计量地理第四章时间序列分析.doc

第四章 时间序列分析 每一个时间序列都是事物变化过程中的一个样本，通过对样本的研究、分析，找出过程的特性、最佳的数学模型、估计模型中的参数，检验利用数学模型进行统计预测的精度。 如同描述随机变量一样，利用随机过程的一些数字特征来描述随机时间序列的基本统计特性。 地理要素的空间分布规律是地理系统研究的中心内容。 但是空间与时间是客观事物存在的形式，两者之间是互相联系而不能分割的。 因此，我们常常要分析要素在时间上的变化，在地理系统研究中，就称为地理过程。 据此来阐明地理现象发展的过程和规律。1.通过对时间序列的研究，阐明对象发展的过程和规律。 现在的现象，往往必须从历史发展中寻找原因和依据。 这和其它学科是共同的。2.时间上的变化是地理系统的本质特征。 很难找到在时间上不发生变化的地理系统，不同地区的不同变化速率，构成空间变化的主要特征。.空间差异有时还可以理解为特定区域地理系统或其要素的时间上变化在区域上的“投影”。对同一种要素在一定时期的连续观察就确定出现象的时间序列。 许多时间序列的分析都是利用图解法来解决的。 在这种图象中，横轴是时间测度，纵轴是所研究的要素的数值。第一节 时间序列分析基本方法 时间序列分析是地理预测的过程，主要研究地理要素及地理活动的时间变化趋势、季节变化、周期变化和不规则变化等规律。一、图象法 时间序列图象有两种表示方法： 严格地说，线状图只能用于图象上与变量数值有关的每一点都与时间相对应的情况，例如逐日平均气温图象、人口增长图象等等。 如果变量数值是与各个时段有关，例如：月雨量、年出生率、24小时客流量，这种情况则用柱状图象表示更为合适。 但是，线状图也常用于表示与时段有关的变量。 这是因为线状图容易画、省时间，并且几条线可以叠加在一起，易于比较其趋势。 不过应该注意，不能用与时段有关的线状图进行内插求值。 这是因为一个时段内的每一点，并没有相对应的值。 比如，从年出生率线状图中，不能求出瞬时的或日、月的出生率。 与瞬时相应的数据，作图时，把点连成线。 在解释和构成这种连点线时，也要注意：如果可以确信两次观察之间数值的变化是逐渐而平稳的（如全国人口），那么其图象显然是接近于平滑曲线。 这种情况下可以内插求两次观察中点的值。 但是，如果两次观察值之间有很大波动（已知的或可能推想的），比如牲畜的数字，这种线状图就不能用来内插求值。 它只能说明两次观察值之间的趋势和发展的速度，并且每点之间是用直线联结的，而不能用曲线联结。 数字变化，在某种情况下是我们所采用的测度单位的函数。 如果忘记这一点，就会做出错误的结论。二 .指数数据 通常比较比例变化比比较绝对数更有意义。 这时，可以不考虑测度单位的影响（消除量纲）。 利用指数数据是测度和表示比例变化的一种方法。 这种方法选择一个基础年，其它各年以它对基础年的百分比表示（常以基础年为100）。 指数是以对基础年的百分比来表示的，所以即使两个要素量纲不同，难于在一个坐标图象上进行比较，化为指数后，便可以直接对比。三、对数比例尺 地理过程增长或降低的速度（比率）有三种基本情况： 一是随时间依固定的数值变化，所谓等速增长或等速运动； 二是非等速的增长，它的增长率有规律地发生变化； 三是其它形式。 在算术比例尺上，以固定的间距表示实际数量； 在对数比例尺上则以固定的间距表示不同的比率。 如果时间序列是用对数比例尺来描述和刻划，则通常采用半对数图纸，其纵轴是对数比例尺，其横轴则是时间测度，用算术比例尺。 如果两轴都是对数比例，则称为“重对数”纸。 单位时间内按固定比率增长的图象，在算术比例尺图象中表示为一条逐渐变陡的曲线，而在半对数图象中，就表示为一条直线。 半对数纸上的直线斜率（即算术比例尺图象上曲线每一点的斜率）就是增长率的直接测度。 当要素数值在各等距时段以近似几何级数增长时，可以用对数比例尺绘制成直线。 这样，有利于对增长率不同的要素直观地进行比较。 显然，所绘制的直线，斜率越大，增长率越高。 许多经济现象，常具有几何级数增长的趋势。 利用对数比例尺作出时间序列图，对分析问题是有利的。 在普通的方格纸上，也可以自己绘制对数比例尺。步骤如下：1.先计算出每一小方格所表示的增长率。2.再计算纵坐标。 假设，纵坐标的上限为a，纵坐标起点为b；a与b之间共占N小格。 已知的数值为X。 计算它的纵坐标（由b起算的小格数为t），则有： N a/b = r brt = x rt = x/b t = (x/b)/r第二节 时间序列趋势分析一、趋势与波动 要素数值随时间的变化可能是稳定上升或稳定下降的，也可能是从一个观察到下一个观察表现为明显的、强烈的随机波动。时 间 序 列时间序列分析第一步，画出趋势线。 最简单的方法是折半平均值,即取时间序列的上半部数值求出平均值,再取下半部数值求出平均值,它们的连线就是趋势线,把趋势线与实际曲线合在一起,表示在图上。 许多地理资料在一时间标度上，连续数值间出现很大的振动。 为了滤去资料中的一些短期的不规则的变化，找出较长时间的变化规律，要研究某一地理要素的变化趋势或变化周期，常用滑动平均的方法。第二步,滑动平均法 减少不规则波动的影响，找出其变化的规律和趋势。 滑动平均就是连续、重叠分组算术平均值。可以按三年为一组，也可以取五年为一组。 