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第八章 常微分方程数值解法摘要：对显式Euler方法来说,当解二阶连续可导时,其局部.(3.10)有解但解不唯一.不论如何选择这八个参数,不可能.算法8.1 经典Runge-Kutta方法本算法用经典Runge-.关键词：导,论,算法类别：专题技术来源：牛档搜索（Niudown.COM）本文系牛档搜索（Niudown.COM）根据用户的指令自动搜索的结果，文中内涉及到的资料均来自互联网，用于学习交流经验，作品其著作权归原作者所有。不代表牛档搜索（Niudown.COM）赞成本文的内容或立场，牛档搜索（Niudown.COM）不对其付相应的法律责任！常微分方程数值解法教学目的 1. 掌握解常微分方程的单步法：Euler方法、Taylor方法和Runge-Kutta方法；2. 掌握解常微分方程的多步法：Adams步法、Simpson方法和Milne方法等；3. 了解单步法的收敛性、相容性与稳定性；多步法的稳定性。教学重点及难点 重点是解常微分方程的单步法：Euler方法、Taylor方法和Runge-Kutta方法和解常微分方程的多步法：Adams步法、Simpson方法和Milne方法等；难点是理解单步法的收敛性、相容性与稳定性及多步法的稳定性。教学时数 20学时教学过程 1基本概念11常微分方程初值问题的一般提法常微分方程初值问题的一般提法是求函数，满足其中是已知函数，是已知值。假设在区域上满足条件：（1）在上连续；（2）在上关于变量满足Lipschitz条件：， （1.3） 其中常数称为Lipschitz常数。我们简称条件（1）、（2）的基本条件。由常微分方程的基本理论，我们有：定理1 当在上满足基本条件时，一阶常微分方程初值问题（1.1）、（1.2）对任意给定存在唯一解在上连续可微。定义1 方程（1.1）、（1.2）的解称为适定的，若存在常数和，对任意满足条件及的和，常微分方程初值问题 （1.4）存在唯一解，且适定问题的解连续依赖于（1.1）右端的和初值。由常微分方程的基本理论，还有：定理2 当在上满足基本条件时，微分方程（1.1）、（1.2）的解是适定的。我们在本章中假设在上满足基本条件，从而（1.1）、（1.2）的解存在且适定。一般的一阶常微分方程组初值问题是求解 （1.5）（15）的向量形式是 （1.5）其中记。类似于定理1和定理2，我们有：定理3 若映射满足条件(1) 在上是从到上的连续映射;(2) 在上关于满足Lipschits条件;任意。则常微分方程组初值问题（1.5）存在的唯一的连续可微解而且解是适定的。高阶常微分方程初值问题一般为 （1.6）其中是给定多元函数，为给定值。引进新的变量函数 （1.7.）则初值问题（1.6）化成了一阶常微分方程组初值问题通过求解（1.8）得到(1.6)的解。1.2 初值问题数值解基本概念初值问题的数值解法，是通过微分方程离散化而给出解在某些节点上的近似值。在上引入节点称为步长。在多数情况下，采用等步长，即。记（1.1）,(1.2)的为准确解为,记的近似值为,记为.。 求值问题数值解的方法是步进法，即在计算出后计算。数值的方法有单步与单步法之分。单步法在计算时只利用而多步法在计算时不仅要利用还要利用前面已算出的若干个。我们称要用到的多步法为步方法。单步法可以看作多步法，但两者有很大差别。步方法只能用于的计算，要用其它的方法计算；而且在稳定性上单性法比的多步法容易分析；此外单步法容易改变步长。单步法和多步法又都有显式方法和稳式方法之分。单步显式法的计算公式可写成 （1.9）隐式单步法的计算公式可写成 （1.10）在(1.10)中右端项显含。从而（1.10）是的方程式，要通过解方程求出。 显式多步法计算公式为 （1.11） 而隐式多步法计算公式为 (1.12)右端项含。多步法中一类常用方法是线性多步法 （1.13）其中是独立于和的常数。时（1.13）是显式的，时是隐式的。数值解法及到方法构造、误差分析、稳定性分析等内容。一些概念和定义在后面的论述中逐步引入。