椭圆的标准方程【杨高.ppt

第十二章 圆锥曲线,12.2.4 圆的方程,12.3.1 椭圆的标准方程,生活中的椭圆,例1.已知 ,图中一系列同心圆半径分别是 1,2,3,. 在两组同心圆的交点中，描出“与 两点距离和为14 ”的点并用光滑曲线依次连接所描的交点.,思考 如果距离和改为10呢? 5呢?,一、椭圆的定义,平面上到两个定点 的距离和等于常数,的点的轨迹叫做椭圆.,这两个定点 叫做椭圆的焦点，两焦点间的距,(常数大于 ),离叫做焦距.,二、椭圆的标准方程,设椭圆焦点之间的距离为2c 椭圆上任意一点到两焦点 的距离和为2a,以焦点 所在直线为 轴, 线段 的垂直平分线为 轴,建立直角坐标系,设点 是椭圆上任意一点,则列式为,即,则,二、椭圆的标准方程,化简,(移项平方),设椭圆焦点之间的距离为2c 椭圆上任意一点到两焦点 的距离和为2a,二、椭圆的标准方程,因为 ,所以取 ,使得,因此,两边再同除以,设椭圆焦点之间的距离为2c 椭圆上任意一点到两焦点 的距离和为2a,化简,(系数化简),证明满足方程的解为坐标的点都在椭圆上(略),二、椭圆的标准方程,椭圆的焦点在 轴上,焦点坐标为,椭圆上的任意点到焦点的距离为,上式称为椭圆的标准方程,请用文字语言及图形描述方程,所表示的椭圆满足:,例2.写出下列椭圆的方程:,(1)如图,焦点坐标为 ,且椭圆上的,点到焦点的距离和为6.,(2)如图,焦点坐标为 ,且椭圆上的,点到焦点的距离和为10.,(选讲)求证: 方程 的曲线上的任意点到,的距离之和为10.,证：设 为方程的曲线上的任意一点.,由于,故,(选讲)求证: 方程 的曲线上的任意点到,的距离之和为10.,证(续)：同理,则,证毕,请用文字语言描述方程,二、椭圆的标准方程,下面两式都叫做椭圆的标准方程:,课堂练习,1.下列方程的曲线是椭圆吗？,(1),(2),2.求椭圆的焦点坐标或标准方程:,(1),(2),(3) ，焦点在 轴上；,(4) ，焦点在 轴上.,3.若关于 的方程 表示椭圆，,求 所满足的条件及焦点的坐标.,课堂练习答案,1.(1)椭圆；(2)线段.,2.(1),(2),(3),(4),3.当 为不相等的正实数时方程表示椭圆, 时，焦点坐标为, 时，焦点坐标为,圆锥曲线的历史,数学家门奈赫莫斯(公元前4世纪中叶)发现了,他用垂直于圆锥的一条母线的平面去截圆锥面,得到三种不同的截线：,圆锥曲线，解决了“倍立方”问题.,椭圆,抛物线,双曲线的一支,课外阅读材料1,丹德林的球,课外阅读材料2,在圆锥内放两个大小不同的球, 使得它们分别与圆锥的侧面相 切且与截面分别相切与 点. 在截口曲线上任取一点 并作 母线的平行线,分别与两球交于 ,因为球外一点到球的切线 长都相等因此有:,显然 是定值,因此,1.教材方法“两次平方法”由英国数学家萨尔蒙 (18191904)首次采用，过程略.,2. “和差法”由法国数学家洛必达(16611704) 首次采用:,设,则,两式相减得 ，解得,再代入式后化简即得，后略.,椭圆标准方程的推导,课外阅读材料3,椭圆标准方程的推导,课外阅读材料3,3.“平方差法”由19世纪英国数学家赖特在其1836 年出版的书中首次采用：,设,则,两式相减得,再代入式后化简即得，后略.,即,，解得,椭圆标准方程的推导,课外阅读材料3,4.“分子有理化法”现行俄罗斯数学教材中采用：,两边平方化简即可，后略.,分子有理化得：,即,两式相加得,椭圆标准方程的推导,课外阅读材料3,5.“余弦定理法”由18世纪英国数学家斯蒂尔在其 1745年出版圆锥曲线论