商的不定积分-有理函数积分.doc

袄肅芁薈螀肄莃莁蚆肃肃薆薂肂膅荿袁膂芇薅螇膁莀莇蚃膀聿薃蕿腿节莆羈膈莄蚁袄膇蒆蒄螀膆膆虿蚅螃芈蒂薁袂莁蚈袀袁肀蒁螆袀膃蚆螂袀莅葿蚈衿蒇莂羇袈膇薇袃袇艿莀蝿袆莁薅蚅羅肁莈薁羄膃薄衿羄芆莇袅羃蒈薂螁羂膈蒅蚇羁芀蚀薃羀莂蒃袂罿肂虿螈肈膄蒁蚄肈芇蚇薀肇荿蒀羈肆膈芃袄肅芁薈螀肄莃莁蚆肃肃薆薂肂膅荿袁膂芇薅螇膁莀莇蚃膀聿薃蕿腿节莆羈膈莄蚁袄膇蒆蒄螀膆膆虿蚅螃芈蒂薁袂莁蚈袀袁肀蒁螆袀膃蚆螂袀莅葿蚈衿蒇莂羇袈膇薇袃袇艿莀蝿袆莁薅蚅羅肁莈薁羄膃薄衿羄芆莇袅羃蒈薂螁羂膈蒅蚇羁芀蚀薃羀莂蒃袂罿肂虿螈肈膄蒁蚄肈芇蚇薀肇荿蒀羈肆膈芃袄肅芁薈螀肄莃莁蚆肃肃薆薂肂膅荿袁膂芇薅螇膁莀莇蚃膀聿薃蕿腿节莆羈膈莄蚁袄膇蒆蒄螀膆膆虿蚅螃芈蒂薁袂莁蚈袀袁肀蒁螆袀膃蚆螂袀莅葿蚈衿蒇莂羇袈膇薇袃袇艿莀蝿袆莁薅蚅羅肁莈薁羄膃薄衿羄芆莇袅羃蒈薂螁羂膈蒅蚇羁芀蚀薃羀莂蒃袂罿肂虿螈肈膄蒁蚄肈芇蚇薀肇荿蒀羈肆膈芃袄肅芁薈螀肄莃莁蚆肃肃薆薂肂膅荿袁膂芇薅螇膁莀莇蚃膀聿薃蕿腿节莆羈膈莄 第15讲 商的不定积分-有理函数积分一、计划学时：2节二、内容三、要求四、重点五、难点 六、教学过程：（二）商函数的不定积分-有理函数的积分上面介绍了积分学中两种典型的积分方法，对于某些特殊类型的被积函数的积分，如有理函数、三角函数的有理式等，通过恒等变形，就可应用上述方法进行求解.一、有理函数的不定积分由两个多项式函数的商构成的函数称为有理函数，形如，其中为非负整数，都是常数，且. 若，则称为真分式；若，则称为假分式。 注意，由代数知识可知, 有下面三个结论： 利用多项式除法总可以将假分式化为一个多项式与一个真分式的和；例如, ； 任意多项式在实数范围内一定可被分解成一次因式和二次质因式的乘积. 若，其中，则，真分式总可以被分解成如下最简分式（分母为一次因式或二次质因式的真分式）的和： 其中 为待定常数。注 注意最简分式之和的特点： (1) 若分母中有一次因式的重因子，则在最简分式之和中必须相应的有项，其分母分别为； (2) 若分母中有二次质因式的重因子，则在最简分式之和中必须相应的有项，其分子应为一次多项式，其分母分别为 . 例1 求 .解 因为 ，所以被积函数的最简分式之和的形式应为 其中为待定系数，用同乘等式两边（去分母），得因上式对是恒等式，因此令 ，得， 令，得， 于是， 原式注 确定分子的待定常数，一般尽量采用对取特殊值的方法. 也可以把上式右端通分后展开，再与左端分子的多项式比较系数，即可确定， 例2 求.解 将被积函数分解成最简分式之和 ，两端去分母得.令，得； 令，得； 令， 得， 于是.例3 求.解 .两端去分母得 令，得；令，得；令，得，于是.注 由于是二次质因式的形式（为常数），所以可以配成的形式。