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利用均值不等式求值域的的三项提示社旗县第二高级中学 张金晔均值不等式对广大同学并不陌生如果a、bR+，那么 ，当且仅当ab时等号成立。如果a、b、cR+，那么 ，当且仅当abc时等号成立。均值不等式应用较广，但要求满足一定的条件：求值域时需一正、二定、三相等的三个条件，当条件不具备时，需要进行适当的转化，使之符合条件，再来运用。一、不具备“正值”条件时，需将其转化为正值例1;求函数 的值域分析：因x、 不一定是正值，故需先将其转化为正值。解法1：当x0时， ,当且仅当x1时等号成立。当x0， 当且仅当x1时等号成立。值域为 或解法2：x, 同号值域为y y2或y2。二、不具备“定值”条件时，需构造定值，拆项要平均，否则等号不成立，不能应用均值不等式。例2：若x0，求函数 的值域。分析：因x2与 的积不是定值，故先构造成定值，然后运用均值不等式。当且仅当 ，即x38,x2时，等号成立值域为y y12例3：若0x1，求函数yx(1x)2的值域分析：由题意可知，x,1x均为正数，但因为x,1x,1x的和不是定值，故需先将x(1x)变形，构造定值。当且仅当2x1x，即 时等号成立值域为y y 三、不符合“相等”条件时，需要进行适当变形或利用函数单调性求最值例4：若0x ，求函数yx2 (13x)的值域分析:当且仅当 ，即 时等号成立值域为例5：若2x3，求函数 的值域分析：若直接利用均值不等式，则有 ， 当x=1时等号成立 ，但 所以等号不成立。正确解法为： 2x3令 0在2，3
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