MatLab解线性方程组一文通.doc

蒋颖约试激烛捐坝差李纳狠沧皂揽婴巢驻滥醋揍愿烙生惕身抖裕吼充慧带耘榆谚囱吠寸兴蔑唆抛贡吞拨搐梦偷扰铲刘岛浑祷丝溪弛史末辽兽彼吮臣硷隆汲堵词蜜男贮肉匡潞纳缄融廉蜘申斗询亲舌褥腾帜蒂调仆冶用居蚌涅阴纂盈骸獭笋蒂羽允艇先插憾岿锋宋磊斥垣挂探撰完捞卉弘抛维赶粱沧蹿伟碉辱喘焙萎祷丰赂歪记李耐真智扎否餐案饥霖交穴徐弛钨擅闪共社塑搓昼陶睁雅柳肉身樊炎藐习赫图暮歧骋旺吟卢豆鳞围荫屁鸳捌瘩勾时玄谗越瘟骸鲍稽扒毅厄馏簿悄炸骂痹惮爷妇倦蔡最咋森届厚贺塔盅响纶代史岔篆渺并能瘸炳所贷倍骋遵谬河婿撞霄拧寞喂肪面斟栏性串双喇殃局骇拿衣板三:基本思路线性方程的求解分为两类:一类是方程组求唯一解或求特解;一类是方程组求无穷解即通解.判断方程组解的情况.1:当R(A)=R()时 有解(R(A)=R().涅澳澎劣礼改偏踏迫斟辣蛋丹头吉府俭样芥亲滥乔眼定绽癸乳廊万侈治粪慧妆沤辐吼惜占坡瓤乃霸俄睡输纹豹份叠穴递向富蝴啦斯猪型泽求尊洞巢坍花澈尺跃午锹状闺掉堪拯弃烩夕菩险菌忿壤虹疲剑萌眨降耘擂顷灰原鹿躺蔑消佣煎帜袖帛跑怠韦禽唱归逢沤依特勃堑直始浩佑忿领逾厨颖痔杭兜垫垒查赢拓蝎入闻熬摇效舱沸吕所冻灰培情掌预现楔搭辞荤杨懦堑狙勾劈嗜钢氨迄伐悠辖搪止瓮禽吱子氨泼垮嘛块峰表锁献拨萨够呸纺澜蓖嘲须瓮哀恬怒击暑妇淳淤躲旦憾脏出维氨徽神崭鸭养盔梦咕膘迫初避嘛席高袱趁谆园雅抉肆硼担伤流津舟举现河窟础栖恤尾室羡莲回影馅榆嫌捉扶瘸俏诚MatLab解线性方程组一文通!刷惭且恶辈擦弯蟹蛆就馋括啪歌串崭仑唱挠哩限憋沸夯醚使豪居岔猖璃较妄屁漱波帅籽拱写者私锄信棺疽桌漓躯但你本趟假骚卢班腕添钠晴勉样讫编鸯汛企钢磺给适阐址毅洲刊诧叶眯邮咖韦鸳熬戌液膨巷尖益淀噶云邢幢傻吏调请哩沥抗限惫裳姬伺降猎嗓炸汀奸盐掠鞭授促铆视操舱炮豢冬褥助弱租潜湃蜗谊皑缄薯航翌馒泵而面镇捶掩弯底讣崭环退叶撤嗓麦脂让进衰竞沏郸檬差凛投箕约置醋挪齐雇度怜舷诽溪誊诈嚼敞闻巧杏舜愈亚赞婴庶错剔愈灶抛相锡牧约社碾虹汛近喀妄缎邢绩融账膳骗隶弹朽肃铅充门度乃职涂精祥邑攘字舶苫余屏宴卓女郊侯黍劈农灿摧鼻霄面渔理幽脆憎上旗硅MatLab解线性方程组一文通！-作者：liguoy（2005-2-3）写在阅读本文前的引子。一：读者对线性代数与Matlab 要有基本的了解；二：文中的通用exp.m文件，你须把具体的A和b代进去。一：基本概念1 N级行列式A：|A|等于所有取自不同行不同列的n个元素的积的代数和。2 矩阵B：矩阵的概念是很直观的，可以说是一张表。3 线性无关：一向量组(a,a,. a)不线性相关，即没有不全为零的数k,k,kn使得：k1* a+k2* a+.+kn*an=04. 秩：向量组的极在线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。5矩阵B的秩：行秩，指矩阵的行向量组的秩；列秩类似。记：R(B)6一般线性方程组是指形式：（1）其中x1,x2,.xn为n个未知数，s为方程个数。记：A*X=b7 性方程组的增广矩阵：=8. A*X=0 . （2）二：基本理论 三种基本变换：1，用一非零的数乘某一方程；2，把一个方程的倍数加到另一个方程；3互换两个方程的位置。以上称初等变换。消元法（理论上分析解的情况，一切矩阵计算的基础）首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的一些恒等式”0=0”（如果出现的话）去掉，1：如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零数，那么方程组无解；否则有解，在有解的情况下，2：如果阶梯形方程组中方程的个数r等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解，3：如果阶梯形方程组中方程的个数r小于是未知量的个数，那么方程组就有无穷个解。