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信息理论总复习 信息学院电子工程系 王琳,单符号离散信源 自信息量 用概率测度定义信息量 设离散信源 X，其概率空间为 如果知道事件 xi 已发生，则该事件所含有的自信息定义为 当事件 xi 发生以前：表示事件 xi 发生的不确定性。 当事件 xi 发生以后：表示事件 xi 所含有（或所提供）的信息量,第一部分 信源熵,平均信息量信源熵：自信息的数学期望。也称为信源的信息熵/信源熵/香农熵/无条件熵/熵函数/熵。 信息熵的意义：信源的信息熵 H 是从整个信源的统计特性来考虑的。它是从平均意义上来表征信源的总体特性的。对于某特定的信源，其信息熵只有一个。不同的信源因统计特性不同，其熵也不同。 信源熵的三种物理含义 信源熵 H(X) 是表示信源输出后每个消息/符号所提供的平均信息量； 信源熵 H(X) 是表示信源输出前，信源的平均不确定性； 用信源熵 H(X) 来表征变量 X 的随机性。,最大离散熵定理 (极值性) ：离散无记忆信源输出 n 个不同的信息符号，当且仅当各个符号出现概率相等时 (即p(xi)=1/n)，熵最大。 Hp(x1),p(x2),p(xn) H(1/n,1/n,1/n)=log2n 出现任何符号的可能性相等时，不确定性最大。,二进制信源的熵函数 H(p) 为,离散无记忆信源的扩展 离散无记忆信源 X 的 N 次扩展信源的熵等于离散信源X 的熵的 N 倍，即 H(X)=H(XN)=NH(X) 离散平稳信源：各维联合概率均与时间起点无关的完全平稳信源称为离散平稳信源。二维离散平稳信源的熵为,离散序列信源,平均符号熵：信源平均每发一个符号提供的信息量为 离散平稳有记忆信源的极限熵：当 N 时，平均符号熵取极限值称之为极限熵或极限信息量。用 H表示，即 极限熵的存在性：当离散有记忆信源是平稳信源时，极限熵等于关联长度 N时，条件熵H(XN/X1X2XN-1)的极限值，即 极限熵的含义：代表了一般离散平稳有记忆信源平均每发一个符号提供的信息量。,马尔科夫信源 定义 状态转换图(香农线图) 状态极限概率 平稳、齐次马尔科夫信源熵 信源熵的相对率 ：= H/H0 信源冗余度： =1=(H0H)/H0 信源的冗余度表示信源可压缩的程度。,连续信源的差熵为 上式定义的熵在形式上和离散信源相似，也满足离散熵的主要特性，如可加性，但在概念上与离散熵有差异因为它失去了离散熵的部分含义和性质。 具有最大熵的连续信源,连续信源熵有关问题说明 连续信源熵并不是实际信源输出的绝对熵； 连续信源的绝对熵还有一项正的无限大量，虽然 log2(ba) 小于0，但两项相加还是正值，且一般还是一个无限大量。因为连续信源的可能取值数有无限多，若假定等概率，确知其输出值后所得信息量也将为无限大； Hc(X) 已不能代表信源的平均不确定度，也不能代表连续信源输出的信息量。 连续信源熵的意义 这种定义可以与离散信源在形式上统一起来； 在实际问题中常常讨论的是熵之间的差值问题，如信息变差、平均互信息等。在讨论熵差时，两个无限大量互相抵消。所以熵差具有信息的特征； 连续信源的熵 Hc(X) 具有相对性，因此 Hc(X) 也称为相对熵。,信道疑义度H(X/Y)：表示信宿在收到 Y 后，信源 X 仍然存在的不确定度。是通过有噪信道传输后引起的信息量的损失，故也可称为损失熵。 噪声熵H(Y/X)：表示在已知 X 的条件下，对于符号集 Y 尚存在的不确定性（疑义），这完全是由于信道中噪声引起的。 联合熵 H(XY)：表示输入随机变量 X，经信道传输到达信宿，输出随机变量 Y。即收、发双方通信后，整个系统仍然存在的不确定度。,第二部分 信道,平均互信息量定义：互信息量 I(xi;yj) 在联合概率空间 P(XY) 中的统计平均值。 从一个事件获得另一个事件的平均互信息需要消除不确定度，一旦消除了不确定度，就获得了信息。,站在输出端：I(X;Y)收到 Y 前、后关于 X 的不确定度减少的量。从 Y 获得的关于 X 的平均信息量。 站在输入端：I(Y;X) 发出 X 前、后关于 Y 的先验不确定度减少的量。 站在总体：I(X;Y) 通信前、后整个系统不确定度减少量。