一个命题的推广及应用.doc_第1页
一个命题的推广及应用.doc_第2页
一个命题的推广及应用.doc_第3页
全文预览已结束

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

一个命题的推广及应用杨贺宏*BAC图1Ddcba2112文1给出了有关圆内接四边形的如下不等式。命题1 四边形ABCD内接于半径为R的圆，设其四边形为a,b,c,d。 则a+b+c+d，笔者尝试证明它（因文1没有证明）首先想到的是圆内接四边形的重要特征：对角互补。于是得到下面的证明。证明：所设如图1，由正弦定理，知 a=2Rsin,b=2Rsin,c=2Rsin,d=2Rsin 则a+b+c+d=2R(sin+sin+sin+sin) =2R(2sin) R(sin)（因） =4R（因） =4 易知当且仅当=，即四边形ABCD为正方形时等号成立，证毕。那么三角形有没有类似的结论呢？若三角形有类似的结论，那么对一般的圆内接n边形，它的边长之和与外接圆半径是否也有类似关系？初中平面几何有正n边形边长与半径R的关系：a=2Rsin,一般的圆内接n边形也可有与此类似的关系，只不过边长对应的圆心角不一定为，但和为周角2，再经过推导，笔者就将命题1推广为* 杨贺宏，金山中学2001届毕业生，现就读中南大学数学与应用数学专业。命题2 半径为R的圆的内接n边形的各边为aI，i=1，2，n。 则。 当且仅当时等号成立。证明： 设边所夹的非优弧所对圆心角，oRai2图2 ，（如图2） 故 =2R =2 =而函数y=sinx在0，上为凸函数，故，即 当且仅当，即时等号成立，证毕。笔者利用命题2，联系常用不等式，逐步推导出了一些重要不等式。在命题2中，令n=3，得到命题3 设ABC的三边为a,b,c，外接圆半径为R，则a+b+c3R。当且仅当ABC为正三角形时取等号。由正弦定理，知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，结合命题3得到命题4 设ABC的三个内角为A,B,C，则sinA+sinB+sinC，当且仅当ABC为正三角形时取等号。下面利用命题3证明Weijenbock不等式，即命题5 （Weijenbock不等式）设ABC的三边为a,b,c，面积为S，则a2+b2+c24S。当且仅当ABC为正三角形时取等号。证明：由命题3知，故 由以上证明过程易知当且仅当a=b=c时取等号。证毕。利用命题3，又可将Weijenbock不等式加强为命题6 设ABC的三边为a,b,c，面积为S，则 当且仅当ABC为正三角形时取等号。证明： 由命题3知 故 显然，当且仅当a=b=c时取等号。证毕。由知该不等式比Weijenbock不等式强。由命题6知，而由命题3知，又（r为ABC的内切圆半径），故。即得到欧拉不等式。
人人文库> 全部分类> 应用文书 > 事务文书

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论