古典概型与几何概型.doc

第三讲：古典概型与几何概型课程目标1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性2掌握古典概型及其概率计算公式3了解几何概型的意义及概率的计算方法，能计算简单的几何概型的概率课程重点理解、区分古典概型，几何概型的概念课程难点掌握古典概型，几何概型的概率公式教学方法建议首先学习古典概型的基本概念、性质以及相关概念的区分；再通过经典考题知识点细致梳理，对古典概型和几何概型以及变形等高考题型和方法精讲精练，对不同层次学生可以分层教学，一对一可以就学生的层次有针对性的选择例题讲解。层次较好的学员可以全部讲解。选材程度及数量课堂精讲例题搭配课堂训练题课后作业A类（ 3 ）道（ 4 ）道（ 4 ）道B类（ 2 ）道（ 2 ）道（ 2 ）道C类（ 2 ）道（ 1 ）道（ 2 ）道一：考纲解读、有的放矢能用古典概型与几何概型公式；掌握古典概型与几何概型公式的性质及计算的问题；会解古典概型与几何概型公式有关的简单问题。高考中用选择填空题或是解答题考察古典概型与几何概型公式相关的知识以及变形，难度不大，解答题中一般穿插在排列组合中考察，有时也会与其他知识交汇考察，难度低、中、高都有出现，但是以低、中档题为主。二:核心梳理、茅塞顿开1. 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件）称为一个基本事件特别提醒：基本事件有如下两个特点：任何两个基本事件都是互斥的；任何事件都可以表示成基本事件的和。2所有基本事件的全体，叫做样本空间，用表示，例如“抛一枚硬币”为一次实验，则=正面，反面。3.等可能性事件(古典概型)：如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是，这种事件叫等可能性事件特别提醒：古典概型的两个共同特点：有限性，即试中有可能出现的基本事件只有有限个，即样本空间中的元素个数是有限的；等可能性，即每个基本事件出现的可能性相等。4古典概型的概率公式：如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A包含m个结果，那么事件A的概率5几何概型：如果第个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。特别提醒：几何概型的特点：试验的结果是无限不可数的；每个结果出现的可能性相等。6几何概型的概率公式：三：例题诠释，举一反三知识点1: 基础概率的计算问题例题1（2010全国2卷理数A）在20瓶饮料中，有2瓶过了保质期，从中任取1瓶，恰好为过期饮料的概率为（ B ）A B C D 变式：(2010凌海高一检测A)一个罐子里有6只红球，5只绿球，8只蓝球和3只黄球。从中取出一只球，则取出红球的概率为 （ C ）A B C D 知识点2：等可能事件的概率计算例题2、（2009南昌高一检测 C）某人有5把钥匙，但忘记了开房门的是哪一把，于是，他逐把不重复地试开，问：(1)恰好第三次打开房门所的概率是多少？(2)三次内打开的概率是多少？(3)如果5把内有2把房门钥匙，那么三次内打开的概率是多少？解析：5把钥匙，逐把试开有种结果，由于该人忘记了开房间的是哪一把，因此这些结果是等可能的。(1)第三次打开房门的结果有种，故第三次打开房门锁的概率P(A)= (2)三次内打开房门的结果有3种，因此所求概率P(A)= (3)方法1 因5把内有2把房门钥匙，故三次内打不开的结果有种，从而三次内打开的结果有-种，从而三次内打开的结果有-种，所求概率P(A)= .方法2 三次内打开的结果包括：三次内恰有一次打开的结果种；三次内恰有两次打开的结果种.因此，三次内打开的结果有（）种，所求概率P(A)= 变式：（2010吉林高一检测 B）有10件产品，其中有2件次品，每次抽取1件检验，抽检后不放回，共抽2次。求下列事件的概率。（1）两次抽到的都是正品；（2）抽到的恰有一件为次品；（3）第1次抽到正品，第2次抽到次品。解析：记=从10件产品中任抽2件则n=card()=（1）记A=从10件产品中抽2件，都是正品，则m=card(A)=（2）记B=从10件产品中抽2件，一件为正品，一件为次品，则m=card(B)=（3）初看本题与题（2）是相同的，其实不然，题（2）包含于两种可能，“第一次正品、第二次次品”或“第一次次品，第二次正品”，而目前求的是其中之一“第一次正品，第二次次品”的概率。由于事件B中包含“第一次正品，第2次次品”和“第一次次品第2次正品”两种等可能的情况，所求事件的概率。知识点3：中档题的常见载体模型例题3（2010辽宁高考理科B）两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ）（A） (B) (C) (D) 解析：选B. 所求概率为变式：（2010江苏高考A）盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，则它们颜色不同的概率是_ _ _解析：从盒子中随机地摸出两只球，共有种情况，而摸两只球颜色不同的种数为种情况，故所求的概率为答案：知识点4：几何概型（一维情形）例题4 （2010湖南高考文科A）在区间-1,2上随即取一个数x，则x0,1的概率为 解析：-1，2的长度为3，0,1的长度为1，所以概率是.