推理与证明复数框图介绍.doc

“推理与证明、复数、框图”简介人民教育出版社 宋莉莉推理与证明 “推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式推理一般指合情推理和演绎推理，证明通常包括数学中的演绎证明和实验、实践的证明“标准”将“推理与证明”专设一章，这在我国高中数学课程中还是首次通过本章的教学，不仅可以帮助学生进一步把握以前学过的证明方法，也可以让他们了解猜测的一般方法在本套教科书中，“推理与证明”分别是选修1-2和选修2-2中的一章，二者在内容和要求上基本相似，但不尽相同相似之处是都将通过生活实例和数学实例，介绍合情推理和演绎推理的涵义，以及如何利用合情推理去猜测和发现一些新结论，探索和提供解决一些问题的思路和方向，利用演绎推理去进行一些简单的推理，证明一些数学结论，等等本章还将介绍证明的两类基本方法直接证明和间接证明，通过数学实例说明它们的思考过程和特点等不同之处是选修2-2设置的例题、练习和习题的难度要求较高，而且在选修2-2中，学生还将了解数学归纳法的原理和简单应用一、内容与要求1. 合情推理与演绎推理 结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用 结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理 通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异2. 直接证明与间接证明 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点3. 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题（仅对理科学生）4. 通过对实例的介绍（如欧几里得几何原本、马克思资本论、杰弗逊独立宣言、牛顿三定律），体会公理化思想二、内容安排及说明1. 在选修1-2中，全章共有2个小节，教学时间约需10课时，具体内容和课时分配如下（仅供参考）：1.1 合情推理与演绎推理 约5课时1.2 直接证明与间接证明 约4课时小结 约1课时在选修2-2中，全章共有3个小节，教学时间约需8课时，具体内容和课时分配如下（仅供参考）：1.1 合情推理与演绎推理 约3课时1.2 直接证明与间接证明 约3课时1.3 数学归纳法 约2课时小结 推 理合情推理演绎推理归纳类比2知识结构框图证明直接证明间接证明 综合法分析法反证法数学归纳法（理科） 3对内容安排的说明 本章将介绍推理中的合情推理和演绎推理数学发现的过程往往包含合情推理的成分，在人类发明、创造活动中，合情推理也扮演了重要角色因此，分析合情推理的过程，对于了解数学发现或其他发现的过程是非常重要的合情推理常用的思维方法是归纳和类比归纳是由部分到整体、特殊到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理与合情推理一样，演绎推理也是学生在学习和生活中经常使用的一种推理形式特别地，数学证明主要通过演绎推理来进行演绎推理的一般模式是“三段论” 数学内部规律的正确性必须通过逻辑推理的方式证明，这正是数学区别于其他学科的显著特点本章学习两类基本的数学证明方法：直接证明与间接证明这部分的内容实际上是对学生已学过的基本证明方法的总结，因此学生并不陌生本章介绍了直接证明的两种基本方法：综合法和分析法，间接证明的一种基本方法：反证法 数学归纳法是理科学生学习的内容，它也是一种直接证明的方法与以往教科书不同的是，本章设置了相应的内容以帮助学生了解数学归纳法的原理 三、编写时考虑的几个问题1.以变分散为集中，变隐性为显性的方式讲推理和证明总体说来，本章的内容属于数学思维方法的范畴教科书的编写意图是把过去渗透在具体数学内容中的推理和证明的思维方法，以集中的、显性的形式呈现出来，使学生更加明确这些方法，并能在今后的学习中有意识地使用它们因此教科书尽量结合学生已学过的数学实例和生活实例，从中挖掘、提炼出推理和证明的含义，给出了一般性的定义，并画出流程图描绘推理和证明的过程，同时纠正可能犯的典型错误，为学生正确运用推理和证明解决问题做出示范2紧密结合已学过的数学实例，避免空泛地讲数学思想方法这样的编写意图贯穿本章内容始终，具体体现在以下几个方面： 以具体的例子为载体，讲推理的含义、方法，纠正典型错误等例如，教科书以数学史上著名的哥德巴赫猜想为背景引入归纳推理哥德巴赫猜想的提出过程是一个典型的运用归纳推理的过程，教科书详细分析了猜想的提出过程，同时分析了其中的思维方法（即通过对有限的资料进行观察、分析、归纳整理，提出带有规律性的结论（猜想），并从中提炼出了归纳推理的含义又如，为了说明运用类比推理发现数学结论的一般步骤，教科书设置了类比平面内直角三角形的勾股定理，猜想空间中四面体性质的例题为了让学生充分感受和体验这一类比过程，教科书对推理的过程进行了详细的、有条理的分析首先，分析勾股定理和直角三角形的特征及其之间的关系，以明确直角三角形和3个面两两垂直的四面体的相似特征，并画出表格将其列举出来；然后，类比勾股定理的结构，猜想对3个面两两垂直的四面体成立的等式S2S2 1S2 2S2 32 回忆遇到过的证明过程，挖掘出证明方法的一般定义和特点例如，教科书先回顾了数学5中证明基本不等式的过程，然后总结了这类证明方法的特点，即从要证的结论出发，反推回去，寻求保证结论成立的条件，直到找到一个明显成立的条件为止，在此基础上，给出了分析法的定义和描述分析法证明过程的框图 例题是以前所学的内容，通过挖掘、提炼、明确其中的推理方法或证明方法，详细分析推理的思路，体验证明方法的思考过程和特点例如，“证明函数 f(x)=x22x 在(，1上是增函数”是学生熟悉的证明问题，教科书的编写意图是挖掘其中所包含的推理思路，使学生明确演绎推理的基本过程，突出演绎推理中的“大前提”“小前提”和“结论”应当说，许多学生能写证明过程但不一定非常清楚证明的逻辑规则，因此他们在表述证明过程时，往往显得随心所欲、杂乱无章教科书试图通过这样的例题使这种状况得到改善3. 