2 Euler的方法Euler方法是常微分方程初值问题数值方法中最简单的方法。Euler方法精度低，较少有直接使用。但我们通过Euler方法介绍离散化途径、数值解法中的基本概念、术语和加速方法等。2.1 显式Euler方法设节点为。初值问题（1.1）、（1.2）的显式Euler方法为 （2.1）其中。显式Euler方法可以用多种途径导出。导出方法1：Taylor展开法。将在点进行Taylor展开,得 （2.2）忽略这一阶项,分别用近似，和，得。结合初值条件即得（2.1）。导出方法 2：向前差分近似微分法。用向前差分近似微分，得 （2.3）将近似号改作等号，用近似，并结合初值条件即得（2.1）。方法3：左矩数值积分法。将（1.1）两边从到积分得 （2.4）用，近似、，数值积分采用左矩公式得，从而亦得（2.1）Euler方法有几何意义，如图8-1，式（1.1）,(1.2)的解曲线过点，且具斜率。从出发以为斜率作直线段，交于，显然。式（1.1）过的解曲线具有斜率从出发以为斜率作直线要交于，余类推。这样我们得到了一条折线，它在点的右侧具有斜率，与（1.1）过的解曲线相切。我们取折线，作为（1.1）、（1.2）解曲线的近似曲线，所以Euler方法又称折线法。2.2 隐式 Euler方法和梯形方法若将在展开、忽略项，用和分别近似，及，可以得另一计算公式 （2.5）（25）式称为隐式Enler方法。隐式Euler方法也可以利用向后差分近似微分或用右矩数值求积公式来建立。读者可自行推导。隐式 Euler方法(2.5)给出了要满足的方程，要通过解方程才能得到。在显式和稳式Euler方法中，忽略的项都是项，为了得到更高精确度的方法，我们可将取平均得当三次连续可微时,。忽略项，用分别近似，得 （2.6）（2.6）称为梯形方法。取这个名称的原因是利用梯形求积公式其中表示关于的全微分，忽略数值求积余项也可建立（2.6）。梯形方法也是隐式方法，要通过解（2.6）来得到。与（1.10）式中单步法公式相对应，显式Euler方法取隐式Euler方法取梯形方法取当在上满足基本条件，关于的Lipschitz常数为时，只要确定了唯一的；同样，只要（2.6）确定了唯一的。以（2.6）为例，当以为变量的函数在上关于满足Lipschitz条件，且Lipschitz常数为从而由第七章压缩不动点定理得方程有唯一点不动而且从任意出发，迭代 （2.7）都收敛到在实际计算中总希望有较好的，用较少的迭代步，取得有足够精度的。23 预估 校正Euler方法在实际计算中，的计算量比较大，往往取作为来用。我们称为的次迭代改进。最常用的方法之一是先用显式Euler方法所得的为，再用梯形方法改进一次 （2.8）方法（2.8）称为预估-校正Euler方法，或改进Euler方法。预估-校正Euler方法还可写成 （2.9）或 （2.10） 例1 用显式Euler方法，梯形方法和预估-校正Euler方法解初值问题解 取，Euler方法为 梯形方法为 预估-校正Euler方法为计算结果与准确解比较，列在表8-1中.表8-1Euler方法梯形方法预估-校正方法0.01.0000000.01.0000000.01.0000000.00.11.0000004.810-31.0047627.510-51.0050001.610-40.21.0100008.710-31.0185941.410-41.0190252.910-40.31.0290001.210-21.0406331.910-41.0412184.010-40.41.0561001.410-21.0700962.210-41.0708004.810-40.51.0904901.610-21.1062782.510-41.1070765.510-40.61.1314411.710-21.1485372.710-41.1494045.910-40.71.1782971.810-21.1962952.910-41.1972106.210-40.81.2304671.910-21.2490193.010-41.2499756.510-40.91.2874201.910-21.3062643.110-41.3072286.610-41.01.3486781.910-21.3675733.110-41.3685146.610-4数值例子表明，梯形方法和预估-校正Euler方法比显式Euler方法有更好的精度。