mu-tools则不适用。Mu-tools：4 广义系统P的实现广义系统P也有多种产生方式。下面我列举了五种：（1）直接写出传递函数矩阵，见2节。我倾向于利用mu-tools。如果后面需要转化为状态空间模型，需要利用minreal之类的函数得到最小化实现。重要的函数有：sbs（side-by-side），abv（above），mmult（multiply），minv（inverse）。（2）写出状态空间系数矩阵A,B,C,D，然后利用3节中的指令：P=pck（A,B,C,D）。（3）利用sysic函数（system interconnect）。先在一个m文件中利用mu-tools设置了子系统，然后利用该函数将子系统互连起来。（4）利用sconnect函数，这是LMI-tools提供的函数。子系统、输入、输出以参数的形式传递，sconnect返回互连的系统。（5）利用RCT v3.0.1提供的iconnect函数，该函数功能与sysic类似。这些方法中，我倾向于sysic和iconnect函数，因为它们使用灵活，能够搭建方法1和方法2难于搭建的复杂系统。一般情况下，得到均衡实现形式以避免数值计算问题是一个很好的想法，均衡实现形式可以利用Control System Toolbox提供的balreal实现。5 控制器设计设计问题是寻找一控制器K，使之稳定系统G，并使下列的H范数最小：有很多种得到H控制器的方法，例如hinfsyn，hinfric，hinflmi，这些函数将P作为输入，并以系统矩阵（mu-tools）方式表达。RCT v3.0.1提供了mixsyn函数，将作为输入（为补灵敏度函数权重），并不需要事先得到广义系统模型P。这些方法的主要区别在于是否用到Riccati方程和迭代或者线性矩阵不等式来求解最优化问题。LMI方法不需要求解Riccati时设定的假设条件。另外还有些指令：ncfsyn和loopsyn（对开环传递函数L=GK进行H回路成形设计），hinfmix和msfsyn（多目标）。具体请查阅手册。6 结果分析当控制器设计好后，需要对结果进行分析，这时可以利用Control System Toolbox提供的函数，例如利用lsim，step（阶跃响应），bode（伯德图），sigma（奇异值），freqresp（频域响应）等函数对传递函数S，KS，T，K，GK进行分析。Mu-tools提供的函数有：trsp（时域响应），frsp（频域响应），vsvd（奇异值），vplot。7 结论从前面可见，有很多种进行H控制器设计的方法。为了避免混淆，我建议尽可能使用mu-tools和RCT。如果你知道Control System Toolbox存在某个函数，那么mu-tools也很可能存在具有相同功能的函数，只不过名称稍有些不同。如果你清楚自己的目的，但不知道函数的名字，那么建议你浏览帮助手册中的函数索引。希望此处简短的介绍能够帮助你进行H控制器的设计。好运！附录%下面的代码展示了如何在Matlab中进行H-infinity控制器的设计。此处举的例子与混合%S/KS问题有些不同。此处用到的模型和权重函数见Skogestad和Postlethwaite，1996，%ed.1,p.60.权重函数并不是“最优”的。%大部分函数来自mu-tools，一些来自lmi-tools。mu-tools和lmi-tools均包含在RCT %v3.0.1中。%-Jorgen Johnsen 14.12.06%-%建立子系统%-%Plant:G=200/(10s+1)(0.05s+1)2)%方法1：直接方法，利用mu-toolsG=nd2sys(1,conv(10,1,conv(0.05,1,0.05 1),200);%方法2：control system toolboxs=tf(s);Gcst=200/(10*s+1)*(0.05*s+1)2);a,b,c,d=ssdata(balreal(Gcst);G=pck(a,b,c,d);%权重：Ws=(s/M+w0)/(s+w0*A),Wks=1M=1.5;w0=10;A=1.e-4;Ws=nd2sys(1/M w0,1 w0*A);Wks=1;%-%建立广义系统P%-%方法0：直接方法%/z1 /Ws -Ws*G /r%|z2| =|0 Wks | | | % v/ I -G / u/ %传递函数表达方法Z1=sbs(Ws,mmult(-1,Ws,G);Z2=sbs(0,Wks);V=sbs(1,mmult(-1,G);P0=abv(Z1,Z2,V);%通常情况下P0并不是最小实现，所以需要降阶a,b,c,d=unpck(P0);ab,bb,cb,db=ssdata(balreal(minreal(ss(a,b,c,d);P0=pck(ab,bb,cb,db); %此时得到变量为System类型%-%建立广义系统P%-%方法1：直接方法%/z1 /W1 -W1*G /r%|z2| =|0 W2 | | | % v/ I -G / u/ %子系统的ss实现A,B,C,D=unpck(G);A1,B1,C1,D1=unpck(Ws);A2,B2,C2,D2=unpck(Wks);%计算不同子系统的输入、输出变量的个数n1=size(A1,1);q1,p1=size(D1);n2=size(A2,1);q2,p2=size(D2);n=size(A,1);q,p=size(D);%原文此处为p,q=size(D);%全系统的ss实现Ap=A1 zeros(n1,n2) -B1*C; zeros(n2,n1) A2 zeros(n2,n); zeros(n,n1) zeros(n,n2) A;Bp=B1 -B1*D; zeros(n2,p) B2; zeros(n,p) B;Cp=C1 zeros(q1,n2) -D1*C; zeros(q2,n1) C2 zeros(q2,n); zeros(q,n1) zeros(q,n2) -C;Dp=D1 -D1*D; zeros(q2,p) D2; eye(p) -D;%得到均衡实现形式，以减少可能产生的计算问题Apb,Bpb,Cpb,Dpb=ssdata(balreal(ss(Ap,Bp,Cp,Dp);P1=pck(Apb,Bpb,Cpb,Dpb); %P1与P0数值相近，但符号有差别%-%建立广义系统P%-%方法2：利用sysic函数systemnames=G Ws Wks;inputvar=r(1);u(1);%所有输入均为标量，r(2)为两维信号outputvar=Ws;Wks;r-G;input_to_G=u;input_to_Ws=r-G;input_to_Wks=u;sysoutname=P2;cleanupsysic=yes;sysic%-%建立广义系统P%-%方法3：利用sconnect函数inputs=r(1);u(1);outputs=Ws;Wks;e=r-G;K_in=;%无控制器G_in=G:u;Ws_in=Ws:e;Wks_in=Wks:u;P3,r=sconnect(inputs,outputs,K_in,G_in,G,Ws_in,Ws,Wks_in,Wks);%-%建立广义系统P%-%方法4：利用iconnect函数%注意1：不再使用mu-tools System表达形式%注意2：iconnet函数仅适用于Robust Control Toolbox v3.0.1及以上版本r=icsignal(1);u=icsignal(1);ws=icsignal(1);wks=icsignal(1);e=icsignal(1);y=icsignal(1);M=iconnect;M.Input=r;u;M.Output=ws;wks;e;M.Equation1=equate(e,r-y);M.Equation2=equate(y,ss(A,B,C,D)*u);M.Equation3=equate(ws,ss(A1,B1,C1,D1)*e);M.Equation4=equate(wks,ss(A2,B2,C2,D2)*u);ab,bb,cb,db=ssdata(balreal(M.System);P4=pck(ab,bb,cb,db);%-%控制器的设计%-%下面使用的方法均基于广义系统P的System矩阵表达形式%选择你喜欢的控制器设计方法和广义系统P%选择广义系统PP=P1; %P=P0;P=P1;P=P2;P=P3;P=P4;%然后设置一些参数（测量变量个数，输入变量个数，gamma限制）nmeas=1;nu=1;gmn=0.5;gmx=20;tol=0.001;%控制器设计：选择你喜欢的设计方法，不需要的注释掉K,CL,gopt=hinfsyn(P,nmeas,nu,gmn,gmx,tol);gopt,K=hinflmi(P,nmeas,nu,0,tol); CL=starp(P,K,nmeas,nu);gopt,K=hinfric(P,nmeas,nu,gmn,gmx);CL=starp(P,K,nmeas,nu);%利用RCT v3.0.1进行控制器的设计%通常不需要系统的传递函数表达式，但更需要ss类型a,b,c,d=unpck(G); Gcst=ss(a,b,c,d);a,b,c,d=unpck(Ws); Wscst=ss(a,b,c,d);a,b,c,d=unpck(Wks); Wkscst=ss(a,b,c,d);K,CL,gopt=mixsyn(Gcst,Wscst,Wkscst,);a,b,c,d=ssdata(balreal(K); K=pck(a,b,c,d);a,b,c,d=ssdata(balreal(CL); CL=pck(a,b,c,d);%-%分析结果%-%注意：此处使用mu-tools函数。也可以使用control toolbox指令，例如用series和%feedback进行子系统连接，sigma或freqresp，svd和bode画奇异值，step和lsim分析%时域响应%画(Weighted)闭环系统的奇异值w=logspace(-4,6,50);CLw=vsvd(frsp(CL,w);figure(1)vplot(liv,m,CLw)title(singular values of weighted closed loop system)%得到传递函数矩阵type,out,in,n=minfo(G);I=eye(out);S=minv(madd(I,mmult(G,K); %灵敏度函数T=msub(I,S); %补灵敏度函数KS=mmult(K,S); %G的输入GK=mmult(G,K); %回路传递函数%频域的奇异值Sw=vsvd(frsp(S,w);Tw=vsvd(frsp(T,w);Kw=vsvd(frsp(K,w);KSw=vsvd(frsp(KS,w);GKw=vsvd(frsp(GK,w);%画奇异值%注意：如果愿意的话，可以将vplot用plot代替，单位是dB。figure(2)vplot(liv,lm,Sw,-,Tw,-,GKw,-.);title(sigma(S(jw)(solid),sigma(T(jw)(dashed) and sigma(GK(jw)(dashdot),)xlabel(Frequency rad/sec);ylabel(Amplitude)figure(3)vplot(li