线性代数实对称阵及(若当标准形,不做要求).ppt

,几何与代数,主讲: 王小六,东 南 大 学 线 性 代 数 课 程,第5章 特征值与特征向量,第3节 实对称矩阵的相似对角化,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,5.3 实对称矩阵的相似对角化,一. 实对称矩阵的性质,1. 复矩阵的共轭矩阵,设A = aijmn, aijC.,A的共轭矩阵.,可以验证,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,2. 实对称矩阵,性质5.1. 实对称矩阵的特征值均为实数.,性质5.2. 设1, 2是实对称矩阵A的两个不同 的特征值, p1, p2是对应与它们的特 征向量, 则p1与p2正交.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,定理5.7. 对于任意n阶实对称矩阵A, 存在正 交矩阵Q, 使得 QTAQ = = diag(1, 2, , n), 其中1, 2, , n为A的全部特征值, Q = q1, q2, , qn的列向量组是A的对应于1, 2, , n的标准正交特征向量.,二. 实对称矩阵正交相似于对角矩阵,注 1. 实对称矩阵一定可对角化； 2. 相似变化矩阵一定可以取为正交矩阵; 3. q1, q2, , qn构成了Rn的一组标准正交基.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,例1. 把,正交相似对角化.,解: |EA| = (2)(4)2. 所以A的特征值为1= 2, 2= 3= 4. (A - 2E)x = 的基础解系1= (0,1, 1)T. (A - 4E)x = 的基础解系2=(1, 0, 0)T, 3=(0, 1, 1)T. 由于1, 2, 3已经是正交的了, 只需将它们单位化， 之后组成矩阵,则Q一定满足,注: 对于2=3=4, 若取(A-4E)x = 的基础解系 2=(1, 1, 1)T, 3=(1, 1, 1)T, 则需要将它们正交化. 取1= 2,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,再单位化, 即得,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,例2. 设3阶实对称矩阵A的特征多项式为,(1)2(10), 且3 = 1, 2, 2T是对应于 =10的特征向量. (1)证明: 是对应于= 1的特征向量 与3正交( ); (2)求A.,证明(1): 由定理5.8可知()成立.,()因为=1是A的二重特征值, 所以A有两个 线性无关的特征向量1, 2对应于=1.,注意到1, 2, 3是R3 的一组基, 所以 可设 =k11+k22+k33,故 =k11+k22 是对应于=1的特征向量.,由3, = 3, 1 = 3, 2 = 0得k3=0,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,解(2): 由(1)可知对应于=1两个线性无关的,将正交向量组1, 2, 3单位化得正交矩阵,例2. 设3阶实对称矩阵A的特征多项式为,(1)2(10), 且3 = 1, 2, 2T是对应于 =10的特征向量. (1)证明: 是对应于= 1的特征向量 与3正交( ); (2)求A.,特征向量可取为x1+2x22x3=0的基础解系:,1=2, 1, 2T, 2 =2, 2, 1T,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,Q =,由此可得A = QQT,注：求解第二问的过程中，如果令P=1, 2, 3, 则 P -1AP = . 从而 A = PP -1 . 但用此法求解A需要进行求逆运算。,例3. 设3阶实对称矩阵A不可逆,且1 = 1, 0, 1T,2 = 1, 0, -1T分别是A的相应于特征值1,2 的特征向量. 求A.,分析：,(1)A不可逆,0是A的特征值,设A对应于特征值0的特征向量为3 , 由3, 1 = 3, 2 = 0 可求得3 .,(2) 记P=(1 ,2 ,3 ), 则 P -1AP = diag(1,2,0).,A = P diag(1,2,0) P -1.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,(2) 或将1 ,2 ,3 单位化后得1 , 2 , 3 . 记Q=(1 , 2 , 3 ), 则 QTAQ = Q1AQ = diag(1,2,0).,A = Q diag(1,2,0) QT.