随即变量的数字特征.doc

第三章 随即变量的数字特征【授课对象】理工类（本）二年级【授课时数】4学时【授课方法】课堂讲授与提问相结合【基本要求】1、理解数学期望、方差的概念，并掌握它们的性质。2、会计算随机变量函数的数学期望。3、了解协方差、相关系数的概念。【本章重点】对数学期望、方差、相关系数等数字特征概念的理解与计算。【本章难点】对不相关与相互独立间关系的理解。【授课内容及学时分配】3.0 前 言从上一章我们可以看出，分布函数（或密度函数、分布列）给出了随机变量的一种最完全的描述。因此，原则上讲，全面认识和分析了随机现象就应当能求出其分布，但是对许多实际问题来讲，要想精确地求出其分布是很困难的。其实，通过对许多实际问题的分析，人们发现对某些随机现象的认识并不要求了解它的确切分布，而只要求掌握他们的某些重要特征，这些特征往往更能集中地反映随机现象的特点。如，要评价两个不同厂家生产的灯泡的质量，人们最关心的是谁家的灯泡使用的平均寿命更长些，而不需要知道其寿命的分布完全。同时还要考虑其寿命与平均寿命的偏离程度等。这些数据反映了它在某些方面的重要特征。 我们把刻划随机变量(或其分布)某些特征的确定的数值称为随机变量的数字特征。本章主要介绍反应随机变量取值的集中位置、分散程度及随机变量之间相依程度的数字特征数学期望、方差与相关系数。3.1随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望引例：甲、乙二人进行射击比赛，以、分别表示他们命中的环数，分布列分别为： 试问谁的技术好些?这个问题的答案并不是一眼看得出的。这说明了分布列虽然完整地描述了随机变量，但是却不够“集中”地反映出它的变化情况，因此我们有必要找出一些量来更集中、更概括地描述随机变量，这些量多是某种平均值。若在上述问题中，使两个射手各射N枪，则他们打中的环数大约是：甲 8+90.1+100.6=9.3 乙 80.2+90.5+100.3=9.1平均起来甲每枪射中9.3环，乙每枪射中9.1环，因此甲射手的本领要好些。受上面问题的启发，为此，对一般离散型随机变量，我们引入如下定义：定义1: 设为离散型随机变量，其分布列为：，若+则称E=为的数学期望或均值。注：当级数发散时，E不存在。 为使E与各项的次序无关，必须要求收敛；否则，若条件收敛，则E不唯一，这自然不行。Eg1：求示性函数：= 的数学期望。解：可见，可以通过求其示性函数的数学期望的办法来求出事件的概率。Eg2：设随机变量只取非负整数值，且其分布列为，试求。解：而，所以二、连续型随机变量的数学期望定义2：设为连续型随机变量，其密度函数为，若广义积分+收敛时，则定义的数学期望或均值为；否则E不存在。上述定义设，若，则。注：设想取很密的分点分割，则落在内的概率等于，因此与以概率取值的离散型随机变量相似，而后者的数学期望为，这个和式的极限就是。Eg3：设随机变量 ，求。解：三、随机变量函数的数学期望1.是离散型随机变量是离散型随机变量若+，则定义的数学期望为：E=E=，其中2.是连续型随机变量，其密度函数为，则是连续型随机变量若+，则称的数学期望为Eg4：，求。解：令，则=(e-1)= 对二维的情形：3.设(,)为二维离散型随机变量，其联合分布列为P，g(x,y)是二元连续函数，则(,)为一维随机变量。若P+收敛，则称(,)的数学期望为=P4.设(,)为二维连续型随机变量，其联合密度函数为f(x,y)，若+,则称(,)的数学期望为=Eg5：设(,)的密度函数为P(x,y)=，试求，的数学期望。解：=1/3Eg6：假定国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随即变量（单位:千吨），其分布函数为P(x)=设每售出这种商品一千吨，可为国家挣得外汇3千万元；但假如销售不了而囤积于仓库，则每吨须花保养费用1千万元，问需要组织多少货源，才能使国家收益最大？解：设为某年预备出口的该种商品量，由于外国的需求量为，则国家收入（单位:万元）是的函数，且=f()=，这为随机变量。若收益最大，那么平均值最大。而=Ef()=d+=解得：当=3500时，取得最大值。因此，需组织3500千吨该商品，平均说来能使国家的收益最大，这最好的决策。四、数学期望的性质1.若则，特别地：，这里为常数。roof：设P(x)，若g(x)C，则）=C=C思考：若存在，则2.常数a,b有E(ab)aEbEroof：设(P(x,y)，令=g(x,y)=ab，则：= E(ab)=(ax+by)P(x,y)=a+b=a+b=推论：对常数C E（C）=CE E()=EEE()=3.若,相互独立，则E=EE事实上E=xyP(x,y)=xyP(x)P(y)=xP(x)y P(y)=EE推论：若,相互独立，则注：性质3的逆不成立。Eg7：(,)的联合分布为：显然：E=0，E=0，故有E=E又，而P=，P=，故从而不独立。五、课后作业：1、仔细阅读P60-73；2、作业：P80 1, 2, 4, 5； 3、预习P73-793.2 方 差0、引言上节课，我们研究了随机变量的重要数字特征数学期望。它描述了随机变量一切可能取值的平均水平。在一些实际问题中，仅知道平均值是不够的，因为它有很大的局限性，还不能够完全反映问题的实质。例如，某厂生产两类不同手表，甲类手表日走时误差均匀分布在-1010秒之间；乙类手表日走时误差均匀分布在-2020秒之间，易知其数学期望均为0，即两类手表的日走时误差平均来说都是0。所以由此并不能比较出哪类手表走得好，但我们从直觉上易得出甲类手表比乙类手表走得较准，这是由于甲的日走时误差与其平均值偏离度较小，质量稳定。由此可见我们有必要研究随机变量取值与其数学期望值的偏离程度即方差。一、方差的定义与计算设是随机变量，E是其数学期望，则表示与E之间的偏差大小，但由于绝对值对运算带来得不便，所以常用(E)代替之。又因为(E)仍是一个随机变量，则用E(E)来描述与其E的偏离程度的大小，为此有：Df1：设是一随机变量，若E(-E)，则称E(-E)为随机变量的方差，记为D（或Var），即D=E(-E)，而称为的标准差（或均方差），记为。由定义，显然D0，当的可能取值集中在E附近时，D较小，否则D较大。可见，其大小就反映了与E的偏离程度或取值的分散程度。由定义及随机变量函数的数学期望，可以推出方差的计算公式：1.当是离散型随机变量时，则有：D=E(-E)=P，其中P=P =1,2,32.若是连续型随机变量，则有：D=f(x)，其中f(x)是的密度函数。一般地，若随机变量的分布函数为F(x)，则D=dF(x)另由定义还有：D=E()(E)事实上：D=E(-E)=E-2E+(E)=E-2 EE+(E)=E-(E)Eg1：设分别表示甲、乙类手表的日走时误差，则其概率密度分别为： 因此有：E=0=ED=E()-(E)=E()=D=E()=因此D0，D0，则称为随机变量的相关系数（或标准协方差）。显然：就是标准化随机变量,的协方差。2.性质：=1以概率1线性相关，即存在常数a与b使(=1具体地：P(=1 正相关P(=-1 负相关Df3：若的相关系数=0，则称不相关。关于不相关有如下定理：Th1：对于，下列命题等价：Cov ()=0,不相关，即=0E