24 单步法的局部截断误差、整体截断误差设所用单步法为 (2.11)定义2 设是(1.1)、(1.2)的准确解,称 (2.12)为单步法(2.11)在的局部截断误差.定义3 设是(1.1)、(1.2)的解,是单步法(2.11)的数值解,称为单步法(2.11)在点的整体截断误差;如果对充分小的成立 (2.13)常数独立于,就称方法(2.11)是阶方法. 定理4 若单步法(2.11)的局部截断误差是阶的,即独立于，而且函数在区域上关于满足条件 （2.14）则单步法（2.11）是阶方法。证明 由（2.12）和(2.11)得 即在上式中，我们假设（对显式方法来说任意）。令，简单推导可得 因此我们有当时，其中当在上满足基本条件时，单步法的收敛阶总是由局部截断误差的阶来确定的。对显式Euler方法来说，当解二阶连续可导时，其局部截断误差为若关于满足Lipschitz连续条件，Lipschitz常数为，则从而显Euler方法是一阶方法。对隐式Euler方法来说，可得对梯形方法，具局部截断误差为因此其整体误差满足梯形方法是二阶方法。分析局部截断误差的一种方法是利用Taylor级数展开法。若有 （2.15）则称为局部截断误差的主项。若局部截断误差的主项是的次幂项，则单步法是阶方法。分析预估-校正Euler方法的局部截断误差可以知道该方法是二阶方法。3 Taylor方法和Runge-Kutta方法提高单步法阶的途径是提高局部截断误差的阶。一个自然的想法是利用Taylor展开。3.1 Taylor方法设（1.1）、(1.2)的解充分光滑，利用Taylor展开有若取 （3.1）就有因此，Taylor方法（3.1）是阶方法。引进沿解曲线的全微分算子：规定 有 的各阶导数可以用的偏导数来表示，但随导数阶的提高，表达式越来越复杂，计算越来越困难。显式Euler方法是一阶Taylor方法。二阶Taylor方法为这儿采用了等步长，梯形方法和预估-校正Euler方法，不需要计算的偏导数，也达到了二阶收敛。这启示我们，可以用在一些点上值的线性组合来构造高阶单步法。这一类方法称为Runge-Kutta方法。32 Runge-Kutta方法的一般形式用个值的Runge-Kutta方法，称为级Runge-Kutta方法。一般显式级Runge-Kutta方法为 （3.2）其中 （3.3） （3.4）（3.3）和（3.4）式中的均为独立常数。若取 （3.4） （3.4）而且的不全零,对应的Runge-Kutta方法是隐式X级Runge-Kutta方法。在显式Runge-Kutta方法中，可依须序计算出来；而在隐式方法中要用解方程组来得到。级Runge-Kutta方法称为是阶的，若把展开成的级数形式。 （3.5）成立 。Runge-Kutta方法中的常数用下述原则来确定，使其阶达到最高。一般选择是达到最高。具体来说，选择使其阶达到最高。一般选择是使达到最高。具体来说，选择使3.3 常用低阶Runge-Kutta方法一级显式Runge-Kutta方法为时为一阶方法，就是显式Runge-Kutta方法。一级显式Runge-Kutta方法是唯一的。考虑二级显式Runge-Kutta方法用等分别表示它们在的值，有， 与Taylor方法对照，要求 （3.7） 才为阶方法。而在的系数中，偏导数出现的项数不一样多，从而不可能存在三阶的显式二级Runge-Kutta方法。二级显式Runge-Kutta最高是二阶的，即。显式二级二阶Runge-Kutta方法不唯一，（3.7）中四个参数满足三个方程，有无究多个解。若取对应计算公式为这就是预估校正Euler方法。若取对应公式为方法（3.8）称为中点方法。当取时，得Heun二阶方法：在显式三级Runge-Kutta方法中，待定参数共八个：。