线性代数复习提纲2013下.ppt

线性代数,一、行列式的计算方法 二、线性方程组的解法 三、逆矩阵的计算方法 四、矩阵秩的计算方法 五、向量组的线性相关性的判定方法 六、向量组的最大无关组的计算方法 七、方阵的特征值与特征向量的计算方法,复习提纲,概念清楚 运算熟练,一条主线：线性方程组 两种运算：行列式、矩阵的初等变换 三个工具：行列式、矩阵、向量 难点： 向量组线性相关性、线性表示、 极大无关组,几个重要定理： 线性方程组有解判别定理； 矩阵可逆的判别定理； 线性相关和线性无关判别定理；唯一表示定理 线性方程组解的结构定理。,第一章 行列式及其性质,2、3阶行列式的对角线法则。 n 阶行列式的定义。 行列式的6个性质。 行列式按行（列）展开定理。 计算行列式：运用行列式的性质（化简）及按行或列展开定理（降阶），N 阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等,范德蒙行列式） 。,2、n阶行列式的计算,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.,性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式.,性质 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,(1) 利用行列式的性质计算,（化为三角形）,性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.,性质 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,(2) 利用行列式展开计算,定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,第二章 矩 阵,矩阵的运算，乘法一般不满足交换律和消去律 行列式乘积定理： |AB|=|A|B|。 |kA| = kn |A| 伴随矩阵及其性质： AA* = A*A= |A|E。 可逆矩阵及其性质。 逆矩阵的计算（方法1：利用伴随阵，方法2：利用初等行变换） 分块矩阵及其运算规则（乘法、求逆等）。,求解线性方程组 Ax=b,克拉默法则 (Cramers Rule)。 条件：方程的个数=未知数的个数，亦即，系数矩阵A为方阵。 解的性态： 当系数矩阵A的行列式非零时，亦即，系数矩阵A为可逆阵时，方程组有唯一解，并可由行列式的比值来表示；, 当系数矩阵A的行列式为零时，亦即，系数矩阵A为奇异阵时，方程组无解或有无穷多解.,第三章 矩阵的初等变换,矩阵的三种初等行或列变换。 用初等变换求矩阵逆。 用初等变换求解矩阵方程 AX=B 含参数的线性方程组解的情况的讨论,矩阵 Amn 的秩,求解线性方程组 Ax=b,基本方法：消元法。 消元法之数学表达：对增广矩阵 (A, b) 进行初等变换。 解的性态定理：n 元线性方程组 Ax=b（其中 A 为 m 行 n 列矩阵，亦即，线性方程组由m 个方程构成）， i) 无解的充要条件是 R(A) R(A, b). ii) 有惟一解的充要条件是 R(A) = R(A, b) = n. iii) 有无限多解的充要条件是 R(A) = R(A, b) n. 求得解的性态：将增广矩阵 (A, b) 初等变换为行阶梯形矩阵，然后应用解的性态定理。,第四章 向量组的线性相关性,本章复习时要注意一个特点： 向量组矩阵线性方程组,回顾：线性方程组的表达式,一般形式 向量方程的形式,增广矩阵的形式 向量组线性组合的形式,方程组有解？,向量 是否能用 线性表示？,1、,求出方程组的解作组合系数,矩阵表示形式：,复习：向量、向量组的线性表示,向量用向量组的线性表示问题归结为线性方程组解的问题！,表示系数为列！,2、,向量组用向量组的线性表示问题归结为矩阵方程解的问题！,线性无关,线性相关,（方阵）,（方阵）,求向量组 的一个极大无关组, 以向量组 中各向量作为列向量， 构成矩阵 A ； 则 B 中各非零行的首列对应的 A 的部分向 量组就为 向量组 的极大线性无关组。,怎样利用 极大无关组表示其余向量？, 求出向量组 的极大无关组； (2)行阶梯形矩阵B 行最简形矩阵C 根据行最简形矩阵列向量的分量，用极大无关组表示其余向量.,（行）初等变换,向量组的秩,定理 矩阵 经初等行变换得矩阵 ，则 与 的行向量组等价, 且 与 的列向量组具有相同的线性相关性.,所以,线性组合系数也相同的,矩阵的初等变换：线性表示，线性相关性，求矩阵、向量组的秩，求极大无关组，求线性表示系数，求线性方程组的解等等,求解线性方程组 Ax=b,解的结构定理： i) 设mn矩阵A的秩为 r，则齐次线性方程组 Ax=0 的通解为 其中，向量组 称为该齐次方程组的基础解系。 ii) n元非齐次线性方程组 Ax=b 的通解为 求得解的结构：将增广矩阵 (A, b) 初等变换为行最简形矩阵，然后应用解的结构定理。 克拉默法则 (Cramers Rule)。,向量空间,向量空间、基、维数 向量在给定基下的坐标,第五章 相似矩阵及二次型,第一节： 1、向量的内积、长度的计算、性质； 2、向量正交、正交向量组、规范正交组 （规范正交基）的概念； 3、了解 Schimidt