运用滑动平均方法求周期以及用趋势线作预测时，应注意以下几点：1.不是所有的时间序列都具有周期性因素 但滑动平均使连续观察之间的异常变化趋于平滑，并因此而揭示出短时间的趋势（这种趋势与趋势线所表示的永久性趋势相反），这还是很有用处的。2.如果滑动平均曲线呈现为规则波，其波幅不是现象本身的周期的波幅 因为滑动平均曲线的波幅一般来说比现象本身周期（以一年为基础）的波幅大。 如果求平均的年数等于波长，结果振幅就会接近于0。3.可以用趋势线预测时间序列的数值，但只有假定过去起作用的因素仍然保持不变，作用的预报才是可信的。二、用最小二乘法求趋势线 用折半平均的方法作趋势线，比较简单易行，对于很多研究，特别是轮廓性的分析，已经可以满足要求了。 更精确的方法有最小二乘法，即使观察数值与相应的趋势线上的数值之间的离差平方和达到最小,这是估计趋势方程参数的最佳拟合的方法。 这一方法的数学基础为 (y-yc)2 最小 对于线性趋势方程 yc = mx + c 则有: (y- mx-c)2 最小 三、指数序列或对数趋势线 地理现象的时间序列，即地理过程，有许多是依算术级数的规律变化的。因此，它的趋势线表现为近似于直线形态。 但是更多的现象及其过程是依几何级数的规律变化的，它的趋势线不是直线形态，而是具有指数增长的形式。 在这种情况下，线性的趋势线就不能刻画过程的特征和规律。我们用海平面变化数据作分析。 可见无论用何种方法作的直线趋势线，对图上的点都拟合得不太理想。 显然这是由于数据更接近于指数函数曲线所造成的，应该用此曲线拟合则较好。 但是这种曲线趋势线很难画出来，用最小二乘法作曲线趋势线就更难了。 为了解决这个问题，就要对数据作一次变换，也就是把非线性的过程，通过某种变换，使之线性化，成为线性序列。 在本章第一节对数比例尺中已涉及这个问题。 如果变量是以指数形式增加的，则对它取对数，就会转变成线性增加的形式。 通过对数据取对数，就得到近似于线性的时间序列。 可以看出，线性趋势线对经过对数变换后的数值点拟合得相当好。用最小二乘法作趋势线的步骤如下：四、自回归趋势模型 和对数自回归趋势模型 地理要素在时间上的变化，有的具有当前变化受它的前期状况的影响的特殊性质。 例如在雨季中，前期降水状况直接影响其继后日期的降水量； 在经济系统中，前期商品零售对继后日期的商品零售客有影响； 在生产系统中，前期生产量水平是后继时期生产量的重要影响因素。假设时间t时期地理要素的数量为yt,则其前期数量为yt-i(i=1,2,n),其自回归趋势模型为:线性关系时: yt = b0+b1yt-1指数函数关系时:lnyt = b0+b1lnyt-1第三节 广义时间序列及其采样 对时间序列可以有广义的理解。如有一组地理要素数值x(t),是在t=t1t2t3tntN观察所得的有序数据，我们称这一有序数集合为时间序列。 在地理研究中，对时间序列的观测，一般采取等距采样，即等距间隔t上测量或统计地理要素的数值。 t应满足研究所需的精度。 采样时，可以根据地理系统要素分析的需要采用不同的方法。常用的方法有：1、直接采样 根据t1,t2,t3,tn,tN直接观测或统计地理要素数值。 这种采样的方法是地理研究中最常用的。2、累积采样 根据t1,t2,t3,tn,tN观测或统计各等距间隔的累计数值。 这种采样或统计方法适合于分析前期数值在继后时期内保持意义的、有累积效率的地理要素。、特征采样 根据研究的需要，按等距t观测要素的统计特征数值。 这种采样方法适用需要根据统计特征数作分析的地理要素。 选取适当的t和确定反映地理要素的采样方法，是时间序列分析取得成功的重要前提。 时间序列分析是地理统计分析中的重要分支，这里只是初级的、目前常用于地理研究的内容。 复杂的时间序列分析方法涉及随机过程的理论和方法，计算也很复杂，如分离趋势部分与周期部分，计算谱密度等，以后需进一步学习。第四节 周期分析一.周期分析概述 许多地理现象具有波动的特性,并具有一定的周期性。 周期现象在数据中的表现是：当自变量沿某一方向单调变化（例如越来越大或越来越小）时，在一定的自变量变化间隔里，应变量出现上下波动、往复变化，这一变化过程称为周期过程。 最常见的周期过程是时间序列的周期过程，亦即以时间为自变量，以某一个物理量为应变量，随着时间的推移，该物理量不断地由小变大再由大变小。每完成一次循环所需的时间称为该物理量的变化周期。 描述周期现象的最常用周期函数是谐波函数，它是用正弦或余弦函数表示的： y(t)=asin(wt+q) (a0, w0)式中：a振幅，w圆周率，q初位相周期t=2 /w,频率f=1/t。 根据各种不同周期、不同初位相、不同振幅谐波的合成，可以得到各种各样的图形。 傅里叶级数就是这样一种由若干个正弦和余弦项组成的周期函数的最适当的数学表达式。 在二维情况下，可以利用傅里叶级数对任何形态的曲面进行拟合，通常称之为调和趋势面分析。 这里主要讨论用谐波分析对时间序列进行周期分析，找出可用于预测主要周期的方法。二、谐波分析的基本数学模型 任一时间序列y(t)都是由许多不同波长的正弦函数迭加而成的。 在理论上，傅里叶级数可以包括无穷多个分波，但是对于实际上的时间序列不可能进行无穷分波，而只能用k个波去逼近。 对于等间隔的n个数据点可以