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,提 醒,求特征向量就是求基础解系； 写相似变换矩阵P时，列向量一定要和对角阵的对角元素相对应； 一个特征值至少有一个特征向量； 记住是：P-1AP=对角阵； 实对称阵的不同特征值对应的特征向量之间一定是正交的； 对于实对称阵 A，一定存在可逆阵 P 使得P-1AP=对角阵，并且P可取做正交阵Q.,4. 如果实对称矩阵的特征值都为1，则它一定为单位矩阵.,3.一个n阶方阵相似于对角阵 它有n个特征向量，且构成了Rn 的一组基.,2. 两个可对角化的矩阵相似 它们可以相似于同一对角阵,判断对错,1. 两个矩阵相似，则特征值一定相同；两个矩阵的特征值相同,它们却不必相似.,全对,作 业,习题五（B）26(1,2), 27(不用求Q)， 28, 29, 30 上交时间：12月13日（周二） 思考：习题五（B）31-33,注：每周四晚上6:008:30教八400的公共答疑照常进行.,5.4 矩阵的Jordan标准形,P-1AP,A,对角阵,Jordan标准形,第五章 矩阵的特征值和特征向量,5.4 矩阵的Jordan标准形,5.4.1 Cayley-Hamilton定理,定理 5.8(Cayley-Hamilton定理) 假设n阶方阵A的特征多项式c()=| E-A|，则c(A)=O .,例5.14 假设矩阵A = ， 求A100-2A50.,注： A 的特征多项式为c() = (-1)(+1)2.,第五章 矩阵的特征值和特征向量,5.4 矩阵的Jordan标准形,例5.15 假设n阶矩阵A可逆，证明：存在n-1次多项式 f(),使得A-1= f(A).,证明：设A的特征多项式为 c() = n+a1 n-1+a2 n-2+an-1 +an . 则 c(A) =An+a1An-1+a2An-2+an-1A+anE=O, 即 A(An-1+a1An-2+a2An-3+an-1E)=-anE. 从而有 A-1 = - (An-1+a1An-2+a2An-3+an-1E). #,1,an,第五章 矩阵的特征值和特征向量,5.4 矩阵的Jordan标准形,5.4.2 最小多项式,目的：寻找次数最低的化零多项式,定义5.3 矩阵A的最高项系数为1的次数最低的化零多项式称为A的最小多项式.,注：由Cayley-Hamilton定理，每个方阵的最小多项式一定存在.,性质5.3 如果是矩阵A的化零多项式，m()是A的最小多项式，则m()能整除.,性质5.4 任意矩阵A的最小多项式是唯一的.,第五章 矩阵的特征值和特征向量,5.4 矩阵的Jordan标准形,性质5.5 假设c()是矩阵A的特征多项式， m()是A的最小多项式，则m() 能整除c()， 且m()与c()有相同的根.,c() = ( - 1)c1 ( - 2)c2( - s)cs,m()= ( - 1)m1 ( - 2)m2( - s)ms,mi ci, i=1,2,s.,第五章 矩阵的特征值和特征向量,5.4 矩阵的Jordan标准形,例 5.16 求矩阵A= 的最小 多项式.,1 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3,c() = (-2)2(-3)2.,(-2)(-3)，,(-2)2(-3) ，,(-2)2(-3)2 .,(-2)(-3)2 ，,因为m()整除c(),m()可能为,验证可得 m()= (-2)2(-3).,第五章 矩阵的特征值和特征向量,5.4 矩阵的Jordan标准形,性质5.6 相似矩阵有相同的最小多项式.,注： 反之未必，请举例.,定理5.9 n阶方阵A相似于对角阵 A的最小多项式没有重根.,引理 5.1 假设n阶方阵的乘积M1M2Ms=O, 则 r(Mi) (s-1)n.,i=1,s,第五章 矩阵的特征值和特征向量,5.4 矩阵的Jordan标准形,例5.17 若n阶方阵A满足A2=3A，证明：A相 似于矩阵 = , 其中r为矩阵A的 秩.,3Er O,第五章 矩阵的特征值和特征向量,5.4 矩阵的Jordan标准形,例5.17 若n阶方阵A满足A2=kA，并且矩阵A的秩为r,则A的迹tr(A)= .,k r,5.4.3 Jordan标准形,定义5.4,0 1 0 1 0,. . .,. . .,Jordan块,J1 J2 Js,. . .,Jordan 形矩阵,Ji 都是若当块,第五章 矩阵的特征值和特征向量,5.4 矩阵的Jordan标准形,0 0 0 2 0 0 0 2,0 0 0 2 1 0 0 2,0 1 0 0 0 0 0 0 2,1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 3,都是若当形(Jordan形)矩阵,2 0 0 0 0 