若是三阶方法，它们应满足（3.10）有解但解不唯一。不论如何选择这八个参数，不可能使三级显式Runge-Kutta方法成为四阶方法。若取得三阶Heun方法：另一个常用显式三级三阶方法是Kutta三阶方法：对于四级显式Runge-Kutta方法，类似的推导可以建立四阶方法。显式四阶四级Runge-Kutta方法不唯一，一个重要的代表是经典Runge-Kutta方法：算法8.1 经典Runge-Kutta方法本算法用经典Runge-Kutta方法求解初值问题。预先输入及区间等分数。置 （1）计算 （2）置（3）输出停机例2 用经典Runge-Kutta方法求解解 计算结果列在表8-2中。表8-2将例2与例1比较，可以发现经典Runge-Kutta方法的结果比Euler方法、梯形方法、预估校正Euler方法好得多。在相同步长下，经典Runge-Kutta方法的计算量是Euler方法的4倍，预估校正Euler方法的二倍。若经典Runge-Kutta方法步长为Euler方法步长取，预估校正Euler方法取，它们的计算量将大致相等，但经典Runge-Kutta方法仍比Euler方法、预估校正Euler方法好得多。3.4 其它Runge-Kutta方法对于的显式Runge-Kutta方法，可以得到阶的方法。也可建立低于阶的方向。当时，情况不同，可以证明不存在显式五级Runge-Kutta方法。设为显式级Runge-Kutt方法能够达到的最高阶，已经证明了的关系如下：1，2，3，45，6，78，9显式五阶Runge-Kutta方法至少是六级的，要比显式四阶Runge-Kutta方法每步多计算二次函数值，这是经典Runge-Kutta方法比较流行的原因之一。隐式Runge-Kutta方法，第步要解关于的方程组计算量比较大。当较小时，可以用简单迭代法求解。隐式Runge-Kutta方法有其优点，一是级隐式Runge-Kutta方法的阶可以大于，二是隐式Runge-Kutta方法的稳定性一般比显式方法好。4 单步法的进一步讨论在本节中我们讨论初值问题数值方法中的一些基本概念、术语和提高精度的途径。4.1 收敛性与相容性设求解初值问题（1.1）、(1.2)的单步法为当（4.1）的局部截断误差为时，只要关于变量满足Lipschitz条件，则数值方法（4.1）是阶方法定义4 如果单步法(4.1)生成的数值解，对任一固定均有则称方法（4.1）阶单步法是收敛的.将点展开得从而的必要条件是定义5 数值方法(4.1)称为与初值问题（1.1）、（1.2）是相容的，若(4.6)成立。当(4.1)是相容方法时，固定在两边对取极限，得即差分方程（4.7）趋向微分方程（1.1）。阶单步法全是相容的。已讨论过的方法是相容的方法。4.2 稳定性设数值方法（4.1）是相容的，当时，其中是（4.1）的数值解， 是（11）、(1.2) 的准确解。在实际计算中，避免不了舍入误差，由方法（4.1）计算所得值为为无任何舍入误差理论结果。然而误差在某些情况下会相当大。为此，我们引进稳定性概念：若在某步引入的吉入误差，在以后的传播中被压缩、衰减，就认为值方法（4.1）是数值稳定的；若在传播中被放大，就认方法（4.1）是数值不稳定的；若在传播中保持有界，总的误差是能被控制的，但当时，数值解可能不随增大而趋于零。我们约定这种情况下，方法（4.1）也不是数值稳定的。讨论数值方法（4.1）的数值稳定性，通常用试验方程来检验，其中为复常数。选择这一试验方程的理由，一是它比较简单，若对它，方法已不稳定，对其它方程也就靠不往；另外，一般方程（1.1）可局部线性化成这一形式：忽略项（时为高阶小量。令，化成了再平移一下，即化成了检验方程形式。对于微分方程若，则若，则解当时，衰减为0，我们称的试验方程是稳定的。 用数值方法（4.1）解试验方程（4.8）将得到 如果方法（4.1）是价的，则 从而是的一个逼近。若在计算中有误差，以后的计算全是准确的，则在中将有误差。为此引入下面的定义。定义6 若在（4.9）中则称方法（4.1）是绝对稳定的。