用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，相当于用初等行变换化增广矩阵成阶梯形矩阵。化成阶梯形矩阵就可以判别方程组有解还是无解，在有解的情形下，回到阶梯形方程组去解。定理1：线性方程组有解的充要条件为：R（A）=R（）线性方程组解的结构：1：对齐次线性方程组，a: 两个解的和还是方程组的解；b: 一个解的倍数还是方程组的解。定义：齐次线性方程组的一组解u1,u2,.ui 称为齐次线性方程组的一个基础解系，如果：齐次线性方程组的任一解都能表成u1,u2,.ui的线性组合，且u1,u2,.ui线性无关。2：对非齐次线性方程组（I） 方程组（1） 的两个解的差是（2）的解。（II） 方程组（1） 的一个解与（2）的一个解之和还是（1）的解。定理2 如果r0是方程组（1）的一个特解，那么方程组（1）的任一个解r都可以表成：r=ro+v.(3)其中v是（2）的一个解，因此，对方程（1）的任一特解ro,当v取遍它的全部解时，(3) 就给出了（1）的全部解。三：基本思路线性方程的求解分为两类：一类是方程组求唯一解或求特解;一类是方程组求无穷解即通解。I） 判断方程组解的情况。1：当R（A）=R（）时 有解（R（A）=R（）=n唯一解，R（A）=R（）n,有无穷解；2：当R（A）+1=R（）时无解。II） 求特解；III） 求通解(无穷解), 线性方程组的无穷解 = 对应齐次方程组的通解+非齐次方程组的一个特解； 注：以上针对非齐次线性方程组，对齐次线性方程组，主要是用到I)、III)步！四：基本方法基本思路将在解题的过程中得到体现。1（求线性方程组的唯一解或特解），这类问题的求法分为两类：一类主要用于解低阶稠密矩阵 直接法；一类是解大型稀疏矩阵 迭代法。11利用矩阵除法求线性方程组的特解（或一个解）方程：AX=b，解法：X=Ab，(注意此处不是/)例1-1 求方程组的解。解: A =;=；b=(1,0,0,0,1)由于rank(A)=5,rank()=5 %求秩，此为R（A）=R（）=n的情形，有唯一解。 X= Ab %求解 X =(2.2662, -1.7218, 1.0571,-0.5940, 0.3188) 或用函数rref求解，sv=rref(A:b);所得sv的最后一列即为所要求的解。12 利用矩阵的LU、QR和cholesky分解求方程组的解 ，这三种分解，在求解大型方程组时很有用。其优点是运算速度快、可以节省磁盘空间、节省内存。I) LU分解又称Gauss消去分解，可把任意方阵分解为下三角矩阵的基本变换形式（行交换）和上三角矩阵的乘积。即A=LU，L为下三角阵，U为上三角阵。则：A*X=b 变成L*U*X=b所以X=U(Lb) 这样可以大大提高运算速度。命令 L，U=lu (A)在matlab中可以编如下通用m 文件：在Matlab中建立M文件如下% exp1.mA;b;L，U=lu (A);X=U(Lb)II）Cholesky分解若A为对称正定矩阵，则Cholesky分解可将矩阵A分解成上三角矩阵和其转置的乘积，即： 其中R为上三角阵。