《概率统计教学资料》5-9节(生物、心理、药学、中药)第2章随机变量及其分布.ppt

2019/4/30,1,2019/4/30,1,2019/4/30,1,在实际问题中，可能遇到多个随机变量的情形，如：,1) 射击问题中,对于弹着点往往需要横坐标和纵坐,标描述;,2) 研究学龄前儿童的发育情况，观察身高,体重等;,3) 具体评价产品的质量,可能有多个评价指标如尺,寸,外形,外包装等.,二维随机变量,2019/4/30,2,2019/4/30,2,2019/4/30,2,1）定义： 设 E 是一个随机试验，它的样本空间是S=e， 设 X=X(e) 和 Y=Y(e) 是定义在 S 上的随机变量。 由它们构成的一个向量 (X, Y) ，叫做二维随机 向量，或二维随机变量。,S,e,X(e),Y(e),二维随机变量及其分布函数,2019/4/30,3,2019/4/30,3,2019/4/30,3,注 意 事 项,2019/4/30,4,2019/4/30,4,2019/4/30,4,定义 若X, Y均为离散随机变量，则 (X,Y ) 为二维离散随机变量,且,二维离散随机变量,1. 二维离散随机变量的联合分布律,为(X，Y)的分布律或联合分布律.,2019/4/30,5,2019/4/30,5,2019/4/30,5,Y,X,其中,2019/4/30,6,2019/4/30,6,2019/4/30,6,例1 一枚硬币一面刻有数字1，另一面刻有数字2. 将硬币抛两次，以X表示第一次、第二次出现的 数字之和.以Y表示第一次出现的数字减去第二次出 现的数字，求（X,Y）的分布律，P(X+Y2).,解：,所有样本点(1,1), (1,2), (2,1), (2,2),对应的X取值为：2， 3，3，4,Y取值为：0，-1，1，0,2019/4/30,7,二维连续随机变量,1. 二维连续随机变量,定义 设X, Y均为连续随机变量，,2019/4/30,8,联合概率密度的性质：,这个公式非常重要！,几何解释,随机事件的概率=曲顶柱体的体积,2019/4/30,9,二维离散型R.v.的边缘分布,X的边缘分布,Y的边缘分布,2019/4/30,10,设二维随机变量（X, Y）的联合概率分布如下,例1,解：,求随机变量X与Y的边缘概率函数。,2019/4/30,11,二维连续随机变量的边缘分布,2019/4/30,12,=P(-X+ ,Yy),2019/4/30,13,特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义分别等价于,相互独立的随机变量,定义 . 设X,Y是两个随机变量，若对于任意实数a,b (ab), c,d(cd), 有 P(aXb, cY d)= P(aXb) P( cY d) 则称X，Y相互独立。,2019/4/30,14,在实际问题或应用中，当X的取值与Y的取值互不影响时，我们就认为X与Y是相互独立的，进而把上述定义式当公式运用., 在X与Y是相互独立的前提下，,边缘分布可确定联合分布！,实际意义,补充说明,2019/4/30,15,例1,解：由联合概率分布的性质知0, 0, 且,2/3+ +=1,即 +=1/3,由X,Y相互独立,有,2019/4/30,16,例3 某种保险丝的寿命(以100小时计)X服从参数为3的指数分布。 （1）有两根此种保险丝，其寿命分别为X1, X2设X1, X2相互独立，求X1, X2的联合概率密度； （2）在(1)中一根保险丝是原装的，另一根是备用的，备用保险丝只在原装保险丝熔断时自动投入工作，于是两根保险丝总的寿命为X1+X2，求概率P(X1+X21).,解: X1, X2相互独立, 故X1, X2的联合概率密度:,2019/4/30,17,随机变量函数的分布,一、一维随机变量函数的分布,求Y=X2-1的分布律,例1 设随机变量X的分布律如下，,解：Y的所有可能取值为0,3,8,2019/4/30,18,例2. 一提炼纯糖的生产过程，一天可生产纯糖1吨，但由于机器损坏和减速，一天实际产量X是一个随机变量,设X的概率密度为,解：分别记X，Y的分布函数为,一天的利润Y=3X-1，Y也是随机变量，求Y的概率密度。,解: (1)因为X在(0, 1)上取值，所以Y=eX 在(1，e)上取值。,2019/4/30,19,例3. 设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布， (1)求随机变量Y=eX的概率密度;,上式对y求导数，得Y的概率密度为,例3. 设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布， (2)求Y=-2lnX的概率密度。,解: (1)因为X在(0, 1)上取值，所以Y=-2lnX 在 (0，+)上取值。,2019/4/30,20,上式对y求导数，得Y的概率密度为,2019/4/30,21,习题二(P70)：13,14,17(1),22,23(写出联合概率密度)，24，27,作业,2019/4/30,22,思考题,2019/4/30,23,备用题,1.,解,2019/4/30,24,2019/4/30,25,2.,解,2019/4/30,26,2019/4/30,27,2019/4/30,28,3.,设随机事件A,B满足,求(X,Y)的分布列.,解,2019/4/30,29,所以(X,Y)的联合分布列为,2019/4/30,30,所以(X,Y)的联合分布列为,2019/4/30,31,4.,在长为a的线段的中点的两边随机地各取,独立，它们的联合密度函数为,Y为线段中点右边所取点到端点0的距离，,一点，求两点间的距离小于a/3的概率.,2019/4/30,32,图2.2的阴影部分，因此，所求概率为,2019/4/30,33,5.,设随机变量(