在复平面上，变量满足的区域称为（4.1）的绝对稳定区域；绝对稳定区域与实轴的交称为绝对稳定区间。下面我们分析几种单步法稳定性。显式Euler方法：给出绝对稳定区域定区间为（-2，0）。隐式Euler方法：。对任意隐式Euler方法对任意长是稳定的。梯形方法:对一切，方法稳定。预估校正Euler方法。绝对稳定区间是（2，0）上面的例子表明，隐式方法稳定性比显式方法好。经典Runge-Kutta方法：它的绝对稳定区间为（）。若方法（4.1）不是对任意都是绝对稳定的，必须取足够小的步长，使落在绝对稳定区域内，数值解才具有数值稳定性。4.3 均匀步长重复Richardson外推法对均匀步长我们用表示，。定理5 （H.J.Stter）若表示数值方法（4.1）的结果，而方法（4.1）是阶的，则有因此，重复Richardson外推法，可按来进行。例3 对初值问题的Euler方法，结合重复Richardson外推，计算。解 。用计算出的近似值为。利用的重复Richardson外推，得的精确值为，而可见Richardson外推法重复利用可以有效地提高解的精度。4.4 变步长自动选择通常在单步法（4.1）时，采用等步长。在许多情况下，方程（1.2）,(1.2)的解可能在求解区间的某些部分变化平缓，而在另一些部分变化剧烈。若用等步长进行计算，必须用很小的步长才能达到误差要求。若在解变化平缓处用较大的步长，在解变化剧烈处用较小步长，可以用较小的计算量达到误差要求，同时还避免不必要的误差积累。下面我们研究一种变步长的步长选择法。记以步长计算，得到处数值解：再以步长计算二步得处数值解： （4.10）当方法（4.1）的局部截断误差为阶时，有在的前提下，有 对给定允许误差,我们判断 (4.12)是对成立。若不成立，步长减半，直到使（4.12）成立；若对初始的，（4.12）成立，将放大一倍，取使（4.12）成立的最后一个。我们取 （4.13）当我们在（4.12）成立的基础上，取时，已能保证。当采用（4.13）中的时，精度更高。变步长单步法步长的选择方法还有Runge-Kutta、Fehlderg方法，也称嵌入法。其他方法，有兴趣的读者可以参看有关文献。5 Adams方法和一般线性多步法单步法在计算时，只用到了。当时，都是已知值。充分利用已有数据，提高计算效率的一个途径是利用线性多步法。线性多步法的典型代表是Adams方法，线性多步法的数值稳定性比较复杂，将作专门讨论。5.1 Adams方法用等步长来数值求解（1.1）,(1.2),，为正数。设已用某种方法求出来了。已是知道。步显示Adams方法用经过点的插值多项式来近似并取我们就建立了步显式dams公式其中利用插值多项式余项,我们有定义7 对于线性多小法我们称为该方法的局部截断误差,并称为局部截断的主项。称线性多步法（5.4）是阶方法。根据定义，步的显式Adams方法是阶方法。其局部截断误差的主项为我们将几个低阶显式Adams方法的公式及主局部截断误差的系数例在8-3中。表8-3步数方法阶公 式12341234步隐式Adams方法：用经过点的插值多项式来近似在进行数值积分，可以得到步隐式Adams方法其中系数由下述积分给出 （5.8）利用插值多项式余项公式，可得步隐式Adams方法的主局部截断误差为 （5.9）其中主项系数从而隐式步Adams方法是阶方法。几个低阶隐式Adams方法的公式及主局部截断误差的系数列在表8-4中。表8-4步数方法阶公 式12233445显式一步Adams方法就是显式Euler方法，隐式一步Adams方法就是梯形方法。常用Adams方法是四阶方法：四步显式Adams方法和三步隐式Adams方法。初始的几个值，用经曲Runge-Kutta方法生成。例4 分别用四阶Adams显式和稳式方法解初值问题取。解 。四阶显式Adams方法计算公式为四阶稳式Adams方法计算公式为初始点用准确解的值。计算结果列在表8-5中。