初二数学同步辅导教材(第13讲).doc

初二数学同步辅导教材（第13讲）【教学进度】 3.12 (几何课本P65 - P72)【教学内容】等腰三角形的性质【重点、难点剖析】1主要知识点 （1）等腰三角形的两底角相等（简写为等边对等角或底角相等）（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）（3）等边三角形的各角都相等，并且每一角都等于6002重点剖析（1）等腰三角形的三线合一性，它可以分解成三条性质，其中每一条都是由两个已知条件和两个结论组成： （2）在等腰三角形中的三线合一，是证明线段相等、角相等及两直线垂直的重要依据。常常根据具体情况，适当增添辅助线，在增添辅助线时，不能对辅助线要求过高，一般只能增添顶角的平分线、底边上的高、中线中的某一条。象作一边上的高并且要平分这一条边；作一边的中线并且垂直于这一条边；作一个角的平分线并且垂直平分对边，等等，这些都是不正确的。作图时也只能作顶角平分线，或者只能作底边上的高，或者只能作底边上的中线，然后再说明这条辅助线具有三线合一性。【典型例题】例1已知，如图1ABC中，ABAC，在AB上截取AE=AC，AD为BAC的平分线，EFBC， 求证：DEC=FEC 分析：题中有AE=AC，必然有等腰三角形AEC，AD是EAC的平分线，等腰三角形顶角的平分线、底边上的高与底边中线三线合一，AEEC，O为EC中点。 证明：AE=AC，AD平分EAC（已知） EO=CO，ADEC（等腰三角形顶角的平分线又是底边上的中线、高线） 在RtDEO与RtDCO中 又EFBC（已知） FEC=2（两直线平行，内错角相等） FEC=DEC 点评：“三线合一”是等腰三角形的一个重要性质，是证明中常用的线段，也常作为一条辅助添置在图中。例2求证等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。 分析：此题是文字题，应把文字题“翻译”成“已知”、“求证”等符号语言。 （1）要证明（如图2），可以作A的平分线AE。证明DBC=CAE，根据等腰三角形的三线合一性，AEBC，得CAE=900-C，再从BDAC中易得到DBC=900-C 分析(2):要证明也可以证明2DBC=A，因此作DBF=DBC，然后证明FBC=A，由于可以证得BF=BC，FBC=1800-2C，再由AB=AC，B=C，得A=1800-2C。 分析(3):在RtDBC中，DBC=900-C，故应证明，即证明A=1800-2C，由于A=1800-（B+C），故证明B=C即可，由AB=AC可知B=C 已知：如图2，ABC中，AB=AC，BDAC 求证： 证法1：作BAC的平分线交BC于E，则 AB=AC（已知） （三线合一） 即EAC+C=900 又BDAC DBC+C=900 DBC=EAC（同角的余角相等） （等量代换） 证法2 作DBF=DBC，在CBD与FBD中， CBDFBD（ASA） BF=BC（两三角形全等对应边相等） FBC=1800-C 又AB=AC B=C（等边对等角） A=1800-(B+C)=1800-2C A=FBC(等量代换) 证法三 BDBC（已知） BDC=900（垂直定义） 在BCD中，DBC-C=900 DBC=900-C AB=AC（已知），ABC是等腰三角形，作BAC的平分线AE交BC于E，则AEBC（三线合一） AEC=900， EAC= 在EAC中，C+EAC=900 在BDC中，由BDAC（已知） 得 BDC=900 （垂直定义） DBC+C=900 DBC=EAC（等角的余角相等） 即 点评：证明一个角（或一条线段）是另一个角（或一条线段）的一半或者2倍时，常用的方法是： 找出或作出等于较小角（或线段）的2倍的角（或线段），证明它与较大的角（或线段）相等。 找出或作出较大角（或线段）一半的角（或线段），证明它与较小角（或线段）相等。 有时也可以从有关的数量关系中经过计算得到。 例3已知，如图3，ABC中，D是BC中点，过D作DEDF交AB，AC于E，F点。 求证：BE+FCEF 分析：BE、FC不在同一个三角形内，要证明线段之间的不等关系，要把它们转化到同一个三角形中，添辅助线如图3。 证明：延长FD，并截取GD=FD，连结EG、BG，在BGD和CFD中， BGDCDF（对顶角相等） GB=FC（两三角形全等，对应边相等） 又EDDF，GD=FD，ED=ED EGDEFD（SAS） EG=EF（两三角形全等，对应边相等） 在EBG中，BE+GBEG BE+FCEC（等量代换）例4已知，如图4，在ABC中，点D、E分别在AC和AB上，如果AE=ED=DB=BC，且ABC=1000， 求A的度数分析：由已知ABC=1000，只要找到A与ABC的关系，则A可求，图中有三个等腰三角形，利用等边对等角的性质及外角定理可找到它们的关系。解: EA=ED(已知) 4=A（等边对等角） 3=4+A（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） 3=2A DE=DB（已知） 2=3（等边对等角） 2=24 1=2+3（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） 1=3A BD=BC（已知） C=1（等边对等角） C=3A 在ABC中，A+C+ABC=1800，ABC=1000 A+3A+100=1800 A=200【巩固练习】1在ABC中，若AB=AC，B=500，则A=_2等腰三角形的一个内角等于800，则它的另两个内角的度数分别是_3等腰三角形的周长为12cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为_4已知ABC中，AB=AC，ADBC于D，ABC的周长为30cm, ADC的周长为20cm,则AD的长为_。5等腰三角形顶角是800， 则一腰上的高与底边所成角的度数是_。6已知，ABC中，ABAC，E是AB延长线上一点， AE=AC，AD平分BAC，BD=BE， 求证：ABC=2C7已知，如图，AB=AC， BD=BC，AD=DE=BE， 求证：A的度数8如图，ABC中，AB=AC，EF交AB于E， 交AC的延长线于F，且BE=CF 求证：DE=DF9如图，在ABC中，AB=AC， 在BA的延长线上取AE=AF， 求证：EFBC10如图，已知，等边ABC中，AD=CE， 求BPC的度数【参考答案】18002800，200或500，50032cm或8cm45cm54006略证。AD平分BAC，BAD=CAD，在ADE和ADC中， ADEADC（SAS） E=C E=1 ABC=E+1 ABC=2E， ABC=2C7