,BSC信道的平均互信息量 设二进制对称信道的输入概率空间为 转移概率如图2.1.8所示。,平均互信息量 当 q 不变 (固定信道特性) 时，可得 I(X;Y) 随输入概率分布 p 变化的曲线，如图2.1.9所示；二进制对称信道特性固定后，输入呈等概率分布时，平均而言在接收端可获得最大信息量。,当固定信源特性 p 时，I(X;Y) 就是信道特性 q 的函数，如图2.1.10所示；当二进制对称信道特性 q=/q=1/2时，信道输出端获得信息量最小，即等于0。说明信源的全部信息信息都损失在信道中了。这是一种最差的信道。,求信道容量的方法 当信道特性 p(yj /xi) 固定后，I(X;Y) 随信源概率分布 p(xi) 的变化而变化。 调整 p(xi)，在接收端就能获得不同的信息量。由平均互信息的性质已知，I(X;Y) 是 p(xi) 的上凸函数，因此总能找到一种概率分布 p(xi)（即某一种信源），使信道所能传送的信息率为最大。 C 和 Ct 都是求平均互信息 I(X;Y) 的条件极大值问题，当输入信源概率分布 p(xi) 调整好以后， C 和 Ct 已与 p(xi) 无关，而仅仅是信道转移概率的函数，只与信道统计特性有关； 信道容量是完全描述信道特性的参量； 信道容量是信道能够传送的最大信息量。,信道容量,香农公式说明 当信道容量一定时，增大信道带宽，可以降低对信噪功率比的要求；反之，当信道频带较窄时，可以通过提高信噪功率比来补偿。 当信道频带无限时，其信道容量与信号功率成正比。,允许平均失真度：率失真函数中的自变量 D，也就是人们规定的平均失真度 的上限值。 率失真函数的定义域问题就是在信源和失真函数已知的情况下，讨论允许平均失真度 D 的最小和最大值问题。 D 的选取必须根据固定信源 X 的统计特性 P(X) 和选定的失真函数 d(xi , yj)，在平均失真度 的可能取值范围内。,第三部分 信息率失真函数,常用的失真函数 称为汉明失真矩阵。,单符号信源和单符号信道的信息率失真函数 在信源和失真度给定以后，PD 是满足保真度准则 的试验信道集合，平均互信息 I(X;Y) 是信道传递概率 p(yj /xi) 的下凸函数，所以在 PD 中一定可以找到某个试验信道，使 I(X;Y)达到最小，即 这个最小值 R(D) 称为信息率失真函数，简称率失真函数。 在信源给定以后，总希望在允许一定失真的情况下，传送信源所必须的信息率越小越好。从接收端来看，就是在满足保真度准则 的条件下，寻找再现信源消息必须的最低平均信息量，即平均互信息的最小值。,对偶问题：信道容量和信息率失真函数的问题，都是求平均互信息极值问题。 分三个方面说明： 求极值问题 特 性 解决的问题,研究信道编码和率失真函数的意义 研究信道容量的意义：在实际应用中，研究信道容量是为了解决在已知信道中传送最大信息率问题。目的是充分利用已给信道，使传输的信息量最大而发生错误的概率任意小，以提高通信的可靠性。这就是信道编码问题。 研究信息率失真函数的意义：研究信息率失真函数是为了解决在已知信源和允许失真度D 的条件下，使信源必须传送给信宿的信息率最小。即用尽可能少的码符号尽快地传送尽可能多的信源消息，以提高通信的有效性。这是信源编码问题。,限失真信源编码定理（香农第三定理） ：设一离散平稳无记忆信源的输出随机变量序列为 X=(X1,X2,XL)，若该信源的信息率失真函数是 R(D)，并选定有限的失真函数。对于任意允许平均失真度 D0，和任意小的0，当信息率 RR(D) ，只要信源序列长度 L 足够长，一定存在一种编码方式 C，使译码后的平均失真度 ；反之，若 RR(D)，则无论用什么编码方式，必有 ，即译码平均失真必大于允许失真。 信息率失真函数也是一个界限。只要信息率大于这个界限，译码失真就可限制在给定的范围内。即通信的过程中虽然有失真，但仍能满足要求，否则就不能满足要求。,信源编码定理（香农第一定理） 等长信源编码 变长信源编码的方法 霍夫曼编码 香农编码 费诺编码 游程编码 算术编码 平均码长与编码效率,第四部分 信源编码,当 则得：,最佳译码准则 最大似然译码准则 最小距离译码准则 有噪信道编码定理（香农第二定理）,第五部分 信道编码,线性分组码： 一致校验/监督矩阵H 生成矩阵G 伴随式S 汉明纠错码 循环码,信道编码定理：若有一离散无记忆