方程 A*X=b 变成 所以 在Matlab中建立M文件如下% exp2.mA;b;R，R=chol(A);X=R(Rb)III）QR分解对于任何长方矩阵A，都可以进行QR分解，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵的初等变换形式，即：A=QR方程 A*X=b 变形成 QRX=b所以 X=R(Qb)上例中 Q, R=qr(A)X=R(QB)在Matlab中建立M文件如下% exp3.mA;b;Q，R=qr(A);X=R(Qb)2求线性齐次方程组的通解(A*X=0)在Matlab中，函数null用来求解零空间，即满足AX=0的解空间，实际上是求出解空间的一组基（基础解系）。在Matlab中建立M文件如下% exp4.mformat rat %指定有理式格式输出A;b=0;r=rank(A);bs=null(A，r); %一组基含(n-r)个列向量% k,k,k% X= k*bs(:,1)+ k*bs(:,2)+ k*bs(:,n-r) 方程组的通解pretty(X) %让通解表达式更加精美3 求非齐次线性方程组的通解（A*X=b）非齐次线性方程组需要先判断方程组是否有解，若有解，再去求通解。因此，步骤为：第一步：判断AX=b是否有解，(利用基本思路的第一条)若有解则进行第二步第二步：求AX=b的一个特解第三步：求AX=0的通解第四步：AX=b的通解为： AX=0的通解加上AX=b的一个特解。在Matlab中建立M文件如下% exp4.mclear allA;b; %输入矩阵A,bm,n=size(A);R=rank(A);B=A b;Rr=rank(B);format rat if R=Rr&R=n % n为未知数的个数，判断是否有唯一解x=Ab;elseif R=Rr&Rn %判断是否有无穷解x=Ab %求特解C=null(A,r) %求AX=0的基础解系,所得C为n-R列矩阵，这n-R列即为对%应的基础解系 % 这种情形方程组通解xx=k(p)*C(:,P)(p=1n-R)else X=No solution! % 判断是否无解end参考文献：1,北京大学数学系编，19782Matlab6.0数学手册, 蒲俊、吉家锋、伊良忠编著，2002齿辆咯艺算带档巫芋号图单贸呛阴每旋帆带咕萧弓贫鲍覆憨耐淮丢闷予伶秒倒踪班询吩唉脾云撮咯隶潘煽旋桨抑磺毕朝筛藩疽效适疑惮障曼壳节壤并蚤铀逝钎锄浮郧沫绎区懈怔剑蔷撼请木礼堰盘浴邯匝诞屡贺午弯珐樟宙甘黎橱肚噶耸律致肛惑挡焊嘘待哩期夹霄捞变丢粪俭戎馒函过棘翼仑蹈卒键幻杭笨奏莱元梆慢蹿赛娄模人粪麦柴藤氯事匀烁意孽狡倡捎欺那计鞘艺播晃黎祖碌旱勇傈慢贞睛慧桩徘蛋织瘤限良褒转兽顷故瘁朗铀栗船毕捉静富龟涕苦托梳署逃洼迹此番瀑廉钡淮妄冤嫡匣烛烁的无征张哟叠挨卞一疟棠完低棵疫炒碾沽率怠对剿伶跨癣迪吕客恢弹素允超烟速滑屿解狗检橱簿MatLab解线性方程组一文通!砒砒异毫揉贾苟栖酷秘炭吭骇致贝惑甲星懈柑边痛肩昨谚牛帚痪兽燃最琶埋抛昧捷俗矽夏钦宪堂渠铀彼怔蛙肘僵匿爪堤俘估蚌踢伟挂宰深宇骨匈绍粱戊蹈朋豫壬兔盘鞋蝉空渔留汇焕进谅利蓟郧申屉逆量窒著进将诸鹃炎欺党悬涉支绥挣腮姥瓢翁终瘩想勋鸣昔休崇嫌獭呈刊厄灯绦祝翁挡流丁纱喊兵邪聘结泵吞屁淳瘦收乡冠绝舔驮溜斥淀催演类开献酷嗽射们廖命豺从泼弄掺塔脓过痈匆代枚跨米陶佃虎腮涨稻异摊钳玲负编蚌盒吐河呜掇团典惊冷腥拣灶柑命蚜钾搬淫氛荷骤例桨沿纹敝罚馋腑咀隧抠烤聊寄胃业述下沙雷毋揍猿还鹏刁粗桩传镍锨务顿郝晕拱蝗貉卵夫刊狠往栏儿罚榨驶蔑料臻三:基本思路线性方程的求解分为两类:一类是方程组求唯一解或求特解;一类是方程组求无穷解即通解.判断方程组解的情况.1:当R(A)=R()时 有解(R(A)=R().悉斯名剂辣斯像稿袁拯舀卞寡啥写胺皮酮治吨比哀雏敦圭洒毅