变式：（2010天津高一检测A）在区间（10，20内的所有实数中，随机抽取一个实数，则这个实数的概率为（ ）A. B. C. D.解析：选B. P知识点5：几何概型（二维情形）例题5（2010吉林高一检测C）已知矩形在矩形内事件A “”的概率P(A) 为：（ ） A. B. C. D. 解析： 选B。如图所示，事件A =“”=“点落在阴影部分”，P(A)= . ABCD变式：（2010三明高一检测A）下图的矩形，长为2米，宽为1米. 在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗， 据此可以估计出图中阴影部分的面积为（ ） A B平方米 C平方米 D平方米解析：选B。知识点6：几何概型（综合题型）例题6（2010佛山高一检测B）已知实数，则方程有实根的概率为 ( )A B C D解析：选A。方程可化为，由方程有实根得，即。由图知概率为。变式：(2010白城高一检测C)若点，在中按均匀分布出现. （）点横、纵坐标分别由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，则点落在上述区域的概率？（）试求方程有两个实数根的概率.解析：（）点横、纵坐标分别由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，则点落在上述区域有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）九点，所以点落在上述区域的概率P1=;（）如图所示 方程有两个实数根 得， 即方程有两个实数根的概率. P2=变式2：(2010喀左高一检测B) 设有关于x的一元二次方程x-2ax+b=0.（1）若a是从0、1、2、3四个数中任取的一个数，b是从0、1、2三个数中任取的一个数，求上述方程没有实根的概率。（2）若a是从区间0,3内任取的一个数，b=2，求上述方程没有实根的概率。解析：（1）设事件A为“方程无实根”当时，方程无实根的充要条件为=4=4（） 0, 即基本事件共12个：（0，0）（0，1），（0，2），（1，0）（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）。其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值。 事件A包含3个基本事件（0，1），（0，2）（1，2）， 事件A发生的概率为P（A）=。 （2）试验的所有基本事件所构成的区域为：， 其中构成事件B的区域为 所以所求概率为P（B）=。 四：方向预测、胜利在望1.（A级）如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是（ ）A B C D2.（A级）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X、Y，则的概率为（）ABCD3.（A级）在长为18cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为 （）ABCD4.（B级）取一个正方形及其它的外接圆，随机向圆内抛一粒豆子，则豆子落入正方形外的概率为 （）ABCD5.（A级）甲、乙、丙三人随意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为（）ABCD6.（B级）已知椭圆(ab0)及内部面积为S=ab，A1，A2是长轴的两个顶点，B1，B2是短轴的两个顶点，点P是椭圆及内部的点，下列命题正确的个数是（ ）PA1A2为钝角三角形的概率为1；PB1B2为直角三角形的概率为0；PB1B2为钝角三角形的概率为；PA1A2为钝角三角形的概率为；PB1B2为锐角三角形的概率为。A1B。2C。3D。47.（C级）如图，在圆心角为90的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，求使得AOC和 BOC都不小于30的概率A第7题OEDCB8.（C级）如图，在等腰三角形ABC中，B=C=30，求下列事件的概率：问题1 在底边BC上任取一点P，使BPAB；问题2 在BAC的内部任作射线AP交线段BC于P，使BPABACPB第8题9.（B级）设平顶向量 （ m , 1）, = ( 2 , n )，其中 m， n 1,2,3,4. （I）请列出有序数组（ m，n ）的所有可能结果； （II）记“使得（-）成立的（ m，n ）”为事件A，求事件A发生的概率。10.（B级）图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图（）求直方图中x的值（II）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望。参考答案（方向预测）1.A; 2.C; 3.D; 4.B; 5.B; 6.D; 7记A=作射线OC，使AOC和BOC都不小于30，作射线OD、OE使AOD=30，AOE=60当OC在DOE内时，使AOC和BOC都不小于30，则P(A)=8问题1，因为点P随机地落在线段BC上，故线段BC为区域D以B为圆心、BA为半径画弧交BC于M，则P必须落在线段BM内才有BPBM=BA，于是问题2，作射线AP在BAC内是等可能分布的，在BC上取点M，使AMB=75，则BM=BA，当P落在BM内时，BPAB于是所求的概率为9.( I