工程测试-第一章信号及其描述.ppt

例 求图示单边指数函数的频谱。 解：由式有 于是,图 单边指数函数 e-at (a0),图 单边指数函数e-at (a0)的频谱,小结： 一个非周期函数可分解成频率f连续变化的谐波的叠加。式中X(f)df的是谐波ej2f的系数，决定着信号的振幅和相位。 X(f)或X()为x(t)的连续频谱。 由于X(f)一般为实变量f的复函数，故可将其写为 将上式中的 (或 ，当变量为时）称非周期信号x(t)的幅值谱， (f)（或()）称x(t)的相位谱。,周期和非周期信号幅值谱的区别,|X ()|为连续频谱，而|Cn|为离散频谱； |Cn|的量纲和信号幅值的量纲一致，即cm(振幅)，而|X ()|的量纲相当于|Cn|/，为单位频宽上的幅值，即“频谱密度函数”，cm/Hz（振幅/频率）。,非周期信号幅值谱|X ()|与周期信号幅值谱|Cn|之间的区别：,一、傅里叶变换的性质,对称性（亦称对偶性） 尺度变换性 时移性 频移性 卷积,1.对称性,若:(时域信号) x(t) X() (频域信号)，则,X (t) x (-),2.尺度特性,若x(t) X()，则,x(kt) 1/|k|X(/k),信号持续时间压缩k倍(k1)，则信号的频宽扩宽k倍，而幅值变为原来的1/k。,k=1,k=3,3. 时移性 如果有 则 例 求图所示矩形脉冲函数的频谱 。 解：该函数的表达式可写为 可视为一个中心位于坐标原点的矩形脉冲时移至t0点位置所形成。则 幅频谱和相频谱分别为,图 具有时移t0的矩形脉冲,如果信号在时域中延迟了时间t0，其频谱幅值不会改变，而相频谱中各次谐波的相移-2 t0，与频率成正比。,4. 频移性 如果有 则 f0 常数。,图 x(t)cosf0t的频谱,5.卷积特性,对于任意两个函数x1(t)和x2(t)，定义它们的卷积为：,若x1(t) X1()，x2(t) X2()， 则,1.两个函数在时域中的卷积，对应于频域中的乘积 2.两个函数在时域中的乘积，对应于频域中的卷积,x1(t)* x2(t) X1()X2() x1(t) x2(t) X1()*X2(),时域卷积,频域卷积,证明一（时域卷积）根据卷积积分的定义有 其傅里叶变换为 由时移性知， 代入上式得,证明二： 令,卷积积分是一种数学方法，在信号与系统的理论研究中占有重要的地位。特别是关于信号的时间域与变换域分析，它是沟通时域频域的一个桥梁。,卷积的物理意义,对于线性系统而言，系统的输出y(t)是任意输入x(t)与系统脉冲响应函数h(t)的卷积。,二、典型信号的傅里叶变换,只有满足狄里赫利条件的信号才具有傅里叶变换，即 。 有限平均功率信号，它们在(-, )区域上的能量可能趋近于无穷，但它们的功率是有限的，即满足 利用函数和某些高阶奇异函数的傅立叶变换来实现这些函数的傅立叶变换。,1.单位脉冲函数,在时间内激发有一矩形脉冲p (t)，的幅值为，面积为1。当0时，该矩形脉冲p (t)的极限便称为单位脉冲(impulse)函数或函数。 性质： （1） （2）,图 矩形脉冲函数与函数,(t)乘积性和积分性,乘积性,积分性,(t)与其它信号的卷积,结果：x(t)与(t)的卷积等于x(t)。,函数的卷积特性1,结果：(tt0)时卷积，就是将函数x(t)在发生脉冲函数的坐标位置上重新作图,当脉冲函数为(tt0)时，与函数x(t)的卷积,函数的卷积特性2,(t)的频谱,由逆变换：,(t) 1,即：,1(),函数的频谱,直流分量的频谱,由对称性得：,根据时移和频移特性 ：,1e-j2to,(-0),(t-t0) ej20t,sin2ot=j/2(e-j2ot- ej2ot) cos2ot=1/2(e-j2ot+ ej2ot),sin2ot j/2(+0)-(-0) cos2ot 1/2(+0)+(-0),根据 ej20t(-0),正弦函数的频谱,2 正、余弦函数的频谱,3 周期单位脉冲序列的频谱,相等间隔的周期单位脉冲序列，常称为梳状函数,式中，Ts周期，n整数， n=0,1, 2, 3,。,为周期函数，而s=1/Ts， 用傅里叶级数的复指数形式表示：,comb(t),时域中，序列的周期为Ts，频域中，序列的周期为1/Ts。 时域中，幅值为1 频域中，幅值为1/Ts,进行傅里叶变换：,ej20t(-0),s=1/Ts，,comb(f),comb(t),时域表达式,例:求被截取的余弦信号的频谱函数,4、单位阶跃信号及其谱分析 （1）、定义 阶跃信号u（t）可表示 阶跃信号在跳变点t=0处，函数值未定义，或在t=0处规定 。 幅值1的阶跃信号称为单位阶跃信号，表示为,1,0,单位阶跃信号,u(t),t,（2）、频谱分析 由于单位阶跃信号不满足绝对可积条件，不能直接由定义给出其频谱，可把它看成当 时的指数信号 在时域上的极限，其频谱为 的频谱在 时的极限。 单边指数信号在时域上可表示为,其傅里叶变换为： 其幅度谱、相位谱分别为 单边指数信号与频谱,x（t）,t,0,0,0,将单边指数信号的频谱分解为实频与虚频两部分 设当 ，实频 和虚频 的极限分别为 和 ，有,由以上三式可知， 为一种脉冲函数，且 并有,阶跃信号的频谱为 由于阶跃信号中含有直流分量，所以阶跃信号的频谱在 处存在脉冲，而且它在t=0处有跳变，从而频谱中还有高频分量。,三、 频谱分析的应用,频谱分析主要用于识别信号中的周期分量，是信号分析中最常用的一种手段。,案例：在齿轮箱故障诊断 通过齿轮箱振动信号频谱分析，确定各频率分量，然后根据机床转速和传动链，找出故障齿轮。,案例：螺旋浆设计 可以