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2,第五章 矩阵的特征值和特征向量,5.4 矩阵的Jordan标准形,1 0 0 0 0 2 0 0 0,1 1 0 0 2 0 0 0 2,1 1 0 0 2 1 0 0 2,都不是若当形(Jordan形)矩阵,第五章 矩阵的特征值和特征向量,5.4 矩阵的Jordan标准形,定义5.4 如果A与某个Jordan形矩阵,J1 J2 Js,. . .,J =,相似， 则称J为A的Jordan标准形.,注1： J 中不同的Jordan块的主对角元素 可以相等.,注2： J 的主对角元素就是A的特征值.,第五章 矩阵的特征值和特征向量,5.4 矩阵的Jordan标准形,注3：,如果A与某个Jordan形矩阵,J1 J2 Js,. . .,J =,相似， 则A也与下面的Jordan形矩阵相似,. . .,J = .,Ji Ji Ji,1,2,s,调整了J中小块的次序.,第五章 矩阵的特征值和特征向量,5.4 矩阵的Jordan标准形,定理 5.10 在复数范围内，任意方阵都相似 于一个Jordan形矩阵，即任意矩阵的Jordan标准形是存在的, 而且,如果不考虑Jordan块的次序，任一矩阵的Jordan标准形是唯一的.,注1： 如果要求给定矩阵的Jordan标准形，只需在所有与之相似的Jordan形矩阵中找到一个即可.,注2： 如果P-1AP=J, 则对任意数k及正整数t, 都有 P-1(A - kE)P = J - kE, P-1(A - kE)tP = (J - kE)t .,第五章 矩阵的特征值和特征向量,5.4 矩阵的Jordan标准形,注2： 如果P-1AP=J, 则对任意数k及正整数t, 都有 P-1(A - kE)P = J - kE, P-1(A - kE)tP = (J - kE)t . 从而有 r(A - kE) = r(J - kE), r(A - kE)t = r(J - kE)t.,有没有快速求它的秩的方法？,第五章 矩阵的特征值和特征向量,5.4 矩阵的Jordan标准形,为了求r(J - kE)t ，先考虑m阶Jordan块,N = = .,0 1 0 1 0,. . .,. . .,O Em-1 O O,N1 =, N2 =,Ni =, , Nm-1 =,Nt =O, t m.,O Em-1 O O,O Em-2 O O,O Em-i O O,O E1 O O,.,第五章 矩阵的特征值和特征向量,5.4 矩阵的Jordan标准形,假设m阶矩阵,0 1 0 1 0,. . .,. . .,J0 = .,如果 k = 0 , 则,r(J0 - kE)t =,m-t, t m, 0, t m.,如果 k 0 , 则对任意正整数t, 有,r(J0 - kE)t = m.,第五章 矩阵的特征值和特征向量,5.4 矩阵的Jordan标准形,J1 J2 Js,. . .,设 J = ，则,(J - kE)t =,(J1 kE )t (J2 kE )t (Js-kE )t,. . .,Ji是ci阶若当块,c1,c2,cs,结合着上述分析，可得到r(J - kE)t .,第五章 矩阵的特征值和特征向量,5.4 矩阵的Jordan标准形,例5.18 已知矩阵A的特征多项式|E-A|= (-1)2 (-2)4, r(A-E)=5, r(A-2E)=4, r(A-2E)2=3, 给出A的Jordan标准形.,第一步 写出所有可能的Jordan形矩阵；,第二步 找出满足r(J-E)=5, r(J-2E)=4的Jordan形矩阵；,第三步 找出满足, r(J-2E)2=3的Jordan形矩阵；,第五章 矩阵的特征值和特征向量,5.4 矩阵的Jordan标准形,例5.19 求矩阵A= 的Jordan 标准形.,-1 -2 6 -1 0 3 -1 -1 4,Step 1 . 求出|E-A|=( -1)3;,Step 2 . 写出所有可能的Jordan形矩阵；,Step 3 . 计算r(A 1E);,Step 4. 找出满足r(J 1E)= r(A 1E)的Jordan形矩阵；,第五章 矩阵的特征值和特征向量,5.4 矩阵的Jordan标准形,例5.20 求矩阵A= 的Jordan 标准形.,13 16 16 -5 -7 -6 -6 -8 -7,Step 1 . 求出|E-A|=( +3)( -1)2;,Step 2 . 写出所有可能的Jordan形矩阵；,Step 3 . 计算r(A 1E);,Step 4. 找出满足r(J 1E)= r(A 1E)的Jordan形矩阵；,第五章 矩阵的特征值和特征向量,5.4 矩阵的Jordan标准形,关于矩阵的最小多项式与Jordan标准形的关系，有下面的定理.,定理5.11 假设矩阵A的最小多项