表8-5Adams显式误差Adams隐式误差0.31.040818012.110-70.41.070322922.910-61.070319663.810-70.51.106535484.810-61.106530145.210-70.61.148818416.810-61.148811016.310-70.71.196593398.110-61.196584597.110-70.81.249338169.210-61.249328197.710-70.91.306579611.010-51.306568848.110-71.01.367889961.110-51.367878608.410-7在例4中，所用方法都是四阶方法，但隐式方法所得结果的误差要小得多，这是由于主局部截断误差的系数，隐式的比显式的小。当不是的线性函数时，隐式Adams方法（5.7）是的方程，要用迭代法或Newton法求解。常用的计算方法是用显式Adams方法作预估，再用隐式Adams方法作校正，通常校正一次。预估-校正Adams方法（四阶）是下述方法： （5.11）方法（5.11）实质上是五阶方法。在用方法（5.11）进行计算时，而可以用四阶经典Rumge-Kutta方法进行计算。算法8.2 预估-校正-改进四阶Adams算法。本算法用预估-校正-改进四阶Adams方法计算初值问题。输入：端点及区间等分数，初值。输出：解在个点的近似值1，输出，计算2.对做到第步（用Runge-Kutta方法算起始值）；3.置 4.置5.计算，输出；6.对做到第9步；7.置 8.置9.输出；10.停机。5 2般线性多步法一般步线性多步法为 （5.12）其中是独立常数不全为零。它的局部截断误差为 （513）的方法（5.12）是显式方法，时是隐式方法。Adams方法是线性多步法的一个代表，它是利用插值多项式进行积分得出来的。数值求积是构造线性多步法的一种途径。例如，由Simpson求积公式有 对应的数值方法 （5.14）称为Simpson方法。Simpson方法的局部截断误差为Simpson方法是四阶方法。若用过的插值多项式近似，并从到求积，可以建立数值方法： （5.15）方法（5.15）称为Milne方法，它是四阶显式线性多步法。构造线性多步法的另一重要途径是利用Taylor展开。将（5.12）中的写成，并将所有项全在进行Taylor展开，比较两边相同幂次前的系数，若 （516）则方法（5.12）是阶方法,主局部截断误差项为其中一般应用的线性多步法都是大于或等于一阶的方法,这样的方法亦称为与微分方程(1.1)相容的方法。构造阶方法的方法是选择参数(隐式时),使(5.16)中的为.例 5 推导最高阶的二步线性多步法.解 二步显式线性多步法为共四个可选参数。若令解得。因为我们得阶数最高的二步显式线性多步法为 （5.17）其主局部截断误差为是三阶方法。二步隐式线性多步法为共五个可选参数。若令可解得。对应方法为Simpson方法，是已知的四阶方法。从理论上讲，可以构造阶的显式步线性多步法和阶的隐式步线性多步法。但是线性多步法与单步法有很大不同，不是所有相容线性多步法都可以应用。线性多步法的收敛性和稳定性在下一节中作详细讨论。如同预估-校正-改进Adams方法一样，利用两个同阶的显式多步法和稳式多步法，可以构造预估-校正-改进线性多步法。例如，利用四阶Milne方法（显式）和四阶Hamming方法（四阶）可以合成预估-校正-改进方法： （5.18）（5.18）也是一种应用较广泛的算法。6 线性多步法的收敛性与稳定性61* 常系数线性差分方程在线性多步法的分析中要用到常系数差分方程解的表达式和性质。阶齐次线性差分方程是指方程 （6.1） 其中为常数，。如果给出了则由（6.1）可递推确定，并称为（6.1）的解。我们下面给出（6.1）解的表达式。用表示位移算子，即（6.1）可以写成，其中算子为表示恒等算子。当时其中称为阶齐次线性差分方程（6.1）的特征方程:当是特征方程(6.3)的根时，是阶齐次线性差分方程（6.1）的一个特解。若（6.3）有个不同实根，则（6.1）的通解为其中为任意常数。当给定后，（6.4）中的参数被唯一确定：当特征多项式的根中有共轭复根时，差分方程（6.1）的通解中含有项其中为任意常数。如果是特征多项的重根，则其中是某个次数为次的多项式。