通过剖析生活实例中蕴涵的思维过程揭示数学思想方法推理与证明是人们在现实生活中必不可少的思维活动，因此除了数学实例外，教科书也列举了人们在生活中的某些思维过程并加以剖析，来帮助学生的理解例如，数学归纳法的原理对于学生来说较为抽象，教科书就从“多米诺骨牌”讲起，借助这个游戏的设计理念揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系四、对教学的几个建议1. 推理教学的重点在于通过具体实例理解合情推理和演绎推理，而不追求对概念的抽象表述2. 证明的教学应引导学生认识各种证明方法的特点，体会证明的必要性，对证明的技巧性不宜作过高的要求3. 讲清楚数学归纳法的原理，但只需用数学归纳法证明一些简单的数学命题4. 注意文理差异数系的扩充与复数的引入数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，同时体现了数学发生、发展的客观需求，复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充在本章中，学生将在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用一、内容与要求1. 在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系 2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件3. 了解复数的代数表示法及其几何意义4. 能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义二、内容安排及说明1. 本章教学时间约需4课时，具体分配如下（仅供参考）：3.1 数系的扩充和复数的概念 约2课时3.2 复数代数形式的四则运算 约2课时小 结 2知识结构框图数系扩充引入复数复数的概念复数代数形式的四则运算3对内容安排的说明与以往教科书不同的是，本章在引入复数之前，首先在具体问题情境（即方程x210在实数集中无解，如何通过数系的扩充使该方程有解）中，展现了实数系的扩充过程，然后引入了复数的相关概念，并类比实数的几何意义说明了复数的几何意义 本章还研究了复数系中的运算问题，分别规定了加减乘除运算的运算法则，考察了加法和乘法的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律对复数代数形式的加减运算，讨论了其几何意义；对复数代数形式的除法运算，说明了一般的运算过程三、编写时考虑的几个问题1. 充分展现了从实数系到复数系的扩充过程复数系是在实数系的基础上扩充而得到的，数系扩充过程体现了实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）对数学发展的推动作用，同时也体现了人类理性思维的作用为了自然、充分地展现这个过程，教科书以一个具体问题“方程x210在实数集中无解联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗”引发学生的思考，同时将方程求根与数系的扩充联系起来，然后在回顾了从自然数系到实数系的扩充过程之后，类比这个过程完成了从实数系到复数系的扩充过程2. 从多元联系的角度认识复数考虑到学生初学复数，对这个新的数系会感到不习惯，教科书设置了“探究”“思考”栏目，引导学生将复数系与实数系联系起来，将复数的几何意义与实数的几何意义做类比，将复数及其代数形式的加减运算与平面向量及其加减运算联系起来，从而加深学生对复数系的认识四、对教学的几个建议1.加强复数引入过程的教学，体现实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用2.加强复数与实数、有理数、平面向量及其加减运算、多项式及其加减运算之间的联系3.削减传统内容（复数的三角形式、乘法的几何意义），避免繁琐的计算与技巧的训练 框图框图是表示一个系统各部分和各环节之间关系的图示，它的作用在于能够清晰地表达比较复杂的系统各部分之间的关系框图已经广泛应用于算法、计算机程序设计、工序流程的表述、设计方案的比较等方面，也是表示数学计算与证明过程中主要逻辑步骤的工具，并将成为日常生活和各门学科中进行交流的一种常用表达方式本章的教学目标可以分为两个方面一方面在知识内容上，让学生理解流程图和结构图的特征，掌握框图的用法；另一方面在思想方法上，帮助学生体验用框图表示数学问题解决过程以及事物发生、发展过程的优越性，提高抽象概括能力和逻辑思维能力，以及清晰地表达和交流的能力一、内容与要求1. 通过具体实例，进一步认识程序框图，了解工序流程图2. 能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用3. 通过实例，了解结构图；运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息4. 结合作出的结构图与他人进行交流，体会结构图在揭示事物联系中的作用二、内容安排及说明1. 本章教学时间约需6课时，具体分配如下（仅供参考）：4.1 流程图 约3课时4.2 结构图 约2课时小 结 约1课时2知识结构框图框图流程图结构图流程图程序框图其他流程图生活中的流程图数学中的流程图画流程图读流程图描述数学计算或证明过程计算或证明过程流程图的一般形式、特征和作用一般形式、特征和作用结构图知识结构图组织结构图其他结构图读知识结构图画知识结构图整理资料3对内容安排的说明 本章介绍的框图包括两类流程图和结构图流程图是一种动态图示，通常用来描述一种过程性的活动数学3（必修）“算法初步”一章介绍的程序框图就是流程图的一种教科书在回顾和进一步认识程序框图，以及介绍生活中其他形式的流程图（如图书借阅流程图、诊病流程图）的基础上，描述了流程图的一般形式、特征和作用；然后结合生活、生产中的具体例子，说明了画流程图和读流程图的一般方法；最后，教科书说明了流程图在表示数学计算或证明过程中的主要思路与步骤中的应用 结构图是一种静态图示，通常用来描述一个系统各部分和各环节之间的关系例如，本套教科书各章之后的知识结构图就是结构图的一种教科书首先通过对知识结构图的回顾和进一步认识，说明了结构图的一般形式，以及读知识结构图和画知识结构图的一般方法和需要注意的问题（即在梳理知识内容的基础上，正确描述要素间的“从属关系”和“逻辑先后关系”）；接着通过具体实例介绍了组织结构图的