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习题10-5 1. 按对坐标的曲面积分的定义证明公式: . 解 证明把S分成n块小曲面DSi(DSi同时又表示第i块小曲面的面积), DSi在yOz面上的投影为(DSi)yz, (xi , hi ,zi )是DSi上任意取定的一点, l是各小块曲面的直径的最大值, 则 . 2. 当S为xOy面内的一个闭区域时, 曲面积分与二重积分有什么关系？ 解 因为S: z=0, (x, y)Dxy, 故 , 当S取的是上侧时为正号, S取的是下侧时为负号. 3. 计算下列对坐标的曲面积分: (1)其中S是球面x2+y2+z2=R2的下半部分的下侧; 解 S的方程为, Dxy: x2+y2R, 于是 . (2), 其中z是柱面x2+y2=1被平面z=0及z=3所截得的第一卦限内的部分的前侧; 解 S在xOy面的投影为零, 故. S可表示为, (y, z)Dyz=(y, z)|0y1, 0z3, 故 S可表示为, (z, x)Dzx=(z, x)|0z3, 0x1, 故 . 因此 . 解法二 S前侧的法向量为n=(2x, 2y, 0), 单位法向量为 , 由两种曲面积分之间的关系, . 提示: 表示曲面的面积. (3), 其中f(x, y, z)为连续函数, S是平面x-y+z =1在第四卦限部分的上侧; 解 曲面S可表示为z=1-x+y , (x, y)Dxy=(x, y)|0x1, 0yx-1, S上侧的法向量为n=(1, -1, 1), 单位法向量为 ,由两类曲面积分之间的联系可得 . (4), 其中S是平面x=0, y=0, z=0, x+y+z=1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧. 解 S=S1+S2+S3+S4, 其中 S1: x=0, Dyz: 0y1, 0z1-y, S2: y=0, Dzx: 0z1, 0x1-z, S3: z=0, Dxy: 0x1, 0y1-x, S4: z=1-x-y, Dxy: 0x1, 0y1-x,于是 . 由积分变元的轮换对称性可知 . 因此 . 解 S=S1+S2+S3+S4, 其中S1、S2、S3是位于坐标面上的三块; S4: z=1-x-y, Dxy: 0x1, 0y1-x. 显然在S1、S2、S3上的曲面积分均为零, 于是 . 4. 把对坐标的曲面积分 化成对面积的曲面积分: (1)S为平面在第一卦限的部分的上侧; 解 令, S上侧的法向量为: ,单位法向量为 , 于是 . (2)S是抛物面z=8-(x2+y2)在xOy面上方的部分的上侧. 解 令F(x, y, z)=z+x2+
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