于是对任意有经简单推导，有或为任一次数低于的多项式。综上所述，若特征多项式（6.3）有个不同的根，其重数为则（6.1）的通解为 （6.4）其中是次多项式，系数任意。如果有复根，例如，则（6.4）中的代之以其中对于给定的初始值多项式的系数可被唯一确定，从而（6.1）的解被确定。当特征方程（6.3）的所有根全在开单位圆盘内，即，时，不论如何给定，恒有若 （6.5）当，且模为1的根全是单根时，有 （6.6）为有限数。（6.6）表示有界。当特征方程（6.3）有模在于1的根或有模为1的重根时，存在，使 （6.7）例6 求差分方程的解的表达式。解 差分方程的特征方程为，恰有两个互异根。差分方程的通解决 为。由解得。所求差分方程的解为。6.2线性多步法的方法稳定性设线性多步法为 （6.8）引进多项式 （6.9） （6.10）（6.9）中的多项式称为线性多步法（6.8）的特征多项式。定义8 设线性多步法（6.8）的特征多项式的根为若且模为1的根都是单根，则称线性多步法（6.8）满足根条件。定理6 设满足基本条件，线性多步法（6.8）是阶方法，则方法（6.8）收敛的充分必要条件是满足根条件。在例5的方法中，显式线性二步法为它的特征多项式是 。特征多项式的根为，不满足根条件。例5中的显式线性多步法虽是三阶方法，但不具有收敛性，不能应用。在上一节中介绍的其他线性多步法，都满足根条件。满足根条件的线性多步法，当时，数值解收敛到准确解。不满足根条件的线性多步法，舍入误差会随计算步数增加而呈指数增长，截断误差也随步数呈指数形式影响解。满足根条件的线性多步法，我们称为稳定的方法。6.3*数值稳定性一个线性多步法称为数值稳定的，若解是衰减的，数值解在任一步产生的舍入误差，在以后的计算中，误差被缩小，衰减。否则，我们称该方法为数值不稳定的。数值稳定性不仅与数值方法有关，也与具体使用的步长有关。当方法本身不稳定时，对任何步长不具有数值稳定性；当方法是稳定时，也不是对所有步长具有数值稳定性。对于试验方程 （6.11）线性多步法（6.8）对应的特征方程为（6.12）记，（6.12）的个根为。由6.1节的讨论知，当时，误差在计算过程中逐渐衰减，从而是数值稳定的。当时，方法不是数值稳定的。一个线性多步法，若对任意都不是数值稳定的，这个线性多步法不能直接使用。（6.12）的根连续依赖于。在复平面上使的所在区域，称为该方法的绝对稳定区域，绝对稳定区域与实轴的交，称为绝对稳定区间。例7 讨论Simpson方法的数值稳定性。解 Simpson方法的特征方程是两根为总有一个根的模大于1。所以Simpson方法是方法稳定而数值不稳定，不能直接使用。1至4步的Adams显式和隐式方法的绝对稳定区间如表8-6所示。表8-6步数显式Adams方法隐式Adams方法1（-2，0） 2（-1，0） （-6，0） 3 （-3，0） 4 从表8-6可以看出，同阶的隐式Adams方法比显式Adams方法数值稳定性要好。在选用线性多步法时，要检验是否满足根条件，在确定步长时，要控制步长的大小，要在时，要落在绝对稳定区域内。对那些对所有步长都不具数值稳定性的方法不能简单地单独使用。单步法的稳定性与多步法的稳定性是协调一致的。线性多步法中讨论的方法稳定性和数值稳定性，完全适用于单步法。所有单步法都满足根条件。在数值稳定性的定义上，除了我们这里介绍的绝对稳定性，还有A稳定性，一个方面法称为稳定的，若该方法的绝对稳定区域，包含了以负方向为轴线的与轴夹角为的锥形。例如隐式Euler方法是稳定的。7 一阶方程组初值问题数值方法7.1 数值方法推广到方程组对于一个阶常分方程组初值问题其中可以将前面讨论过的求解的各种有效方法推广到方程组。列如显式等步长Euler方法为其分量形式为这儿约定。经典Runge-Kutta方法为写成分量形式为:式4阶Adams方法为分量形式也很容易写出。其它方法也可类似地直接写成向量形式，应用于方程组。隐式方法应用方程组时，得到的是一组关开个分量的方程组，通过解方程组来求得。高阶常微分方程初值问题，通过转化成一阶常微分方程组初值问题来求