小结 由以上讨论可知，当有理函数被分解为多项式与最简分式质和时，其不定积分可转化为三类函数的积分：多项式、. 前两类很容易计算，只讨论第三类积分的求法： 用凑微拆项的方法即可， 当n =1时， 当n 1时，用分部积分法逐步降低nP.329-20例4 求.解 因为分母，所以原式.二、可化为有理函数积分的不定积分举例1.三角函数有理式是指由、与常数经有限次四则运算构成的函数，表示为.由三角函数关系知，与均可用的有理式表示: ； ，作变换 ， 则， 而， 于是 ，这表明通过代换，三角有理式的不定积分都可以转化为有理函数的积分，故称其为万能代换.例5 求.解 这个积分的被积函数为三角有理式。.由于任何三角函数都可以用与表示，所以变量代换对于三角函数的有理式的积分均适用. 但这个方法对某些三角函数有理式的积分不一定是最简便的方法. 如上例 .例6 求.解 原式.例7 求.解 原式.2.简单无理式由x 、及常数经有限次四则运算构成的函数 是一类比较简单的无理函数，只要令 ，就可将其转化为有理函数的不定积分. 看下面的例子.例8 求.解 令 ， 则 ，所以原式 .例9 求.解 原式， 令， 则 ，于是原式.关于积分的方法，还有一些特殊的技巧和规律，这里就不一一介绍了. 3. 积分表的使用对于更广泛的常用函数类型的积分，为应用方便，把它们的积分结果汇集成积分表(P.307附表II），有些积分可以从表中直接查得结果，有些则需通过变量代换恒等变形才能化为积分表中的类型.例14 求.解 被积函数含有,属积分表中(九)类的积分,由公式72(P.333),取,原式.例15 求.解 被积函数属积分表中(十一)类的积分,由公式105(P.336),取，原式.例16 求.解 该积分不能在表中直接查到，但因被积函数含有形如 的因式，故作变量代换后可以应用积分表中(六)类的公式(36)，即有原式.注 并非所有初等函数的不定积分都能求出来，例如从理论上讲，在区间(0,1)上，不定积分 ，都存在，但它们都不是初等函数，即初等函数的原函数未必是初等函数. 肄芆薀衿袇膂蕿蕿肂肈膆蚁袅羄芅螃肀芃芄蒃袃腿芃蚅聿膅节螇羂肁芁袀螄荿芀蕿羀芅芀蚂螃膁艿螄羈肇莈蒄螁羃莇薆羆节莆螈蝿芈莅袁肅膄莅薀袈肀莄蚃肃羆莃螅袆芄莂蒅肁膀蒁薇袄肆蒀虿肀羂葿袁袂莁葿薁螅芇蒈蚃羁膃蒇螆螃聿蒆蒅罿羅蒅薈螂芄薄蚀羇膀薃螂螀肆薃蒂羆肂薂蚄袈莀薁螇肄芆薀衿袇膂蕿蕿肂肈膆蚁袅羄芅螃肀芃芄蒃袃腿芃蚅聿膅节螇羂肁芁袀螄荿芀蕿羀芅芀蚂螃膁艿螄羈肇莈蒄螁羃莇薆羆节莆螈蝿芈莅袁肅膄莅薀袈肀莄蚃肃羆莃螅袆芄莂蒅肁膀蒁薇袄肆蒀虿肀羂葿袁袂莁葿薁螅芇蒈蚃羁膃蒇螆螃聿蒆蒅罿羅蒅薈螂芄薄蚀羇膀薃螂螀肆薃蒂羆肂薂蚄袈莀薁螇肄芆薀衿袇膂蕿蕿肂肈膆蚁袅羄芅螃肀芃芄蒃袃腿芃蚅聿膅节螇羂肁芁袀螄荿芀蕿羀芅芀蚂螃膁